高數(shù)期中試卷解答

說明：1、高等數(shù)學(xué)考試在校歷二十周，望大家抓緊時(shí)間復(fù)習(xí)！

具體時(shí)間地點(diǎn)再通知。2、高等數(shù)學(xué)考試難度遠(yuǎn)小于期中考試，

望大家不要有壓力！3、考試內(nèi)容：課本上冊第七章微分方

程一課本下冊第十二章無窮級(jí)數(shù)。二階微分、方向?qū)?shù)與梯

度、二元泰勒公式、最小二乘法、隱函數(shù)方程組、斯托克斯

公式、通量與散度、旋度與環(huán)流量、一致收斂性、傅式級(jí)數(shù)

不考。

武漢理工大學(xué)教務(wù)處

試題標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)用紙

2010高等數(shù)學(xué)（A下理工類）第二學(xué)期期中考試解答

一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）標(biāo)準(zhǔn)：錯(cuò)誤或不選得零分，正確得三分。

A;B;C;C;D

二、填空題（每小題3分，共15分）標(biāo)準(zhǔn)：錯(cuò)誤或不選得零分，正確得三分。

-4333萬43

1ox+2y+z-4=0；2oy——x------；3。1；4.—ci；5?一式

22x324

計(jì)算題（每小題8分，共40分）標(biāo)準(zhǔn)：按步驟給分。

3F_ysinxy分加=+42/屈盯_2xy3sin孫凌分）

1.解:

&i+x2y2'dx2（l+x2y2）2

d2F

,=4（8分）。

dxx=o

y=2

2,解：告=/+巧行+2?月（2分）

OX

2222

頭=2xf；-2yf{+xyfi-1+2X（x-y-4x（8分）。

dxdy

3.解：I=^dx^exdy+^dy^eyldx（2分）=2^exdy（4分）

=2fxexdx（6分）=ex=e（8分）。

」）o

222

4.解：I=17X,db（2分）=「M-^pdp（4分）

iJ1+x2+y2*J1+p2

=萬［/?2-ln（l+/J?）］）（6分）=%（1-In2）（8分）

5.解：利用對(duì)稱性可知，睡小=川）小=0，

CC

/=JJJVdv（2分）=^dz^Z2dxdy+^dz^z2dxdy（4分）

QD.2D,

=f療伍-犬卜Z+g療（l-Z,'z（6分）乃⑻

四、解答題（每小題6分，共6分）標(biāo)準(zhǔn)：按步驟給分。

解：R（x,y,z）=xy-zlny+<?"-1,則尸（0,1,1）=0,XF'=y+zexz

xz,

F'y=x--.F!=-\ny+xe,且工'（0,1,1）=2,F；（0,1,1）=-1,F.（0,l,l）=0

y

由隱函數(shù)存在定理知，可確定相應(yīng)的隱函數(shù)X=x（y,2）和y=y（x,z）。

五、應(yīng)用題（第1題8分，第2題10分，共18分）標(biāo)準(zhǔn)：按步驟給分。

1.解：設(shè)。、y：%2+y2WR2,XNO,y>Q

*-I丫2nmR2_X?R

表面積S=16S1=16Jh》一^+1公辦，（2分）=16px[-2dy

%VR-x）yR2-x2

=16R2（4分）

體積V=8匕=8\^R2-x2dxdy（6分）=8，公，"^^R2-x2dy=—R3（8分。

%3

2.解：（1）旋轉(zhuǎn)拋物面方程為：z=2一方2—。金分）

（2）旋轉(zhuǎn)拋物面位于第一卦限部分上任意一點(diǎn)（x,y,z）處得切平面方程為

xy7

2xX+2yY+Z=4-z,即-^――+------+--------=1,（4分）

4—z4—z4—z

2x2,y

所以四面體的體積為：V=（4—Z）,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，令

24xy

F（<x,y,z,zl）=31n（4—z）—InA;—Iny+A（x2+y2+z—2）,（6分）由

Fx=-----F2zLx=O;

戶、=一~-+2Ay=O;

y

―-——F4二();

