人教版七年級數(shù)學(xué)下冊章節(jié)重難點(diǎn)舉一反三 專題5.3 平行線四大模型專項(xiàng)訓(xùn)練（40道）（原卷版+解析）

專題5.3平行線四大模型專項(xiàng)訓(xùn)練（40道）【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的綜合問題的所有類型！【模型1“鉛筆”模型】1．（2022·湖南·永州市劍橋?qū)W校七年級階段練習(xí)）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為()A．55° B．60° C．65° D．70°2．（2022·貴州六盤水·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，應(yīng)為（

）A．α+β+γ B．β+γ?α C．180°?α?γ+β D．180°+α+β?γ3．（2022·甘肅·北京師范大學(xué)慶陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）如圖，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．4．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，AB//CD，∠ABE與∠CDE的角平分線相較于點(diǎn)F，∠E=80°，求5．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知如圖所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度數(shù).6．（2022·全國·七年級）(1)問題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……請你幫助小明完成剩余的解答．(2)問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：如圖3，AD//BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．7．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，四邊形MNBD為一張長方形紙片．（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是____________°．8．（2022·安徽合肥·七年級期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補(bǔ)全她的推理依據(jù)．如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【模型2“豬蹄”模型】9．（2022·全國·七年級）如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，AB∥CD，∠ABE=40°，則10．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖：(1)如圖1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接寫出(2)如圖2，AB∥CD，點(diǎn)E為直線AB，CD間的一點(diǎn)，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，寫出∠BED與(3)如圖3，AB與CD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)E為∠BGD內(nèi)一點(diǎn)，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接寫出∠BED的度數(shù)．11．（2022·江蘇常州·七年級期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°；(2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．12．（2022·山東聊城·七年級階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2022·廣東韶關(guān)·七年級期中）如圖1，點(diǎn)A、B分別在直線GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.（1）求證：GH//MN；（提示：可延長AC交MN于點(diǎn)P進(jìn)行證明）（2）如圖2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，BF平分∠DBM，點(diǎn)K在射線BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求證：∠E=15．（2022·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）16．（2022·全國·七年級）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點(diǎn)．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點(diǎn)F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補(bǔ)角，求∠BAE的大?。?7．（2022·廣東·高州市第一中學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．18．（2022·河南·商丘市第十六中學(xué)七年級期中）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因?yàn)锳B∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當(dāng)點(diǎn)P，Q在線段EF上移動時(shí)（不包括E，F(xiàn)兩點(diǎn)）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．19．（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖1，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B在直線ST上，點(diǎn)C在MN，ST之間，且滿足∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°．（1）證明：MN//（2）如圖2，若∠ACB=60°，AD//CB，點(diǎn)E在線段BC上，連接AE，且∠DAE=2∠CBT，試判斷∠CAE與（3）如圖3，若∠ACB=180°n（n為大于等于2的整數(shù)），點(diǎn)E在線段BC上，連接AE，若∠MAE=n∠CBT，則20．（2022·重慶江北·七年級期末）如圖1，AB//CD，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，點(diǎn)O在直線AB、CD之間，且∠EOF=100°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如圖2，直線MN分別交∠BEO、∠OFC的角平分線于點(diǎn)M、N，直接寫出∠EMN?∠FNM的值；（3）如圖3，EG在∠AEO內(nèi)，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO內(nèi)，∠DFH=m∠OFH，直線MN分別交EG、FH分別于點(diǎn)M、N，且∠FMN?∠ENM=50°，直接寫出m的值．21．（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．22.（2022·廣西柳州·七年級期中）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動時(shí)，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動時(shí)有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【模型3“臭腳”模型】23．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線DE∥AB．