復變函數與場論簡明教程：復變函數的積分

復變函數的積分

3.1復變函數積分的概念3.2柯西-古薩基本定理3.3復合閉路定理3.4原函數與不定積分3.5柯西積分公式3.6解析函數的高階導數3.7調和函數3.1復變函數積分的概念

1．積分的定義

定義設函數f(z)定義在區(qū)域D內，C為D內起點為A

終點為B的一條光滑有向曲線，把曲線C任意分成n個弧段，設分點為

A=z0,z1,z2，…,zk－1,zk，…,zn=B

在每個弧段(k=1，2，…，n)上任意取一點ζk(見圖3.1)，作和式其中,Δzk=zk－zk－1。記Δsk為弧段的長度，。當n→∞，且δ→0時，若不論對C的分法及ζk的取法如何，Sn有唯一極限，則稱此極限值為函數f(z)沿曲線C的積分，記作若C為閉曲線，則沿此閉曲線的積分記作顯然，當C是x軸上的區(qū)間a≤x≤b，而f(z)=u(x)時，此積分定義與一元實變函數的定積分定義相同。圖3.1

2．積分的計算

（1）若f(z)在區(qū)間D內處處連續(xù)，令f(z)=u(x,y)+

iv(x,y)，其中u(x,y)及v(x,y)均為D內的連續(xù)函數，dz=dx+idy，則容易得到積分計算公式:也就是說，復變函數的積分可以通過兩個二元實變函數的線積分來計算。(3.1.2)（2）設光滑曲線C由如下參數方程給出：

z=z(t)=x(t)+iy(t),α≤t≤β

(3.1.3)

參數t增加的方向為C的正方向，

α及β對應于C的起點A

及終點B，并且有當α<t<β時，z′(t)≠0。根據線積分

的計算方法，有(3.1.4)上式右端可以寫成于是如下計算積分公式:(3.1.5)若C是由C1,C2,…,Cn等光滑曲線段依次相互連接所組成的按段光滑曲線，則定義(3.1.6)［例1］計算的值，其中積分路徑如圖3.2所示，分別為：

(1)沿從原點到點z0=1+i的直線段C1；

(2)沿從原點到點z1=1的直線段C2與從z1到z0的直線段

C3所接成的折線。圖3.2解(1)直線段C1的方程可寫作:

C1∶z=t+it,0≤t≤1

在C1上，z=t－it，dz=(1+i)dt。于是

(2)直線段C2，C3的方程分別為

C2∶z=t,

0≤t≤1

C3∶z=1+it,0≤t≤1

所以有［例2］計算的值，其中積分路徑C同上例。解

(1)沿積分路徑C1：

(2)沿積分路徑C2→C3：［例1］中沿不同路徑積分值不同，而［例2］中積分值與路徑無關。實際上，把這兩個積分按第一種計算方法寫成二元實變函數線積分形式：(3.1.7)(3.1.8)［例3］計算，其中C為圓周：|z|=2。

解積分路徑的參數方程為

z=2eiθ,0≤θ≤2π

dz=2ieiθdθ

所以［例4］計算，其中C為以z0為中心，r為半徑的正向圓周(見圖3.3)，

n為整數。圖3.3解C的方程可寫作

z=z0+reiθ，0≤θ≤2π

所以(3.1.9)

3．積分的性質

從積分的定義可以推得下列與實變函數定積分相類似的性質：(3.1.10)(3.1.11)(3.1.12)(3.1.13)(4)

3.2柯西-古薩基本定理

設f(z)=u+iv在單連通域B內處處解析，且f′(z)在B內連續(xù)，C為B內任意一條簡單閉曲線（見圖3.4）。圖3.4根據式(3.1.2)，有由格林公式與柯西-黎曼方程(路線C取正向)得其中，D是C所圍的區(qū)域。柯西-古薩(Cauchy－Goursat)基本定理若函數f(z)在單連通域B內處處解析，則函數f(z)沿B內的任意一條閉曲線

C的積分為零，即

(3.2.2)

這個定理又稱為柯西積分定理。3.3復合閉路定理

設函數f(z)在多連通域D內解析，C為D內的任意一條簡單閉曲線，若C的內部完全包含于D，則f(z)在C上及其內部解析，容易得到

現在我們假設C及C１為多連通域D內的任意兩條(正向為逆時針方向)簡單閉曲線，C１在C的內部，以C及C１為邊界的區(qū)域D1全包含于D。作兩條不相交的弧段，它們依次連接C上某一點A到C１上的某一點A′以及C１上某一點B′(不同于A′)到C上的一點B，而且此兩弧段除去它們的端點外全包含于D1(見圖3.5)。圖3.5由圖3.5可見，AEBB′E′A′A及AA′F′B′BFA形成兩條位于多連通域D內的簡單閉曲線，它們的內部全含于D。于是有將上面兩式相加，得即(3.3.1)由式(3.3.1)可得或者(3.3.2)上式說明了一個很重要的閉路變形原理：在區(qū)域內的一個解析函數沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中曲線不經過函數f(z)不解析的點。

復合閉路定理設C為多連通域D內的一條簡單閉曲線，C1,C2,…,Cn是在C內部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以C,C1,C2,…,Cn為邊界的區(qū)域全含于D(見圖3.6)。若f(z)在D內解析，則成的復合閉路(其方向是：C按逆時針進行，