￡4-z

尸2=JC2+y2+Z-2=()?(8分)

得x=y=z=l,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)駐點(diǎn)，所以為所求。（10分）

六、證明題（每小題6分，共6分）標(biāo)準(zhǔn)：按步驟給分。

證明：設(shè)G（x,y,z）=F（ax-by,cx-反）=0,則曲面上任意一點(diǎn)（x,y,z）處得切向量

n=(Gv,Gv,G;)={aF；+cF；,-bF；-bF；),(2分)又設(shè)向量/=0,a,c),(4分)則〃?/=(),即“JJ,所以切

平面與向量/都平行。（6分）

武漢理工大學(xué)考試試題（A卷）

課程名稱：高等數(shù)學(xué)A（下）專業(yè)班級(jí)：2006級(jí)理工科專業(yè)

題號(hào)—■三四五總分

題分152040205100

備注：學(xué)生不得在試題紙上答題（含填空題、選擇題等客觀題）應(yīng)按順序答在答題紙上。

一、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分）

1.函數(shù)z=sin（孫）在點(diǎn)（0,D處的全微分dz=（）.

A.dr,B.—dx,c.dy,D.一dy?

a

2.函數(shù)z=z（x,y）由方程/-3盯z=1確定，則丁=（).

辦

一XNz2-xyz2-xy

A.B.C.D.

z2-xyz2-xyxz-xz

22

3.^D={(X,J)|1<X+J<4},貝Ujjx2dcr=().

D

15%7%15%

A.3見D.——

B.丁2

4.下列級(jí)數(shù)中條件收斂的級(jí)數(shù)是().

n

00令（一00

A-Z(一1)~62"D"

'B-EFC.工

W=13"71=1

5.微分方程y''+y'-2y=xe*的特解y*的形式可設(shè)為（）.

A.are”,B.(ax+b)ex,C.ax2ex,D.(ax+b)xex.

二、填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)

■*ST

1.函數(shù)z=5孫2在點(diǎn)(0,1)處沿方向[=(-3,4)的方向?qū)?shù)9■=______.

ol

2.由JP工)？＜242—*2-72表示的立體圖形的體積匕

3.設(shè)閉區(qū)域。由光滑曲線L圍成，。的面積等于3,L是。的取正向的

邊界曲線，則，4jdx+3xdj=.

4.將函數(shù)/(x)=x(l-x)(04%4萬)展開成周期為2%的正弦級(jí)數(shù)，

其和函數(shù)為S(x),則S(-2)=.

5.微分方程)'=§在條件引x=]=2下的特解為y=.

三、計(jì)算題(本題共5小題，每小題8分，滿分40分)

分2

1.設(shè)Z=/(盯/2一72),/具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求

oxoy

,2,23

2.交換二次積分/=Idxjqe，dy的次序，并且求出/的值.

3.計(jì)算JJp+e叼dydz+(y3_ec°sz)dxdz,其中￡為圓錐面

Z=j-+y2位于平面z=1以下部分的下側(cè).

1—X

4.將函數(shù)/(*)=---展開成(*-1)的嘉級(jí)數(shù)，并指出收斂域.

3-x

5.求解微分方程的初值問題歹'一V一2y=0,兒=o=l,j'|x=0=2.

四、綜合應(yīng)用題(本題共2小題，每小題10分，滿分20分)

1.表面積為54的長方體的最大體積是多少？

2.已知微分方程了3/(%)加+3y2[/(%)+sinx-cosx]dy=0是全

微分方程，其中f(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且/(0)=1,求f(x).

五、證明題(本題滿分5分)

800n

設(shè)級(jí)數(shù)收斂，證明：級(jí)數(shù)收斂.

06級(jí)高數(shù)A（下）（A卷）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（2007年7月）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分）

1.A；2.A；3.B；4.C；5.D.

二、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分）

1.—3；2.—；3.—3；4.2；5.2A?2.