求證：（2）如圖（b），如果點(diǎn)C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？24．（2022·全國·七年級）已知，AE//BD，∠A=∠D．（1）如圖1，求證：AB//CD；（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點(diǎn)H，連接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，過點(diǎn)H作HM⊥FH交FG的延長線于點(diǎn)M，且3∠E?5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)．25．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)七年級期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．26．（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知AD⊥AB于點(diǎn)A，AE∥CD交BC于點(diǎn)E，且EF⊥AB于點(diǎn)F．求證：∠C=∠1+∠2．證明：∵AD⊥AB于點(diǎn)A，EF⊥AB于點(diǎn)F，（已知）∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定義）∴AD∥EF，（

）∴__________=∠1（

）∵AE∥CD，（已知）∴∠C=________．（兩直線平行，同位角相等）∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．（等量代換）27．（2022·廣東珠海·七年級期中）已知AM//CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．（1）如圖1，點(diǎn)B在兩條平行線外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點(diǎn)B在兩條平行線之間，過點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D．①如圖2，說明∠ABD=∠C成立的理由；②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點(diǎn)F,BE平分∠ABD交DM于點(diǎn)E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．28．（2022·湖南·新田縣云梯學(xué)校七年級階段練習(xí)）①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C=360°；②如圖2，AB∥CD，則∠P=∠A?∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠E=∠A+∠1；④如圖4，直線AB∥CD∥EF，點(diǎn)O在直線EF上，則∠α?∠β+∠γ=180°．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【模型4“鉛筆”模型】29．（2022·福建·浦城縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級期中）如圖，直線MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，則∠P=___________度．30．（2022·江蘇·景山中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，若AB//31．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)蘭溪初級中學(xué)七年級期中）如圖，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠32．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．33．（2022·全國·七年級）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．34．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知AB//CD，求證：∠B＝∠E＋∠D35．（2022·浙江·七年級期中）為更好地理清平行線與相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準(zhǔn)備了四根細(xì)直木條AB、BC，CD、DE，做成折線ABCDE，如圖1，且在折點(diǎn)B、C、D處均可自由轉(zhuǎn)出．（1）如圖2，小明將折線調(diào)節(jié)成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判別AB是否平行于ED，并說明理由；（2）如圖3，若∠C=∠D=25°，調(diào)整線段AB、BC使得AB//CD，求出此時(shí)∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，并寫出計(jì)算過程．（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此時(shí)∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，直接寫出度數(shù)，不要求計(jì)算過程．36．（2022·山西晉中·七年級期中）綜合與探究【問題情境】王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動（1）如圖1，EF//MN，點(diǎn)A、B分別為直線EF、MN上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線間一點(diǎn)，請直接寫出∠PAF、∠PBN和【問題遷移】（2）如圖2，射線OM與射線ON交于點(diǎn)O，直線m//n，直線m分別交OM、ON于點(diǎn)A、D，直線n分別交OM、ON于點(diǎn)B、C，點(diǎn)P在射線①當(dāng)點(diǎn)P在A、B（不與A、B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，設(shè)∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②若點(diǎn)P不在線段AB上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．37．（2022·湖北武漢·七年級階段練習(xí)）如圖1，MN∥PQ，點(diǎn)C、B分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點(diǎn)E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．38．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．39．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND40．（2022·浙江杭州·七年級期中）已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．

專題5.3平行線四大模型專項(xiàng)訓(xùn)練（40道）【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的綜合問題的所有類型！【模型1“鉛筆”模型】1．（2022·湖南·永州市劍橋?qū)W校七年級階段練習(xí)）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為()A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【分析】首先過點(diǎn)A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠4與∠5的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得∠3的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l1∥l2，∴∠1+∠4=180°,∠2+∠5=180°，∵∠1=105°,∠2=140°，∴∠4=75°,∠5=40°，∵∠4+∠5+∠3=180°，∴∠3=65°.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì).2．（2022·貴州六盤水·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，應(yīng)為（

