2024年高考數學優(yōu)等生培優(yōu)第34講 等差數列通項公式及性質-原卷版85

第34講等差數列通項公式及性質【知識通關】通關一、等差數列的定義1.文字語言形式一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,這個數列就叫作等差數列,這個常數叫作等差數列的公差,公差通常用字母表示.要點詮釋：(1)公差一定是由后項減前項所得,而不能用前項減后項來求;(2)共同特征:從第二項起,每一項與它前面一項的差等于同一個常數（即公差）.2.符號語言形式對于數列,若為常數)或為常數,則此數列是等差數列,其中常數叫作等差數列的公差.要點詮釋：定義中要求“同一個常數”,必須與無關.通關二、等差中項如果成等差數列,那么叫作與的等差中項,即.要點：詮釋(1)兩個數的等差中項就是兩個數的算術平均數.任意兩實數的等差中項存在且唯一.(2)三個數成等差數列的充要條件是.通關三、等差數列的通項公式首項為,公差為的等差數列的通項公式為:推導過程：(1)歸納法根據等差數列定義可得,所以,,,.當時,上式也成立.所以歸納得出等差數列的通項公式為:.(2)疊加法根據等差數列定義,有:,,,.把這個等式的左邊與右邊分別相加(疊加),并化簡得,所以.(3)迭代法.所以.要點詮釋：(1)通項公式由首項和公差完全確定,一日一個等差數列的首項和公差確定,該等差數列就唯一確定了.(2)通項公式中共涉及四個量,已知其中任意三個量,通過解方程,便可求出第四個量.通關四、等差數列中的函數關系等差數列中,,令,則:（是常數且為公差）.(1)當時,為常數函數,為常數列;它的圖像是在直線上均勻排列的一群孤立的點.(2)當時,是的一次函數;它的圖像是在直線上均勻排列的一群孤立的點.(1)當時,一次函數單調增,為遞增數列;(2)當時,一次函數單調減,為遞減數列.結論一、通項公式理解由等差數列的通項公式可知：(1)已知等差數列的首項和公差,可以求得這個數列的任何一項;(2)已知這四個量中的任意三個,可以求得第四個量.【例1】在等差數列中,(1)若,求和;(2)若,求.【變式】在等差數列中,首項,公差,若,則的值為（）. A.37 B.36 C.20 D.19結論二、通項公式變形等差數列滿足:.【例2】已知等差數列前9項的和為,則（）.A.100 B.99 C.98 D.97 【變式】是公差為的等差數列,如果,那么等于（）.A. B. C. D.結論三、公差的幾何意義公差等于等差數列中任意兩項之差與序號之差之比(即斜率),表示為:.【例3】在等差數列中,已知,求.在等差數列中,已知,求.【變式】已知等差數列中,,則____________.結論四、下標和相等,項之和相等等差數列中,若,則;若,則有【例4】已知等差數列中,,則的值是（）.A.15 B.30 C.31 D.64【變式】已知等差數列的前項和為,若,則____________.結論五、等差數列線性組合仍為等差數列若和均為等差數列,則（為常數)也是等差數列.【例5】已知數列滿足,則“數列為等差數列”是“數列為等差數列”的（）.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【變式】設數列都是等差數列,若,則____________.結論六、下標成等差,項也成等差若是等差數列,則組成公差為的等差數列.【例6】若為等差數列,,則___________.【變式】已知等差數列中,,則___________.結論七、對稱項設法1.當等差數列的項數為奇數時,可設中間一項為,再以公差為向兩邊分別設項:;2.當等差數列的項數為偶數時,可設中間兩項分別為,再以公差為向兩邊分別設項:.【例7】設有四個數的數列前三個數構成一個等比數列,其和為,后三個數構成一個等差數列,其和為15,且公差非零.對于任意固定的實數,若滿足條件的數列個數大于1,則的取值范圍為__________.【變式】一等差數列由3個數組成,3個數之和為9,3個數的平方和為35,求這個數列.結論八、等差數列的判定與證明等差數列的判定與證明方法有以下四種：1.定義法:（常數)或為等差數列.2.等差中項法:為等差數列.3.通項公式法:（是常數,）為等差數列.4.前項和公式法:為常數為等差數列.若判斷一個數列不是等差數列,只需找出三項,使得這三項不滿足即可.【例8】已知數列滿足.求