6

三、本題共5小題，每小題8分，滿分40分

1.解—=#1+--------------------------------------（4分）

OX

舒=y（/；）；+2*（力）；+G）"；--------------------（5分）

x+

=XJ/11-2//12+2X721^yf22fl,（8分）

2-解/=("1：/力=￡⑦￡;"

dx（4分）

=卜e>dy------------------------（6分）

=31e，d(V)------------------------（7分）

I/?18

=—e=—e-------------------（8分）

°3o3；

222

3.解設(shè)Z：Z=1(X+J<JR),^亍向向上，

則JJx3djdz+j3dxdz=目-JJ-------------------（2分）

SE+E%

其中目(,+eSinz疝氏+(/_eC0SZ）dxdz

E+Sj

=3jj|(x~+j)dxdjdz（4分）

Q

3

=3「d"drfr3dz=n（6分）

JoJoJr10

JJ(x3+esinz)djdz+(y3-ecosz)dxdz=0------------(7分)

%

sinC0K------(8

所以+e-')djdz+(y3.e)dxdz=7C分)

5.解特征方程r2-r-2=0---------------------------------------(2分)

(3

根為/*!=-1,/*2=2------------------------------------分)

x2x--------------------------------（5

通解為y=Cle~+C2e分）

=

由j|x=01得l=G+02

由凡=0=2得2=-。］+2。2

---------------------------------（7

所以Cx-0,C2=1分）

從而y=e2v-------------------------------------------------（8分）

四、本題共2小題，每小題10分，滿分20分

1.解設(shè)邊長分別為

目標(biāo)函數(shù)V(x,y,z)=xyz-----------------------------(2分)

約束條件^(x,y,z)=2(xy+xz+jz)-54=0--------(3分)

設(shè)L(x,j,z,2)

=xyz+4(2盯+2xz+2yz-54)--------------(6分)

Lx=yz+2/l(y+z)=0

Ly=xz+22(x+z)=0

令-------------(8)

Lz=xy+22(x+y)=0

Lx=2xy+2xz+2yz-54=0

得x=3,j=3,z=3---------------------------(9分)

最大體積V(3,3,3)=27------------------------------------(io分)

2.解依題意疝血=43y2(〃x)+則*一cosx)]一分)

dydx

即3J2/(X)=3j2[/'(^)+cosx+sinx]

f'(x)-f(x)=-sinx-cosx------------------(3分)

sinx-cosx)eJ"dx+C

通解為/(x)=e（6分）

x

=e*(J(一sinx-cosx)e-dx+C)

-x

=ex(ecosx+C)------------------（8分）

由/(0)=l得C=0----------------------------------------(9分)

所以/（x）=cosx-----------------------------------------（10分）

五、本題滿分5分

00

證由題設(shè)s（x）=當(dāng)*=1時(shí)收斂，---------------（1分）

71=1

所以區(qū)間［0,1］包含于嘉級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，

00

從而S（X）=E%x"T在［0,1］可積且可以逐項(xiàng)積分，---------（3分）

〃=1

所以*x"Tdx=￡dx

7i=l"n=l\n=l>

=fs（x）dx--------------------------------------------（4分）

00a

故-收斂(5分)

武反理工大學(xué)考試試題(A卷)

課程名稱：高等數(shù)學(xué)A(下)專業(yè)班級(jí)：2007級(jí)理工科專業(yè)

六

題號(hào)—■二一四五七總分

題分151524161686100

備注：學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題)應(yīng)按順序答在答題紙上。

一、單項(xiàng)選擇題(3x5=15分)

1.曲面型=1在點(diǎn)(1，L1)處的切平面方程為()

A.x+y+z—3=0,B.x+y+z+3=0,

C.x+y+z+l=0,D.x+y+z-l=0o

2.設(shè)〃=(x,3,2),B=(-l,y,4),若〃〃B,則有()

A.x=-l,y=39B.x=-g,y=-6,C.x=l,y=-l9D.x=一;,y=6。

,[.sin(孫)/、

3.lim-.

(x,y)->(U0)—y

A.1,B.-1,C.0,D.不存在。

4.設(shè)/(")為連續(xù)函數(shù)，區(qū)域O={(x,y)H+)■=2)，},則(盯)dxdy=()

D

A.1戶￡"(孫)辦'B.'f(xy)dx,

fisinO-ere祕sing

rdOyf(r2sin0cos0)dr,D.|dOyf(r2nsin0cosO)rdro

5.級(jí)數(shù)￡(-1)"(1-館5與9>0)的收斂情況是().