）A．α+β+γ B．β+γ?α C．180°?α?γ+β D．180°+α+β?γ【答案】C【分析】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．【詳解】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，∴x=∠BCD+∠DCM=180°?α?γ+β，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．3．（2022·甘肅·北京師范大學(xué)慶陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）如圖，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．【答案】540【分析】過點(diǎn)E作EM∥CD，過點(diǎn)F作【詳解】過點(diǎn)E作EM∥CD，過點(diǎn)F作∵AB∥CD，EM∥∴AB∥FN，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線EM∥CD，4．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，AB//CD，∠ABE與∠CDE的角平分線相較于點(diǎn)F，∠E=80°，求【答案】∠BFD=140°.【分析】先設(shè)∠ABE=2x，∠CDE=2y，由題意的∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF=y，題意得到x+y=140°；由側(cè)M圖【詳解】設(shè)∠ABE=2x，∵∠ABE與∠CDE的角平分線相交于點(diǎn)F，∴∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF=y，由筆尖圖ABEDC知，∠ABE+∠E+∠CDE=360°，即2x+80°+2y=360°，x+y=140°，由側(cè)M圖ABFDC知，∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+y=140°.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線，解題的關(guān)鍵是設(shè)∠ABE=2x，并由題意得到x，y的關(guān)系式.5．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知如圖所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度數(shù).【答案】56°.【分析】由平行線的性質(zhì)可知∠ABF=∠DFE，由三角形鄰補(bǔ)角可得∠E=∠ABE?∠DCE，帶入題干信息即可得出答案.【詳解】由平行線的性質(zhì)可知∠ABF=∠DFE，由三角形鄰補(bǔ)角以及鳥嘴圖DCEFBA知∠E=∠ABE?∠DCE=3×28°?28°=56°.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，知道同位角相等時(shí)解題的關(guān)鍵.6．（2022·全國·七年級）(1)問題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……請你幫助小明完成剩余的解答．(2)問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：如圖3，AD//BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)110°，見解析；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析【分析】(1)過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°(2)過P作PE∥AD交CD于E點(diǎn)，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.【詳解】解：(1)剩余過程：∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°-120°=60°∠APC=50°+60°=110°；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如下圖，過P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角.7．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，四邊形MNBD為一張長方形紙片．（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【分析】（1）過點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的2倍；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（4）根據(jù)前三問個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．【詳解】（1）過E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．8．（2022·安徽合肥·七年級期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補(bǔ)全她的推理依據(jù)．如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（3）∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠α?∠β【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，如圖4所示：過P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；當(dāng)P在AB延長線時(shí)，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【模型2“豬蹄”模型】9．（2022·全國·七年級）如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，AB∥CD，∠ABE=40°，則【答案】20【分析】如圖（見詳解），過點(diǎn)E作EF∥AB，先證明AB∥EF∥CD，再由平行線的性質(zhì)定理得到【詳解】解：由題意可得：∠BED=60°．如圖，過點(diǎn)E作EF∥又∵AB∥∴AB∥∴∠ABE=∠BEF=40°，∠EDC=∠DEF，∵∠BED=60°，∴∠DEF+∠BEF=60°，∴∠DEF=20°，即：∠EDC=20°．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了平行線的性質(zhì)定理的運(yùn)用．從“基本圖形”的角度看，本題可以看作是“M”型的簡單運(yùn)用．解法不唯一，也可延長BE交CD于點(diǎn)G，結(jié)合三角形的外角定理來解決；或連結(jié)BD，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理來解決．10．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖：(1)如圖1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接寫出(2)如圖2，AB∥CD，點(diǎn)E為直線AB，CD間的一點(diǎn)，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，寫出∠BED與(3)如圖3，AB與CD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)E為∠BGD內(nèi)一點(diǎn)，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接寫出∠BED的度數(shù)．