數(shù)學(xué)-專題03 全等三角形中的一線三垂直模型（帶答案）

專題03全等三角形中的一線三垂直模型【模型展示】特點【已知】如圖，為等腰直角三角形，【證明】由，同理，在和中,.結(jié)論.【模型證明】解決方案【結(jié)論一】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則有以下結(jié)論成立：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE

【證明】：①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）．②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴DE＝AD+BE．【結(jié)論二】（其他形狀一線三垂直）①DE＝AD﹣BE

②DE＝BE﹣AD【題型演練】一、單選題1．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm【答案】C【詳解】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考慮證明△ACD和△CBE全等，可以證明DE的長為7塊磚的厚度的和．【分析】解：由題意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，

∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．2．如圖，點P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】要求的面積，想到過點作，垂足為，因為題目已知，想到把放在直角三角形中，所以過點作，垂足為，利用勾股定理求出的長，最后證明即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，過點作，垂足為，在中，，，，，，是等邊三角形，，，

，，，，，，，的面積，，，故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線．3．如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，

，∴，∴，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．二、填空題4．如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，且點C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長為_____．【答案】13【分析】先根據(jù)AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，則∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可證明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．【詳解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∴∠DAC=∠ECB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CE=AD=5，CD=BE=8，

∴DE=CD+CE=13，故答案為：13．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．5．如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點A，過點B作于點E，過點C作于點F．若，則__________．【答案】7【分析】根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計算，即可得到答案；【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案為：7．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的證明三角形全等．

三、解答題6．已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE．【答案】見解析【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【詳解】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意義）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意義）∠ACE＝90°（已證）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性質(zhì)）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形內(nèi)角和等于180°）∠B＝90°（已證）∴∠BCA+∠A＝90°（等式性質(zhì)）∴∠DCE＝∠A（同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC＝DE（全等三角形對應(yīng)邊相等）【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，AD=5，BE=2，求線段DE的長．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)DE=3【分析】（1）①由已知可知，AD⊥MN，BE⊥MN，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和與平角性質(zhì)，得到，即可證明（AAS）；②根據(jù)，得到，，即可證明DE=AD+BE．（2）由已知可知，AD⊥MN，BE⊥MN，得到，再根據(jù)、，得到，可證明，得到，，即可求出DE長．（1）①證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴，∵，，∴，在和中，，∴（AAS）；

②證明：∵，∴，，∴；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴，∴，∵，∴∴，在和中，，（AAS），∴，，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知準(zhǔn)確找到符合全等的條件是解題關(guān)鍵．8．（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）

【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；（3）先證明△ABE≌△CAF，得到與的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)故可求解．【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE?DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5?1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案為：0.8cm；（2）證明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，

∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又∴△ABE≌△CAF，∴∴與的面積之和等于與的面積之和，即為△ABD的面積，∵，△ABD與△ACD的高相同則=5故與的面積之和為5故答案為：5．

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．問題背景：（1）如圖①，已知中，，，直線m經(jīng)過點A，直線m，直線m，垂足分別為點D，E，易證：______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線m上，并且有，請求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）實際應(yīng)用：如圖③，在中，，，點C的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，請直接寫出B點的坐標(biāo)．【答案】（1）BD；CE；證明見詳解；（2）DE=BD+CE；證明見詳解；（3）點B的坐標(biāo)為．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形解答即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形解答即可；（3）根據(jù)，得到，，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，

∴，，∴，即：，故答案為：BD；CE；（2）解：數(shù)量關(guān)系：，證明：在中，，∵，，∴，在和中，∴，∴，，∴；（3）解：如圖，作軸于E，軸于F，由（1）可知，，∴，，∴，∴點B的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，．

（1）如圖①所示，直線過點，于點，于點，且．求證：．（2）如圖②所示，直線過點，交于點，交于點，且，則是否成立？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）仍然成立，理由見解析【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角相等得到，然后證明，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，，然后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，最后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明．【詳解】證明：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，

∴；（2）仍然成立，理由如下：∵，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的與相等，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同角的余角相等或三角形內(nèi)角和定理得到．11．在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如圖1，當(dāng)α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)0＜α＜180時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，證明見解析

【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．12．如圖，于點，點在直線上，．

(1)如圖1，若點在線段上，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點在線段的延長線上，其他條件不變，試判斷（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．【答案】(1)DF=DC，DF⊥DC；理由見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）先證△ADF≌△BCD，得DF=DC，，再證∠FDC=90°即可得垂直；（2）先證△ADF≌△BCD，得DF=DC，，再證∠FDC=90°即可得垂直．（1）解：∵，∴，在△ADF與△BCD中，∴△ADF≌△BCD，∴DF=DC，，∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，∴∠FDC=90°，即DF⊥DC．（2）∵，∴，在△ADF與△BCD中，

∴△ADF≌△BCD，∴DF=DC，，∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，∴∠FDC=90°，即DF⊥DC．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能判斷哪兩個三角形全等．13．（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意鈍角，請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析【分析】（1）根據(jù)AAS可證明△ADB≌△CEA，可得AE=BD，AD=CE，可得DE=BD+CE．（2）由已知條件可知∠BAD+∠CAE=，∠DBA+∠BAD=，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ADB≌△CEA，同（1）可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）如圖2，∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到BD=AE，CE=AD是解題的關(guān)鍵．14．在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．

(1)如圖1，當(dāng)時，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．

（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，∴S△ABC＝BC?h＝12，S△ABF＝BF?h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．15．在中，，，直線MN經(jīng)過點C且于D，于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①≌；②；(2)當(dāng)直線MN燒點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)證明見解析(3)（或者對其恒等變形得到，），證明見解析【分析】（1）①根據(jù)，，，得出，再根據(jù)即可判定；②根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得出，，進(jìn)而得到；（2）先根據(jù)，，得到，進(jìn)而得出，再根據(jù)即可判定，進(jìn)而得到，，最后得出；（3）運用（2）中的方法即可得出，，之間的等量關(guān)系是：或恒等變形的其他形式．（1）解：①，，，，，，在和中，

；②，，，；（2）證明：，，，，在和中，；，，；（3）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時，，，所滿足的等量關(guān)系是：或或．理由如下：，，，，在和中，，，，（或者對其恒等變形得到或）．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時注意：全等三

角形的對應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論．16．（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解【分析】（1）根據(jù)直線，直線得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“”可判斷；（2）利用，則，得出，然后問題可求證；（3）由題意易得，由（1）（2）易證，則有，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可得證．【詳解】（1）證明：直線，直線，，，，，，在和中，

，；解：（2）成立，理由如下：，，，在和中，，；（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴（SAS），∴，∴，∴△DFE是等邊三角形．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學(xué)習(xí)完第十二章后，張老師首先讓同學(xué)們完成問題1：如圖1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長；然

后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關(guān)系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】BE的長為0.8cm；DE=AD+BE．【分析】如圖1，由“AAS”可證△ACD≌△CBE，可得AD=CE=2.5cm，BE=CD，由線段的和差關(guān)系可求解；如圖2，由“AAS”可證△ACD≌△CBE，可得AD=CE，BE=CD，即可求解．【詳解】解：如圖1，∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=2.5cm，BE=CD，∵DE=1.7cm，∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，∴BE的長為0.8cm；如圖2，DE=AD+BE，理由如下：∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，，

∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，∴DE=AD+BE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．