?=in

A.發(fā)散，B.收斂性與a有關(guān)，C.絕對(duì)收斂，D.條件收斂。

二、填空題(3x5=15分)

1.函數(shù)=/+(y—l)arctan(孫)，則/」(1,1)=。

2.由方程盯z+Jx?++z?=V2所確定的函數(shù)z=z(x,y)在點(diǎn)(1,0,-1)處的全微分dz=.

3.設(shè)/(x)滿足收斂定理的條件，其傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x),已知/(x)在x=0處左連續(xù)，且

/(0)=—l,S(0)=2,貝!|lim/(x)=______o

Xf0+

4.函數(shù)z=ln(/+y2)在點(diǎn)(1,1)處沿方向，=(1,1)的方向?qū)?shù)生=______.

dl

5.設(shè)L為圓周d+y2=],則W+y2ds=o

三.計(jì)算題(3x8=24分)

1.設(shè)z=/（工X）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求驍。

ydx

2.計(jì)算/=其中D：x2+y2<l,y>0

J/l+x+yo

3.交換積分次序，然后計(jì)算/=，公/?力

四.計(jì)算題（2x8=16分）

1.計(jì)算I=［（xe，-x2y）dx+（xy2-siny2）dy,其中L是從點(diǎn)A（a,0）沿上半圓x2+y2=a2（?>0）

到點(diǎn)B（-?,0）的弧段.

2.計(jì)算曲面積分/="/6廢+y2dzdx+（z2-2z）dxdy

I

其中Z為錐面產(chǎn)=/+）,2介于平面z=0及Z=1之間的部分的下側(cè)。

五.計(jì)算題（2x8=16分）

1.將〃x）=」一展開成（X-2）的幕級(jí)數(shù)，并指出收斂域

3+x

2.已知曲線積分［"'（x）+6/（x）+4eWx+/'（x）dy與路徑無關(guān)，

且"0）=0,八0）=1,求函數(shù)。（X）.

六.（8分）欲造一無蓋的長方體容器，已知底部造價(jià)為每平方米3元，側(cè)面造價(jià)為每平方米1元，現(xiàn)

想用36元造一個(gè)容積最大的容器，求它的長寬高的尺寸

七.（6分）設(shè)塞級(jí)數(shù)￡>/"在（-8,+8）內(nèi)收斂，其和函數(shù)y（x）滿足微分方程y"-2孫<4），=0,且

〃=0

y（0）=0,y（0）=lo

2

（1）證明：。.二二%（〃=0」，2,…）（2）求和函數(shù)y（x）的表達(dá)式。

~n+1

07級(jí)高數(shù)A（下）（A卷）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（2008年7月）

一、ADBDC

二、2；dx-4idy；5；V2；24。

￡

三、1、解：|=，力'+投（4分）；14--T/n"+-/12"+/22"（8分）

oxyoxyy

2、解：/=JJ——，一-dxdy（4分）=（""占"（6分）=^ln2（8分）

3、解：/=［"n）dyPdx（4分）=（feidydy-fysinydy=1-sinl8

四、1、解：加邊8A:y=0,x從到a,...4分

4

記L與防圍成的區(qū)域?yàn)镈,由格林公式：/=JJ(x2+y2)db—j*Jdx=%-……8分

?"4

2.解：設(shè)弓為[=1(，+/41)的上側(cè)，……2分

=>/=曰-=/=2JJJ(x+y+z-l)du-JJ(TMxd)，

￡+邑邑aD?