【答案】(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F，見解析；(3)∠BED的度數(shù)為130°．【分析】（1）首先作EF∥AB，根據(jù)直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，據(jù)此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延長DE交BF于點(diǎn)H，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED=2∠F；（3）延長DF交AB于點(diǎn)H，延長GE到I，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED的度數(shù)為130°．（1）解：（1）如圖，作EF∥AB，，∵直線AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：過點(diǎn)E作EG∥AB，延長DE交BF于點(diǎn)H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，則∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，綜上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延長DF交AB于點(diǎn)H，延長GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1)=70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，∴∠BEI=∠ABE+∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+(∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED的度數(shù)為130°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識，掌握平行線的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．11．（2022·江蘇常州·七年級期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°；(2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．【答案】(1)80°(2)∠P=360°?∠1?∠2；證明見詳解(3)140°【分析】（1）過點(diǎn)P作MN∥（2）利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；（3）分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作MN∥AB、（1）解：如圖過點(diǎn)P作MN∥∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠2+∠FPN=180°．∵∠1=130°，∠2=150°，∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∴∠EPN+FPN=360°?130°?150°=80°．∵∠P=∠EPN+∠FPN，∴∠P=80°．故答案為：80°；（2）解：∠P=360°?∠1?∠2，理由如下：如圖過點(diǎn)P作MN∥∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠2+∠FPN=180°．∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∵∠EPN+∠FPN=∠P，∠P=360°?∠1?∠2．（3）如圖分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作MN∥AB∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠NPG+∠PGR=180°，∠RGF+∠2=180°．∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，∠PGR+∠RGF=∠PGF，∠1+∠2=325°，∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°∴∠PGF=540°?325°?75°=140°故答案為：140°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準(zhǔn)確的作出輔助線和正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．12．（2022·山東聊城·七年級階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)∠GQH=180°?∠M；理由見詳解【分析】（1）過點(diǎn)M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得（1）解：如圖：過點(diǎn)M作MN∥∴MN∥∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，∵∠M=∠GMN+∠HMN，∴∠M=（2）解：∠GQH=180°?∠M，理由如下：如圖：過點(diǎn)M作MN∥由（1）知∠M=∵HM平分∠GHC，∴∠CHM=∠GHM，∵∠AGM＝∠HGQ，∴∠M=∠HGQ+∠GHM，∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，∴∠GQH=180°?∠M．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用．13．（2022·廣東韶關(guān)·七年級期中）如圖1，點(diǎn)A、B分別在直線GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.（1）求證：GH//MN；（提示：可延長AC交MN于點(diǎn)P進(jìn)行證明）（2）如圖2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，BF平分∠DBM，點(diǎn)K在射線BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD【答案】（1）見解析；（2）∠ACD=3∠GAC，見解析；（3）54019°或【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°和平角定義得到∠AQD=∠E+∠EAQ，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到∠BDQ=∠E+∠EAQ，再根據(jù)角平分線的定義證得∠CDB=2∠E+∠GAC，結(jié)合已知即可得出結(jié)論；（3）分當(dāng)K在直線GH下方和當(dāng)K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線定義求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，延長AC交MN于點(diǎn)P，∵∠ACD=∠C，∴AP//BD，∴∠NBD=∠NPA，∵∠GAC=∠NBD，∴∠GAC=∠NPA，∴GH//MN；（2）延長AC交MN于點(diǎn)P，交DE于點(diǎn)Q，∵∠E+∠EAQ+∠AQE=180°，∠AQE+∠AQD=180°，∴∠AQD=∠E+∠EAQ，∵AP//BD，∴∠AQD=∠BDQ，∴∠BDQ=∠E+∠EAQ，∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，∴∠GAC=2∠EAQ，∠CDB=2∠BDQ，∴∠CDB=2∠E+∠GAC，∵∠AED=∠GAC，∠ACD=∠CDB，∴∠ACD=2∠GAC+∠GAC=3∠GAC；（3）當(dāng)K在直線GH下方時(shí)，如圖，設(shè)射線BF交GH于I，∵GH//MN，∴∠AIB=∠FBM，∵BF平分∠MBD，∴∠DBF=∠FBM=1∴∠AIB=∠DBF，∵∠AIB+∠KAG=∠AKB，∠AKB=∠ACD，∴∠ACD=∠DBF+∠KAG，∵∠KAG=13∠GAC∴13即13解得：∠GAC=540當(dāng)K在直線GH上方時(shí)，如圖，同理可證得∠AIB=1則有3∠GAC+1解得：∠GAC=540綜上，故答案為54019°或【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義、角度的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求證：∠E=【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠【詳解】解：如圖：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠∵∠3是三角形的外角，∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，∴∠E+1即∠E＋12∠C＝∠C＋1∴∠E＝12【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角，以及角平分線等知識點(diǎn)，熟知以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）55°；（3）180°?