Ck按順時針進行)。圖3.6［例1］計算，其中Γ為包含

a的任一簡單閉路，n為整數。

解因為a在閉合曲線Γ內部，故可取很小的整數ρ，使Γ1：|z－a|=ρ在Γ內部(見圖3.7)。圖3.7為邊界的復連通域內解析，由復合閉路定理有再結合本章3.1節(jié)的［例4］的結論可得［例2］計算的值，其中Γ為包含圓周|z|=1在內的任何正向簡單閉曲線。解函數在復平面內除z=0和z=1兩個奇點外處處解析。由題意知道，Γ包含這兩個奇點。在Γ內作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2，

C1只包含奇點z=0，C2只包含奇點z=1(見圖3.8)。圖3.8根據復合閉路定理，得

3.4原函數與不定積分

定理一若函數f(z)在單連通域B內處處解析，則積分

與連接起點及終點的路徑C無關。

由此定理可知，解析函數在單連通域內的積分只與起點z0及終點z1有關。如圖3.9所示，有

圖3.9如果固定z0，讓z1在B內變動，并令z1=z，那么積分

在B內確定了一個單值函數F(z)，即對這個函數，我們有下述定理。定理二若f(z)在單連通域B內處處解析，則函數F(z)

必為B內的一個解析函數，并且F′(z)=f(z)。

這個定理跟微積分學中對變上限積分的求導定理完全類似。同樣，我們可以得出類似于微積分學中的基本定理和牛頓-萊布尼茲公式。

定義若函數j(z)在區(qū)域B內的導數等于f(z)，即j′(z)=f(z)，則稱j(z)為f(z)在區(qū)域B內的原函數。

定理二表明是f(z)的一個原函數。

容易證明，f(z)的任意兩個原函數相差一個常數。

設G(z)和H(z)是f(z)的任意兩個原函數，則

［G(z)－H(z)］′=G′(z)－H′(z)=f(z)－f(z)≡0

所以G(z)－H(z)=c，其中c為任意常數。

定義

f(z)的原函數的一般表達式F(z)+c(其中c為任意常數)稱為f(z)的不定積分，記作

(3.4.2)

利用任意兩個原函數之差為一常數這一性質，可以推得與牛頓-萊布尼茲公式類似的解析函數的積分計算公式

定理三若f(z)在單連通域B內處處解析，F(z)為f(z)的一個原函數，則

其中z0，

z1為B內的兩點。(3.4.3)

證明因為也是f(z)的原函數，所以

當z=z0時，根據柯西－古薩基本定理，得c=－F(z0)，因此

或［例1］求積分的值。

解這里使用了微積分學中的“湊微分”法。［例2］沿區(qū)域Im(z)≥0,Re(z)≥0的圓弧|z|=1，計算積分的值。

解函數在所設區(qū)域內解析，它的一個原函數為，所以

3.5柯西積分公式

定理若f(z)在區(qū)域D內處處解析，C為D內任意一條正向簡單閉曲線，它的內部完全含于D，z0為C內的任一點，則有如下柯西積分公式:(3.5.1)

證明

f(z)在z0連續(xù)，則任意給定ε>0，存在一個δ(ε)>0，當|z－z0|<δ時，|f(z)－f(z0)|<ε。設以z0為中心、R為半徑的圓周K∶|z=z0|=R全部在C的內部，且R<δ(見圖3.10)，那么(3.5.2)由積分估值不等式(3.1.13)，有上式表明不等式左端積分的?？梢匀我庑?，只要R足夠小。根據閉路變形原理，該積分的值與R無關，所以對所有的R，該積分值都必須為零。因此，由式(3.5.2)即得所要證的柯西積分公式(3.5.1)。圖3.10顯然，若f(z)在簡單曲線C所圍成的區(qū)域內及C上解析，則柯西積分公式仍然成立。

柯西積分公式表明，可以把一個函數在C內部任一點的值用它在邊界上的值來表示。也就是說，若f(z)在區(qū)域邊界上的值一經確定，則它在區(qū)域內部任一點處的值也就確定了。這是解析函數的又一特征。例如，C是圓周z=z0+Reiθ，那么式(3.5.1)成為這表明，一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。［例］求下列積分(沿圓周正向)的值。解由式(3.5.1)得

3.6解析函數的高階導數

定理解析函數f(z)的導數仍為解析函數，它的n階導數為其中C為函數f(z)的解析區(qū)域D內圍繞z0的任意一條正向簡單閉曲線，且其內部全包含于D。

證明設z0為D內任意一點，先討論n=1的情況，即根據導數的定義由柯西積分公式得從而有上式中最后一個積分的模f(z)在C上解析，故在C上連續(xù)，由第一章復變函數的極限和連續(xù)性質知道，f(z)在C上有界。即必存在一個正數M，使得在C上有|f(z)|≤M。設d為從z0到曲線C上各點的最短距離(見圖3.11)，適當選取Δz，使其滿足，則有所以由積分估值不等式可得其中,L為C的長度。若Δz→0，則上式趨于零，所以上式可以進一步寫成圖3.11我們再利用式(3.6.2)以及推出式(3.6.2)的方法去求極限：便可得到依此類推，用數學歸納法可以證明：［例1］求積分。

解函數f(z)=z3+1在復平面內解析，z0=－1在|z|≤2內，n=3，根據高階導數公式有

［例2］求積分，其中C為正向圓周：|z|=r>1。

解函數

在z=±i處不解析，且不解析點在C內。在C內分別以z=±i為中心作正向圓周C1，C2

(見圖3.12)。圖3.12

f(z)在由C，C1和C2所圍成的區(qū)域內是解析的。由復合閉路定理，有由高階導數公式可得同樣可得所以

3.7調和函數