=l\\\zdv-l\\\dv+71...6分

QQ

=2fzdz\\dxdy--+)=工——+7r=—...8分

3236

五、1、/U)--=(尤-2)=Z](x-2)...6分

']+人4D〃=0Dn=0D

5

X—2

由上上<1可得收斂域?yàn)?3<x<7。8分

5

2、解：由曲線積分與路徑無關(guān)得：/"(x)—/'(X)-6/3)=4"',……3分

其特征方程為「2-一6=0,八=3,々=一2。對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：……6分

特解的形式為_f(x)=ae',代入原方程得：。=一1,即/*(x)=—er

2xx

原方程的通解為/(x)=a/'+C2e'-e-,

由/(0)=0,r(0)=1得G=M。2=：故/*)=$3，+/2--，?！?分

六、解：設(shè)長、寬、高分別為X,y,z米，

由題意求V=X衣在條件3町,+2》2+2/：=36下的最大值。

作函數(shù)：L=xyz+2(3xy+2xz+2yz-36)4分

4="+32y+2Az-0

4"+3〃+2々=。解之得:

令<x=y=2,z=3

Lz=xy+2A(x+y)=0

3xy+2xz+2yz-36=0

駐點(diǎn)是唯一的，由實(shí)際問題本身可知最大值一定存在，所以當(dāng)長寬高分別為2米，2米，3米時(shí)，容積最大(為12

立方米)。....8分

七、解：(1)設(shè)y(x)=￡a"x",y'(x)=,

w=0n=l

88

y\x)=Z〃(〃TM“x"2=Z(〃+1)(〃+2)%+2/

/:=2n=0

88

代入微分方程得Z(〃+1)(〃+2)%+2X"=￡(2”+4)*X",比較系數(shù)得:

n=0n=0

2

(〃+1)(/2+2)%+2=(2〃+4)%，即a=——-a...3分

n+2n+1n

(2)由y(0)=0可得即=0,再由y(0)=1得%=1,

21

由。〃+2=------an9經(jīng)計(jì)算歸納可得：=°，礪〃+1=一，

〃+1n\

82?+1CO/2\/i,

于是y(x)=V-----=xV-----=xex~o...6分

n=0n=0〃!

武反理工大學(xué)考試試題（A卷）

課程名稱：高等數(shù)學(xué)A（下）專業(yè)班級(jí)：2008級(jí)理工科專業(yè)

題號(hào)一二三四五六七總分

題分1520161616107100

備注：學(xué)生不得在試題紙上答題（含填空題、選擇題等客觀題）應(yīng)按順序答在答題紙上。

一、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分）

1-函數(shù)z=/（x,y）有力（小,兄），工、.（%,為）存在，則有（）.

A.閡?⑷=Rx。，〃x。，”）,，B.“腐,J（x，y）=/Uo,y。）,

。,%)存在.

C.limfx(x,y)=/(x0,y0),0-/(x

(x,y)-*(xo,>o)

2.L是平面上單連通區(qū)域G內(nèi)的光滑曲線，玖匕》）,。*/）在6內(nèi)有一階連

續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則JP（x,y）dx-0（x,y）d），與路徑無關(guān)的充要條件是（）.

L

A.絲=義，B,2=叱C.名+絲=0,D..”+義=。

dydxdxdydxdydydx

3.下列二重積分表達(dá)正確的是:（）.

A.jjx7x2+y2dxdy=0其中D={（x,y）|x2+yW解產(chǎn)之。/2。}

D

B.+Adxdy=0其中D={（x,y）|x2+y2</?2,x<0,^<0|,

D

C.“x"+y2dxdy=0其中D={(x,y)|/+J?0},

D

D.jjx-y/x2+y2dxdy=0其中D=1(x,y)|x2+y2<Z?2,y>01.

D

4.下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的級(jí)數(shù)是().

00100sinnq(—1)"y.n

AB

--E丁，Z/—22

n=l?〃=1

nn

5.用待定系數(shù)法求微分方程y”+2y=xsin2x的特解時(shí)，y*的形式可設(shè)為().

A.(ax+/?)xsin2x+(ex+d)xcos2x,B-(ax+0)sin2x+(cx+d)cos2x,

C.(6zx+Z?)xsin2X9D.+sin2X.

二、填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)

1.函數(shù)U=/+孫-^在點(diǎn)(1,2,1)處的梯度grad〃=_____________.