【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過點(diǎn)F作FE//AB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，根據(jù)∠ABC=50°，∠ADC=60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求∠BFD的度數(shù)；②如圖3，過點(diǎn)F作EF//AB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，∠ABC=α，∠ADC=β，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出∠BFD的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EF//AB，則有∠BEF=∠B，∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；（2）①如圖2，過點(diǎn)F作FE//AB，有∠BFE=∠FBA．∵AB//CD，∴EF//CD．∴∠EFD=∠FDC．∴∠BFE+∠EFD=∠FBA+∠FDC．即∠BFD=∠FBA+∠FDC，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠FBA=12∠ABC=25°∴∠BFD=∠FBA+∠FDC=55°．答：∠BFD的度數(shù)為55°；②如圖3，過點(diǎn)F作FE//AB，有∠BFE+∠FBA=180°．∴∠BFE=180°?∠FBA，∵AB//CD，∴EF//CD．∴∠EFD=∠FDC．∴∠BFE+∠EFD=180°?∠FBA+∠FDC．即∠BFD=180°?∠FBA+∠FDC，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠FBA=12∠ABC=∴∠BFD=180°?∠FBA+∠FDC=180°?1答：∠BFD的度數(shù)為180°?1【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．16．（2022·全國·七年級）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點(diǎn)．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點(diǎn)F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補(bǔ)角，求∠BAE的大?。敬鸢浮?1)∠BAE+∠CDE=∠AED；(2)∠AFD=1(3)∠BAE=60°【分析】（1）作EF∥AB，如圖1，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE，則∠AFD=12（∠BAE+∠CDE），加上（1）的結(jié)論得到∠AFD=1（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-32∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，從而計(jì)算出∠BAE(1)∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如圖1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED(2)如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點(diǎn)F∴∠BAF=12∠BAE，∠CDF=12∴∠AFE=12（∠BAE+∠CDE∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=12∠(3)由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=12∠BAE+2∠CDE=12∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-3∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+32∠BAE=180°-2∠∴∠BAE=60°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．17．（2022·廣東·高州市第一中學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)90°(2)∠F=∠E+30°，理由見解析(3)15°【分析】（1）如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，過點(diǎn)F作FH//EP，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，根據(jù)角平分線的定義得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12（1）解：如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案為：90°；（2）解：如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如圖2，過點(diǎn)F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°∵FH//EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∵∠HFG=∠EFG?∠EFH=15°，∴∠P=15°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022·河南·商丘市第十六中學(xué)七年級期中）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因?yàn)锳B∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當(dāng)點(diǎn)P，Q在線段EF上移動時(shí)（不包括E，F(xiàn)兩點(diǎn)）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成填空；（2）結(jié)合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結(jié)合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；因?yàn)锳B∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過點(diǎn)P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：平行線的判定和性質(zhì)．熟練運(yùn)用平行線性質(zhì)和判定，添加適當(dāng)輔助線是關(guān)鍵．19．（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖1，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B在直線ST上，點(diǎn)C在MN，ST之間，且滿足∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°．