浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

寧波市2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試卷全卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)為虛數(shù)單位，且，則（）A．B．C．D．3．已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A．B．C．D．4．體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學(xué)生不同的排法共有（）A．24種B．36種C．72種D．96種5．已知是奇函數(shù)，則（）A．1B．C．2D．6．已知，則下列選項(xiàng)中，能使取得最小值25的為（）A．B．C．D．7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓的上頂點(diǎn)，線段的延長線交橢圓于點(diǎn)．若，則橢圓的離心率（）A．B．C．D．8．在平行四邊形中，已知，將沿翻折得四面體．作一平面分別與交于點(diǎn)．若四邊形是邊長為的正方形，則四面體外接球的表面積為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．?dāng)?shù)字經(jīng)濟(jì)是繼農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)、工業(yè)經(jīng)濟(jì)之后的主要經(jīng)濟(jì)形態(tài)．近年來，在國家的大力推動(dòng)下，我國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模增長迅猛，《“十四五”數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)劃》更是將數(shù)字經(jīng)濟(jì)上升到了國家戰(zhàn)略的層面．某地區(qū)2023年上半年月份與對(duì)應(yīng)數(shù)字經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)總值（即GDP）（單位：億元）如下表所示．月份123456生產(chǎn)總值303335384145根據(jù)上表可得到回歸方程，則（）A．B．與正相關(guān)C．若表示變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則D．若該地區(qū)對(duì)數(shù)字經(jīng)濟(jì)的相關(guān)政策保持不變，則該地區(qū)7月份的生產(chǎn)總值約為億元10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則（）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在區(qū)間上既有極大值又有極小值D．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位11．已知圓，拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，則（）A．以點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與軸相切B．當(dāng)最小時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，直線與圓相切D．當(dāng)時(shí)，以為圓心，線段長為半徑的圓與圓相交公共弦長為12．已知函數(shù)滿足：對(duì)，都有，且，則以下選項(xiàng)正確的是（）A．B．C．D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）．14．某校元旦文藝匯演中，有八位評(píng)委對(duì)一舞蹈節(jié)目評(píng)分，該節(jié)目得分依次為，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為____________．15．“PVC”材質(zhì)的交通路障因其便攜、耐用、易塑形等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活中．某廠家設(shè)計(jì)的一款實(shí)心交通路障模型如下圖所示，該幾何體的底部是一個(gè)正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一個(gè)圓臺(tái)，結(jié)合圖中所給的數(shù)據(jù)（單位：），則該幾何體的體積為____________．16．已知成公比為2的等比數(shù)列，且．若成等比數(shù)列，則所有滿足條件的的和為____________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知．（1）求的大?。唬?）若，求的面積．18．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）記為的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)，都有，求的取值范圍．19．（12分）如圖，在四棱雉中，底面，，點(diǎn)在上，，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．20．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．問：是否存在，使得，成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（12分）某次高三數(shù)學(xué)測(cè)試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分，多選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)誤選擇或不選擇得0分．（1）若小明對(duì)其中5道單選題完全沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)作答，每題選到正確選項(xiàng)的概率均為，且每題的解答相互獨(dú)立，記小明在這5道單選題中答對(duì)的題數(shù)為隨機(jī)變量．（i）求；（ii）求使得取最大值時(shí)的整數(shù)；（2）若小明在解答最后一道多選題時(shí)，除發(fā)現(xiàn)A，C選項(xiàng)不能同時(shí)選擇外，沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇若干選項(xiàng)作答．已知此題正確答案是兩選項(xiàng)與三選項(xiàng)的概率均為，問：小明應(yīng)如何作答才能使該題得分的期望最大（寫出小明得分的最大期望及作答方式）．22．（12分）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為．（i）求證：為定值；（ii）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C2．D3．A4．C5．D6．B7．B8．A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．ABD10．AB11．AD12．ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4014．9215．16．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（1）由，結(jié)合正弦定理，得，即，因?yàn)?，所以，即．?）因?yàn)?，所以．利用正弦定理得．而，故的面積為．18．（1）由題知，，當(dāng)時(shí)，，所以，曲線在處的切線方程為．（2）由題意，原不等式等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立．當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)，因?yàn)?，所以存在唯一，使得，即．?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，即．綜上所述，的取值范圍為．19．（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又因?yàn)?，且，所以平面，又平面，所以，而，且，所以平面．?）如圖，以為原點(diǎn)，方向分別為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則．由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，解得，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角余弦值為．20．（1）由，取，得，即．由，得，即．解得，則．（2）．，兩式相減，得到，即．因?yàn)?，所以，故不存在正整?shù)，使得成等比數(shù)列．21．（1）（i）因?yàn)?，所以．（ii）因?yàn)椋睿獾?，所以?dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．（2）由題知，選項(xiàng)不能同時(shí)選擇，故小明可以選擇單選、雙選和三選．正確答案是兩選項(xiàng)的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率均為．正確答案是三選項(xiàng)的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率為．若小明做出的決策是單選，則（分），（分），若小明做出的決策是雙選，則（分），（分）．若小明做出的決策是三選，則（分）．經(jīng)比較，小明選擇單選或單選的得分期望最大，