2.L是xoy平面上的曲線：f+y2=］；設(shè)A是曲線長的微元，則曲線積分

的計(jì)算結(jié)果~.

"2+V+j

3.將二次積分￡dx^f(x,y)dy交換積分次序是=.

4.函數(shù)/(x)以2%為周期，在(-鞏乃］上/(%)=?,

［0-7T<X<0

將函數(shù)/(x)展開成周期為2萬的傅立葉級(jí)數(shù),其和函數(shù)為S(X),

貝J|S(3%)=.

5.微分方程P一一y=2/在條件)，［y=。下的特解為y=.

三、計(jì)算題(本題共2小題，每小題8分，滿分16分)

1.設(shè)名=2(羽丁)是由方程2="％+乂y一2)所確定的二元函數(shù)，/具有連續(xù)的正值的偏導(dǎo)

數(shù)，求dz.

2.求微分方程2y=-4x"的通解。

四、計(jì)算題(本題共2小題，每小題8分，滿分16分).

1.計(jì)算密度為夕的均勻錐面X:Z=7717,04ZW1；對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.求塞級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡二的和。

n=\n=l/

五、計(jì)算題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）.

22

L用格林公式計(jì)算J（e*siny-5y）dx+（e'cosy-5）dy,其中L是從點(diǎn)（2,0）沿橢圓匕+二=1至點(diǎn)（0,

L49

3）的小弧段。

2.用高斯公式計(jì)算5xzdydz-lyzdzdx-（z2-V）dxdy,其中Z是曲面z=—+/

z

與z=i圍成的空間立體的表面外側(cè)。

六、應(yīng)用題（10分）

研究并求出空間曲線「:+'上的點(diǎn)到xoy坐標(biāo)平面的最長、最短的

、x+y=1

距離。

七、證明題（本題滿分7分）

設(shè)函數(shù)Hx,y,z）有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且1）=0。證明在空間曲面

S：F（x,j,z）=0上過點(diǎn)A（1,1,1）的任意一條在A點(diǎn)切線存在的曲線，在A點(diǎn)處的切向量都與

一個(gè)定向量垂直。

08級(jí)高數(shù)A（下）（A卷）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（2009年7月）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分）

D、D、D、A、B.

二、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分）

1.(4,1,-2)；2.1713.=X3-X.

三、計(jì)算題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）

1-

2.特征根弓=-1,弓=2。對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：y=仿6-'+C2/'

設(shè)非齊次方程的解為：y*=（4％+/?）靖代入方程得到：a=2,b=l.

原方程得通解是：x2x

y=c,e~+c2e+（2x+l）e\

四、計(jì)算題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）.

1.對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/：=夕jj（x2+）y/2dxdy

Ex2+y2<\

=（18，N匕=471P

2.收斂域：（0,2）

000000001

令x4=￡,則==Z("+1)〃一，而2?”=

n=ln=ln=]〃=ll—t

8

X(〃+D〃「?")=------7

n-\(1T)2

x—1

和函數(shù)S(x)=T(x—1)=(2x)2XG(0,2)=2o

五、計(jì)算題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）.

1.加有向線段BO、OAo其中B（0,3）、O（0,0）、A（2,0）,

設(shè)曲線L+BO+OA所包圍的平面區(qū)域?yàn)镈o

原式二J(e'siny-5y)dx+(e'cosy-5)dy

L+BO+OA

315

=JJ5dxdy+]f(cosy-5)dy=—^+sin3-I5

D

2.原式二jjjzJV=、嚴(yán)2dz=乙

Q3

六、應(yīng)用題（10分）

法一：由于＞0,設(shè)￡=[+4（z—2/一/）+/X+y—1）

Lx=-4Ax4-//=0

L、=—2Ay+//=0

122

令：＜L_=1+4=0解得唯一點(diǎn)：（）

22

LA=z-2x-y=0

L=x+y-1=0

根據(jù)問題的幾何特征最大距離是+s,最小距離是（2/3）

法二：過曲線平行于y軸的投影柱面是：z=3——2x+l,開口向z正半軸的拋物柱面，原問題可以轉(zhuǎn)化成,

求XOZ平面上的投影曲線到X軸的最大、最小距離。最大距離是+8。最小距離就是函數(shù)z=3f-2x+l的

最小值。

z=3%2-2x+Lz'=6x-2令z'=6x-2=0解得：x=-.

