數(shù)學(xué)-專題15 特殊平行四邊形中的最值問題（帶答案）

專題15特殊平行四邊形中的最值問題（解析版）類型一特殊四邊形中求一條線段的最小值1．（2021春?葉集區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在點B′處，連接CB′，則CB′的最小值是（）A．13?2 B．13+2 C．13?思路引領(lǐng)：由矩形的性質(zhì)得出∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝AB＝2，當(dāng)A、B'、C三點共線時，CB'的值最小，由勾股定理得出AC=AB2+BC2=13，得出解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝AB＝2，當(dāng)A、B'、C三點共線時，CB'的值最小，此時AC=A∴CB'＝AC﹣AB'=13故選：A．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型二特殊四邊形中求一條線段的最大值2．（2020?洪山區(qū)校級自主招生）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC邊上的動點，沿EF折疊△BEF，使點B的對應(yīng)點B′始終落在邊CD上，則A、E兩點之間的最大距離為．

思路引領(lǐng)：作AH⊥CD于H，由B，B'關(guān)于EF對稱，推出BE＝EB'，當(dāng)BE最小時，AE最大，根據(jù)垂線段最短即可解決問題．解：作AH⊥CD于H，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB∥CD，∠D＝180°﹣∠BAD＝60°，∵AD＝AB＝4，∴AH＝AD?sin60°＝23，∵B，B'關(guān)于EF對稱，∴BE＝B'E，∴當(dāng)BE最小時，AE最大，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EB'＝AH＝23時，BE的值最小，∴AE的最大值為4﹣23，故答案為：4﹣23．總結(jié)提升：本題主要考查圖形的翻折，熟練掌握菱形的性質(zhì)，垂線段最短等知識是解題的關(guān)鍵．類型三特殊四邊形中求線段和的最小值3．（2019?紅橋區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點，P為對角線AC上的一個動點，若AB＝2，BC＝23，則PE+PB的最小值為（）A．3 B．3 C．23 D．6思路引領(lǐng)：作E關(guān)于AC的對稱點E'，連接BE'，則PE+PB的最小值即為BE'的長；由已知可求E'C=3，∠ECE'＝60°；過點E'作E'G⊥BC，在Rt△E'CG中，E'G=32，CG=32，在Rt△BE'G中，解：作E關(guān)于AC的對稱點E'，連接BE'，

則PE+PB的最小值即為BE'的長；∵AB＝2，BC＝23，E為BC的中點，∴∠ACB＝30°，∴∠ECE'＝60°，∵EC＝CE'，∴E'C=3過點E'作E'G⊥BC，在Rt△E'CG中，E'G=32，CG在Rt△BE'G中，BG=3∴BE'＝3；∴PE+PB的最小值為3；故選：B．總結(jié)提升：本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱求最短距離；通過軸對稱將PE+PB轉(zhuǎn)化為線段BE'的長是解題的關(guān)鍵．4．（2018春?銅山區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中點，P為對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為（）A．3 B．2 C．1 D．5思路引領(lǐng)：連接BD，DE，則DE的長即為PE+PB的最小值，再根據(jù)菱形ABCD中，∠ABC＝120°得出∠BCD的度數(shù)，進(jìn)而判斷出△BCD是等邊三角形，故△CDE是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出DE的長．

解：連接BD，DE，∵四邊形ABCD是菱形，∴B、D關(guān)于直線AC對稱，∴DE的長即為PE+PB的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵E是BC的中點，∴DE⊥BC，CE=12BC∴DE=C故選：A．總結(jié)提升：本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022秋?龍華區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，AC=23，BD＝2，點P是AC上一動點，點E是AB的中點，則PD+PE的最小值為思路引領(lǐng)：由兩點之間線段最短，可得當(dāng)點P在DE上時，PD+PE的值最小，最小值為DE的長，由菱形的性質(zhì)可得AO＝CO=3，BO＝DO＝1，AC⊥BD，AB＝AD，由銳角三角函數(shù)可求∠ABO＝60°，可證△ABD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得DE⊥AB解：如圖，連接DE，交AC于點P，此時PD+PE的最小值為DE的長，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO=3，BO＝DO＝1，AC⊥BD，AB＝AD∴AOBO∴∠ABO＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵點E是AB的中點，∴DE⊥AB，∴DE2∴DE=3故答案為：3．總結(jié)提升：本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，菱形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，利用銳角三角函數(shù)求出∠ABD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?桐柏縣期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，將△ABD沿射線BD平移，連接EC、GC．求EC+GC的最小值為．思路引領(lǐng)：如圖，連接AC與BD交于點O，過點C作l∥BD，點E關(guān)于l對稱的對稱點為M，連接CM，GM，EM，EM與l的交點為N，與BD交點為P，則EM⊥l，EM⊥BD，CE＝CM，EN＝MN，求出AC，NP，GP，PE，MN，PM的值，當(dāng)G、C、M三點不共線時，有GC+CM＞GM；當(dāng)G、C、M三點共線時，有GC+CM＝GM；有EC+GC＝GC+CM≥GM，可知G、C、M三點共線時，EC+GC值最小，在Rt△PGM中，由勾股定理得GM=GD2+PM2，根據(jù)EC+GC＝解：如圖，連接AC與BD交于點O，過點C作l∥BD，點E關(guān)于l對稱的對稱點為M，連接CM，