（1）證明：MN//（2）如圖2，若∠ACB=60°，AD//CB，點(diǎn)E在線段BC上，連接AE，且∠DAE=2∠CBT，試判斷∠CAE與（3）如圖3，若∠ACB=180°n（n為大于等于2的整數(shù)），點(diǎn)E在線段BC上，連接AE，若∠MAE=n∠CBT，則【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1【分析】（1）連接AB，根據(jù)已知證明∠MAB+∠SBA=180°，即可得證；（2）作CF∥ST，設(shè)∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根據(jù)AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到結(jié)論；（3）作CF∥ST，設(shè)∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分別表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．【詳解】解：（1）如圖，連接AB，，∵∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠MAB+∠SBA=180°，∴MN//ST（2）∠CAE=2∠CAN，理由：作CF//ST，則MN//設(shè)∠CBT=α，則∠DAE=2α．∠BCF=∠CBT=α，∠CAN=∠ACF=60°?α，∵AD//BC，∠DAC=180°?∠ACB=120°，∴∠CAE=120°?∠DAE=120°?2α=2(60°?α)=2∠CAN．即∠CAE=2∠CAN．（3）作CF//ST，則MN//CF//ST,如圖，設(shè)∵CF//ST，∴∠CBT=∠BCF=β，∠ACF=∠CAN=180°∠CAE=180°?∠MAE?∠CAN=180°?nβ?180°∠CAE:∠CAN=n?1故答案為n?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是角度的靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式．20．（2022·重慶江北·七年級期末）如圖1，AB//CD，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，點(diǎn)O在直線AB、CD之間，且∠EOF=100°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如圖2，直線MN分別交∠BEO、∠OFC的角平分線于點(diǎn)M、N，直接寫出∠EMN?∠FNM的值；（3）如圖3，EG在∠AEO內(nèi)，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO內(nèi)，∠DFH=m∠OFH，直線MN分別交EG、FH分別于點(diǎn)M、N，且∠FMN?∠ENM=50°，直接寫出m的值．【答案】（1）∠BEO+∠DFO=260°；（2）∠EMN?∠FNM的值為40°；（3）53【分析】（1）過點(diǎn)O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質(zhì)可求解；（2）過點(diǎn)M作MK∥AB，過點(diǎn)N作NH∥CD，由角平分線的定義可設(shè)∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進(jìn)而求解；（3）設(shè)直線FK與EG交于點(diǎn)H，F(xiàn)K與AB交于點(diǎn)K，根據(jù)平行線的性質(zhì)即三角形外角的性質(zhì)及∠FMN?∠ENM=50°，可得∠KFD?∠AEG=50°，結(jié)合∠AEG=n∠OEG，DFK=n∠OFK，∠BEO+∠DFO=260°，可得∠AEG+即可得關(guān)于n的方程，計(jì)算可求解n值．【詳解】證明：過點(diǎn)O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG=360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°，∵∠EOF=100°，∴∠BEO+∠DFO=260°；（2）解：過點(diǎn)M作MK∥AB，過點(diǎn)N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設(shè)∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，∵∠BEO+∠DFO=260°∴∠BEO+∠DFO=2x+180°?2y=260°，∴x-y=40°，∵M(jìn)K∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，∴∠EMN+∠FNM=∠EMK+∠KMN?（∠HNM+∠HNF）=x+∠KMN?∠HNM?y=x-y=40°，故∠EMN?∠FNM的值為40°；（3）如圖，設(shè)直線FK與EG交于點(diǎn)H，F(xiàn)K與AB交于點(diǎn)K，∵AB∥CD，∴∠AKF=∠KFD，∵∠AKF=∠EHK+∠HEK=∠EHK+∠AEG，∴∠KFD=∠EHK+∠AEG，∵∠EHK=∠NMF?∠ENM=50°，∴∠KFD=50°+∠AEG，即∠KFD?∠AEG=50°，∵∠AEG=n∠OEG，F(xiàn)K在∠DFO內(nèi)，∠DFK=n∠OFK．∴∠CFO=180°?∠DFK?∠OFK=180°?∠KFD?1∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+∵∠BEO+∠DFO=260°，∴∠AEO+∠CFO=100°，∴∠AEG+即1+∴1+解得n=5經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故答案為：53【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）過點(diǎn)M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過點(diǎn)H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED∵M(jìn)Q∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵M(jìn)Q∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）過點(diǎn)M作MQ∥AB，過點(diǎn)H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，設(shè)∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝12∠AFE即12解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理以及靈活構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．22.（2022·廣西柳州·七年級期中）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動時(shí)，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動時(shí)有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①∠3=∠1+∠2；證明見詳解；②∠1=∠2+∠3；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點(diǎn)P作PC∥a，利用平行線的傳遞性可知PC∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知（2）①如圖5過點(diǎn)P作PC∥a，利用平行線的傳遞性可知PC∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知②如圖6過點(diǎn)P作PC∥a，利用平行線的傳遞性可知PC∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知（1）解：如圖4所示：過點(diǎn)P作PC∥∵a∥∴PC∥∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，∵∠2=∠APC+∠BPC，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：①如圖5過點(diǎn)P作PC∥∵a∴PC∴∠3=∠BPC，∠1=∠APC，∵∠BPC=∠2+∠APC，∴∠3=∠1+∠2；②如圖6過點(diǎn)P作PC∥∵a∴PC∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，∵∠APC=∠2+∠BPC，∴∠1=∠2+∠3．