河南省洛陽市2022-2023學年高二上學期期末考試文科數學試題

洛陽市2022—2023學年第一學期期末考試高二數學試卷(文）一、選擇題：本大通共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若直線經過點和，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由斜率公式求出直線的斜率，利用傾斜角與斜率的關系求解.【詳解】設直線的斜率為，且傾斜角為，則，則，而，故，故選：D.2.已知數列，則6是這個數列的（）A.第6項 B.第12項 C.第18項 D.第36項【答案】C【解析】【分析】利用數列的通項公式求解.【詳解】數列的通項公式為，令解得，故選:C.3.若雙曲線的漸近線方程是，虛軸長為4，且焦點在x軸上，則雙曲線的標準方程為（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據雙曲線的性質求解.【詳解】由題可得解得，所以雙曲線的標準方程為.故選:C.4.如圖，線段AB，BD在平面內，，，且，則C，D兩點間的距離為（）A.19 B.17 C.15 D.13【答案】D【解析】【分析】根據線面垂直的性質定理結合勾股定理求解.【詳解】連接，因為，所以,又因為，,所以，所以,故選:D.5.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據曲線表示橢圓，可求得t的范圍，根據充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為曲線為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B6.設R，向量=()，=，=，且，，則||=（）A. B.3 C.3 D.9【答案】A【解析】【分析】根據空間向量平行垂直條件求出參數，再根據模長公式計算即可.【詳解】∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴．故選：A7.如果實數滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】所求的取值范圍等價于求同時經過點P和圓上的點的所有直線的斜率范圍，結合圖形根據直線與圓相切可求.【詳解】令，即，所求的取值范圍等價于求同時經過點P和圓上的點的所有直線的斜率范圍，從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且與圓相切，斜率取最小值時對應的直線斜率為負且與圓相切，則圓心到直線的距離，解得.故的取值范圍為.故選：A8.已知點為拋物線焦點，為拋物線上任意一點，則的最小值為（）A.4 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】將轉化為點P到準線的距離，求最值.【詳解】拋物線，準線方程為，設P到準線的距離為d，則，當直線AP與準線垂直時，等號成立.故選：B.9.某牧場今年年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛，牧場從今年起每年年初的計劃存欄數構成數列，即，則大約為（）（參考數據：）A.1429 B.1472 C.1519 D.1571【答案】B【解析】【分析】由題意得數列遞推公式，再用構造法求出通項，代入計算即可.【詳解】由題可知，設，解得即，故數列是首項為，公比為1.1的等比數列.所以，則，所以.故選：B.10.若，則的最小值為（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據均值不等式，可得，，，，再利用不等式的基本性質，兩邊分別相加求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，所以，，，所以兩邊分別相加得，當且僅當，即取等號，所以的最小值為.故選：C.11.已知數列滿足=1，，且()，則數列{}的前18項和為（）A.54 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用數列的遞推公式，結合累乘法，求得其通項公式，根據三角函數的計算，求得數列的周期，整理數列的通項公式，利用并項求和，可得答案.【詳解】由，則，即，顯然，滿足公式，即.當時，；當時，；當時，；當時，，當時，；當時，；則數列是以為周期的數列，由，則，設數列的前項和為，故選：D.12.已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與交于兩點，若滿足的直線有且僅有1條，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線的實軸長和通徑長，由題意，過點的最短弦長為，從而求出，以及雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線的實軸長為，通徑長為由題意可得，過點的弦最短時，長為，解得，此時，則雙曲線的離心率為故選：B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線與直線之間的距離為_____________．【答案】【解析】【分析】確定兩直線是平行直線，故可根據平行線間的距離公式求得答案.【詳解】直線可化為，則直線與直線平行,故直線與直線之間的距離為，故答案為：.14.