GM，EM，EM與l的交點為N，與BD交點為P則EM⊥l，EM⊥BD，CE＝CM，EN＝MN，∵AC=AB∴兩平行線的距離NP=1∵EM⊥BD，∴∠GEP＝45°，∴GP=PE=EG×sin45°=22∴EN=EP+NP=42∴MN=EN=42∴PM=PN+MN=62當(dāng)G、C、M三點不共線時，有GC+CM＞GM，當(dāng)G、C、M三點共線時，有GC+CM＝GM，∴EC+GC＝GC+CM≥GM，∴G、C、M三點共線時，EC+GC值最小，在Rt△PGM中，由勾股定理得GM=G∴EC+GC的最小值為45故答案為：45總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，正弦值等知識，對知識的靈活運用是解題的關(guān)鍵．7．（2022?朝陽區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是邊AD的中點，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，連接EF，過點E作EG⊥EF交BC于點G．（1）求證：EF＝GE；（2）若AB＝1，則AF+EF+CG的最小值為．

思路引領(lǐng)：（1）過點E作EH⊥BC于點H，可證△AEF≌△EGH，結(jié)論可得．（2）根據(jù)△AEF≌△EGH可得AF＝HG，EF＝EG，則CG+AF＝CH＝1，所以當(dāng)EG值最小時，AF+EF+CG值最?。碋G⊥BC時，AF+EF+CG值最小，即可求其值．解：（1）如圖，過點E作EH⊥BC于點H．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．（2）∵在矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝1∴AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE是矩形

∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由兩平行線之間垂線段最短，當(dāng)EG⊥BC時，AF+EF+CG的值最小即EG＝1時，AF+EF+CG的最小值為2總結(jié)提升：本題考查的是最短距離問題，全等三角形，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運用各個性質(zhì)解決問題．類型四特殊四邊形中求周長面積的最小值8．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點，點P、Q在EF上．且滿足PQ＝2，則四邊形APQB周長的最小值為．思路引領(lǐng)：由于四邊形APQB的周長可表示為AP+BQ+7，則要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB邊上截取AM＝PQ，因為點F是BC的中點，所以點B關(guān)于EF的對稱點為點C，連接CM，交EF于點Q，則CM即為AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，進(jìn)而可得出答案．解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四邊形APQB的周長為AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，則要使四邊形APQB的周長最小，只要AP+BQ最小即可．在AB邊上截取AM＝PQ，∵點F是BC的中點，∴點B關(guān)于EF的對稱點為點C，連接CM，交EF于點Q，則CM即為AP+BQ的最小值．

在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM=3∴四邊形APQB的周長最小值為5+7＝12．故答案為：12．總結(jié)提升：本題考查軸對稱﹣最短路線問題、矩形的性質(zhì)，能夠?qū)⑺笏倪呅蔚闹荛L轉(zhuǎn)化為求AP+BQ的最小值是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?姑蘇區(qū)校級月考）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點E、F、G、H分別在矩形的各邊上，且AE＝CG，BF＝DH，則四邊形EFGH周長的最小值為（）A．33 B．63 C．65 D．93思路引領(lǐng)：作點E關(guān)于BC的對稱點E′，連接E′G交BC于點F，此時四邊形EFGH周長取最小值，過點G作GG′⊥AB于點G′，由對稱結(jié)合矩形的性質(zhì)可知：E′G′＝AB，GG′＝AD，利用勾股定理即可求出E′G的長度，進(jìn)而可得出四邊形EFGH周長的最小值．解：作點E關(guān)于BC的對稱點E′，連接E′G交BC于點F，此時四邊形EFGH周長取最小值，EF＝E'F，過點G作GG′⊥AB于點G′，如圖所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，

∴E′G′＝AB＝3，∵GG′＝AD＝6，∴E′G=E′G′2∴C四邊形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝65．故選：C．總結(jié)提升：本題考查了軸對稱中的最短路線問題以及矩形的性質(zhì)，找出四邊形EFGH周長取最小值時點E、F、G之間的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣2，2），B（﹣5，5）是第二象限角平分線上的兩點，點C的縱坐標(biāo)為2，且CA＝CB，在y軸上取一點D，連接AC，BC，AD，BD，使得四邊形ACBD的周長最小，則周長的最小值為．思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝3，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于D′，則此時，四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值＝AC+BC+A′B，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：∵點A（﹣2，2），點C的縱坐標(biāo)為2，∴AC∥x軸，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（﹣5，5），∴C（﹣5，2），∴AC＝BC＝3，如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，

連接A′B交y軸于D′，此時，四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值＝AC+BC+A′B，∵AC＝BC＝3，AA′＝4，∴A′C＝3+4＝7，∴A′B=B∴最小周長的值＝AC+BC+A′B＝6+58故答案為：6+58總結(jié)提升：本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2019春?仙游縣期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的兩個動點，且始終保持∠AEF＝60°（1）試判斷△AEF的形狀并說明理由；（2）若菱形的邊長為2，求△ECF周長的最小值．思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)四邊形ABCD是菱形判斷出△ABC的形狀，在AB上截取BG＝BE，則△BGE是等邊三角形．再由ASA定理得出△AGE≌△ECF，故可得出AE＝AF，由此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)AE⊥BC時△ECF周長最小，由直角三角形的性質(zhì)求出CE的長，故可得出結(jié)論．解：（1）△AEF是等邊三角形，理由是：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵∠B＝60°．

∴△ABC是等邊三角形，在AB上截取BG＝BE，則△BGE是等邊三角形∴AG＝AB﹣BG＝BC﹣BE＝EC，∵∠AEC＝∠BAE+∠B＝