【點(diǎn)睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確的作出輔助線和找到對應(yīng)的內(nèi)錯(cuò)角是解決本題的關(guān)鍵．【模型3“臭腳”模型】23．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線DE∥AB．求證：（2）如圖（b），如果點(diǎn)C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)C在AB與ED之外時(shí)，∠ABC?∠CDE=∠BCD，見解析【分析】（1）由題意首先過點(diǎn)C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【詳解】解：（1）證明：過點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）結(jié)論：∠ABC-∠CDE=∠BCD，證明：如圖：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若點(diǎn)C在直線AB與DE之間，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360∵AB∥ED∥CF，∴∠ABC+∠BCF=∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠DCF+∠CDE=360【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法．24．（2022·全國·七年級）已知，AE//BD，∠A=∠D．（1）如圖1，求證：AB//CD；（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點(diǎn)H，連接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，過點(diǎn)H作HM⊥FH交FG的延長線于點(diǎn)M，且3∠E?5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）72°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠B=180°，再根據(jù)等量代換可得∠B+∠D=180°，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過點(diǎn)E作EP//CD，延長DC至Q，過點(diǎn)M作MN//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出∠ECQ=∠BGM=∠DFG，再根據(jù)平角的含義得出∠ECF=∠CFG，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出∠BHF=∠CFH,∠CFA=∠FAB；設(shè)∠FAB=α,∠CFH=β，根據(jù)角的和差可得出∠AEC=2∠AFH，結(jié)合已知條件3∠AEC?5∠AFH=180°可求得∠AFH=18°，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AE//BD∴∠A+∠B=180°∵∠A=∠D∴∠B+∠D=180°∴AB//CD；（2）過點(diǎn)E作EP//CD，延長DC至Q，過點(diǎn)M作MN//AB∵AB//CD∴∠QCA=∠CAB，∠BGM=∠DFG，∠CFH=∠BHF，∠CFA=FAG∵∠ACE=∠BAC+∠BGM∴∠ECQ+∠QCA=∠BAC+∠BGM∴∠ECQ=∠BGM=∠DFG∵∠ECQ+ECD=180°,∠DFG+CFG=180°∴∠ECF=∠CFG∵AB//CD∴AB//EP∴∠PEA=∠EAB,∠PEC=∠ECF∵∠AEC=∠PEC?∠PEA∴∠AEC=∠ECF?∠EAB∴∠ECF=∠AEC+∠EAB∵AF平分∠BAE∴∠EAF=∠FAB=∵FH平分∠CFG∴∠CFH=∠HFG=∵CD//AB∴∠BHF=∠CFH,∠CFA=∠FAB設(shè)∠FAB=α,∠CFH=β∵∠AFH=∠CFH?∠CFA=∠CFH?∠FAB∴∠AFH=β?α，∠BHF=∠CFH=β∴∠ECF+2∠AFH=∠AEC+∠EAB+2∠AFH=∠AEC+2β∴∠ECF+2∠AFH=∠E+2∠BHF∴∠AEC=2∠AFH∵3∠AEC?5∠AFH=180°∴∠AFH=18°∵FH⊥HM∴∠FHM=90°∴∠GHM=90°?β∵∠CFM+∠NMF=180°∴∠HMB=∠HMN=90°?β∵∠EAF=∠FAB∴∠EAF=∠CFA=∠CFH?∠AFH=β?18°∴∠EAF+∠GMH=β?18°+90°?β=72°∴∠EAF+∠GMH=72°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．25．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)七年級期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；（2）首先過點(diǎn)P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法．26．（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知AD⊥AB于點(diǎn)A，AE∥CD交BC于點(diǎn)E，且EF⊥AB于點(diǎn)F．求證：∠C=∠1+∠2．證明：∵AD⊥AB于點(diǎn)A，EF⊥AB于點(diǎn)F，（已知）∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定義）∴AD∥EF，（

）∴__________=∠1（

）∵AE∥CD，（已知）∴∠C=________．（兩直線平行，同位角相等）∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．（等量代換）【答案】見解析【分析】首先根據(jù)同位角相等，兩直線平行AD//EF，再根兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠AEF=∠1．最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠C=【詳解】證明：∵AD⊥AB于點(diǎn)A，EF⊥AB于點(diǎn)F，∴∠DAB=∠EFB=90°．∴AD//EF，

（同位角相等，兩直線平行∴∠AEF=∠1．

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵AE//∴∠C=∠AEB．

∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．27．（2022·廣東珠?！て吣昙壠谥校┮阎狝M//CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．（1）如圖1，點(diǎn)B在兩條平行線外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點(diǎn)B在兩條平行線之間，過點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D．①如圖2，說明∠ABD=∠C成立的理由；②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點(diǎn)F,BE平分∠ABD交DM于點(diǎn)E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見解析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）①過點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【詳解】解：（1）如圖1，AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴BG//∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．28．（