3

122

曲線上點(diǎn)（§,§,§）到xoy平面的距離最小，最小距離是（2/3）。

七、證明題（本題滿分7分）

x=x(r)

設(shè)曲面上過A點(diǎn)的任意一條曲線為L：-y=y(t),A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參變量f=%；

[z=z")

則有：F(x(r),y(O,z(O)=O,且(F,)x'⑴+(G)y'?)+(F,)(z'⑺L=0。

,

即：Fv(l,l,l)/(z0)+Fv(l,l,l)>'(r0)+E(l,l,l)^(z0)=0.由L的任意性可證結(jié)論成立。

武反理工大學(xué)考試試題(B卷)

課程名稱：高等數(shù)學(xué)A(下)專業(yè)班級(jí)：2009級(jí)理工科專業(yè)

六

題號(hào)—*三四五總分

題分15202416169100

備注：學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題)應(yīng)按順序答在答題紙上。

一、單項(xiàng)選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分)

1.函數(shù)z=/(x,y)在點(diǎn)(乙,打)處連續(xù)是/。,〉)在該點(diǎn)處()□

A.偏導(dǎo)數(shù)存在的充分條件B.偏導(dǎo)數(shù)存在的必要條件

C.可微的充分條件D.可微的必要條件

2.若/(x,y)在關(guān)于y軸對(duì)稱的有界閉區(qū)域。上連續(xù)，且/(-x,y)=-/*,”則二重積分

/(x,y)dxdy的值等于()?

A.。的面積B.2f(x,y)dxdyC.0D.f(x,y)

3.設(shè)有級(jí)數(shù)則其前“項(xiàng)的部分和數(shù)列｛S.｝有界是級(jí)數(shù)￡氏.收

k=lhl

斂的()?

A.充分條件B.必要條件

C.充分必要條件D.既非充分條件，也非必要條件

4.微分方程y"—ynsiYx具有下面形如()的特解。

A.y*=acos2x4-/?sin2x；B.y*=〃+/?cos2x+csin2x；

C.y*=a+x(bcos2x+csin2x)；D.y*=ax+bcos2x+csin2x

5.是以2開為周期的函數(shù)，且在(-肛乃)上有表達(dá)式

/(X)=F'<X"°，S(x)是/(x)的傅立葉級(jí)數(shù)的函數(shù)，

X,0<X<71

則S(3士乃)=().

2

JI33

A.0；B.-；C.-7ixD.-7T

242

二、填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)

1.設(shè)之=3:+，一2舊，b^2i-3]-k,貝。鼠B=

2.設(shè)函數(shù)”x,y,z)=(jj,貝!)4(1，1，D=.

3.改變二次積分[dx[Xf(x,y)dy的積分次序得

4.設(shè)/為圓周x=acost,y=asinr(0<z<2TT),(a>0)貝!J，,"?+y?)"ds=?

5.若弘=3,%=/，%=—+e”都是微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=/(x)的解，則此方程的通解

為?

三、計(jì)算題(本題共3小題，每小題8分，滿分24分)

1.設(shè)函數(shù)z=/(，xy),其中/(MJ)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求號(hào),與。

ydxdxdy

2.在曲面？=町，上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面x+3y+z+9=0,并寫出這法線的方程.

3.將函數(shù)f(x)=±」展開成(x-1)的募級(jí)數(shù)，并指出其收斂域.

5-x

四、計(jì)算題(本題共2小題，每小題8分，滿分16分).

1.求((2e2*siny-x-))dx+(e2*cosy-eS'"')dy,L為y=dx-￡上

從。(0,0)到41,0)的有向曲線弧.

2.計(jì)算JJ/dydz+Vdxdz,其中2為圓柱面爐+/=區(qū)2介于平面

Z=O和2=人(入>0)之間部分的外側(cè).

五、應(yīng)