設、分別在正方體的棱、上，且，，則直線與所成角的余弦值為_____________．【答案】【解析】【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與所成角的余弦值．【詳解】、分別在正方體的棱、上，且，，如圖以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，設直線與所成角為，則直線與所成角的余弦值．故答案為：．15.已知，是橢圓：（）的左，右焦點，A是橢圓的左頂點，點在過A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓的離心率為______.【答案】##0.5【解析】【分析】結合圖像，得到，再在中，求得，，從而得到，代入直線可得到，由此可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意知，直線的方程為：，由為等腰三角形，，得，過作垂直于軸，如圖，則在中，，故，，所以，即，代入直線，得，即，所以所求的橢圓離心率為.故答案為：..16.首項為正數，公差不為0的等差數列，其前項和為，現有下列4個命題：①若，則；②若，則；③若，則中最大；④若，則使的的最大值為11．其中所有真命題的序號是__________．【答案】②③④【解析】【分析】①由題意可以推出，不能推出，判斷①錯誤；②由題意可得，判斷出②正確；③由題意可得，判斷出③正確；④由題意可得，進而，判斷出④正確．【詳解】若，則，不能推出，即不能推出，故①錯誤；若，則，即，則，故②正確；若，則，所以，則中最大，故③正確；若，則，即，因為首項為正數，則公差小于0，則，則，，則使的的最大值為11，故④正確．故答案為：②③④．三、解答題：本大題共6個小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知是數列的前項和，且，，設．（1）若是等比數列，求；（2）若是等差數列，求的前項和，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數列的通項公式的求法求解即可；（2）由等差數列的通項公式的求法，結合公式法求數列的前項和即可．【小問1詳解】解：已知是數列的前項和，且，，，則，又是等比數列，設公比為,則，即；【小問2詳解】解：已知是等差數列，設公差為,又，，則，則，即，則，則，則，即的前項和．18.在平面直角坐標系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點．（1）求圓M的方程；（2）過的直線l被圓M截得的弦長為，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據已知得出點與直線垂直的直線方程，根據圓切線的性質得出該直線過圓心，與已知過圓心方程聯立即可得出圓心坐標，根據圓心到切線的距離得出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）根據弦長得出點到直線l的距離，分類討論直線l的斜率，設出方程，利用點到直線的距離列式，即可得出答案.【小問1詳解】過點與直線垂直的直線方程為：，即則直線過圓心，解得，即圓心為，則半徑，則圓M的方程為：；【小問2詳解】過的直線l被圓M截得的弦長為，則點到直線l的距離，若直線l的斜率不存在，則方程為，此時圓心到直線l的距離為1，不符合題意；若直線l的斜率存在，設直線l的方程為：，則，解得，則直線l方程為：或.19.如圖，和所在平面垂直，且．（1）求證：；（2）若，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，可得，根據可得，由線面垂直的判定定理及性質定理可證明；（2）作于點,以點為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標系，求出兩個平面的法向量即可求解.【小問1詳解】取的中點，連接，因為，所以.因為為公共邊，所以，所以,所以.因為平面，所以平面，因為平面,所以.【小問2詳解】當可設,作于點,連接，易證兩兩垂直，以點為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標系，則,設平面的法向量為，,所以，令,可得，則.易知平面，所以平面的法向量為，設平面和平面的夾角為，則,故平面和平面的夾角的余弦值為.20.已知直線與拋物線交于A，B兩點．（1）若，直線的斜率為1，且過拋物線C的焦點，求線段AB的長；（2）若交AB于，求p的值．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）焦點為，直線的方程為，聯立直線與拋物線的方程，根據弦長公式即可求解；（2）設直線的方程為，根據題意可得，且在直線上，從而可得直線的方程為，聯立直線與拋物線的方程，根據韋達定理可得，代入即可求解.【小問1詳解】若，則拋物線，焦點為，故直線的方程為.設，聯立，消去，可得，，故.故.【小問2詳解】設直線的方程為，，因為交AB于，所以，且，所以，直線的方程為.又在直線上，所以,解得.所以直線的方程為.由，消去，可得，則.因為，所以，即，解得.21.已知等比數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】，，，故，即．，令，得到．是等比數列，公比為3，且，，．【小問2詳解】，，．兩式相減，得，故22.已知橢圓