（新課標）備戰(zhàn)高考數(shù)學“12＋4”小題提速練（一）理-人教版高三數(shù)學試題

“12＋4”小題提速練一為解答后面的大題留足時間一、選擇題1．已知集合A＝{x|y＝eq\r(2＋x－x2)}，B＝{x|x2＜9，x∈Z}，則A∩B＝()A．[－1,2] B．{0,1}C．{0,2} D．{－1,0,1,2}解析：選D由2＋x－x2≥0，得－1≤x≤2，∴A＝[－1,2]，由題意得B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}，故選D.2．若復數(shù)z＝eq\f(i,1＋i)(i為虛數(shù)單位)，則z·eq\x\to(z)＝()A.eq\f(1,2)i B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：選D法一：∵z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,2)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(i,2)，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)－eq\f(i,2)，∴z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(i,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(i,2)))＝eq\f(1,2)，故選D.法二：∵z＝eq\f(i,1＋i)，∴|z|＝eq\f(|i|,|1＋i|)＝eq\f(\r(2),2)，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(1,2)，故選D.3．已知a，b是兩個相互垂直的單位向量，且c·a＝eq\r(3)，c·b＝1，則|b＋c|＝()A.eq\r(6) B.eq\r(7)C．2eq\r(2) D．2＋eq\r(3)解析：選B因為向量a，b是相互垂直的單位向量，所以設a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，又c·a＝eq\r(3)，c·b＝1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1，))即c＝(eq\r(3)，1)，所以b＋c＝(eq\r(3)，2)，所以|b＋c|＝eq\r(\r(3)2＋22)＝eq\r(7)，故選B.4．某市一次高三年級數(shù)學統(tǒng)測，經(jīng)抽樣分析，成績X近似服從正態(tài)分布N(84，σ2)，且P(78＜X≤84)＝0.3.該市某校有400人參加此次統(tǒng)測，估計該校數(shù)學成績不低于90分的人數(shù)為()A．60 B．80C．100 D．120解析：選B根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知P(84＜X＜90)＝0.3，所以P(X≥90)＝0.2.所以該校數(shù)學成績不低于90分的人數(shù)約為400×0.2＝80.5．已知命題p：m∈(0,2)，命題q：雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋2)＝1的離心率e＞eq\r(3)，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A若eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋2)＝1表示雙曲線，則m(m＋2)＞0，所以m＞0或m＜－2，又離心率e＞eq\r(3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1＋\f(m＋2,m)＞3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－2，,1＋\f(－m,－m＋2)＞3，))所以0＜m＜2或－4＜m＜－2，所以命題q：－4＜m＜－2或0＜m＜2，又命題p：m∈(0,2)，所以p是q的充分不必要條件，故選A.6．如圖，某幾何體的三視圖都是邊長為1的正方形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選D由幾何體的三視圖可得該幾何體是將棱長為1的正方體截掉三棱錐A-BCD和三棱錐E-BDF之后剩余的部分，如圖，所以該幾何體的體積為1－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(2,3)，故選D.7．已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．－3 B．－2C.eq\f(2,3) D．2解析：選D因為a∥b，所以3sinα＝cosα?tanα＝eq\f(1,3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\f(1,3)＋1,1－\f(1,3))＝2.8．(2019·合肥一模)已知等差數(shù)列{an}，若a2＝10，a5＝1，則{an}的前7項和等于()A．112 B．51C．28 D．18解析：選C法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意，得d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝－3，a1＝a2－d＝13，則S7＝7a1＋eq\f(7×7－1,2)d＝7×13－7×9＝28，故選C.法二：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意，得d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝－3，∴a3＝7，∴S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7a3＋a5,2)＝28.9．為了提升全民身體素質，學校十分重視學生體育鍛煉．某?；@球運動員進行投籃練習，他前一球投進則后一球投進的概率為eq\f(3,4)，他前一球投不進則后一球投進的概率為eq\f(1,4).若他第1球投進的概率為eq\f(3,4)，則他第2球投進的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16) D.eq\f(9,16)解析：選B由題意，他投進第2個球的概率P2＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(5,8).10．設橢圓E的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P，Q兩點．若△PF1F2為直角三角形，則E的離心率為()A.eq\r(2)－1 B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)＋1解析：選A不妨設橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如圖所示，∵△PF1F2為直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴橢圓E的離心率e＝eq\r(2)－1.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)＋cos2(ωx＋φ)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0≤φ≤\f(π,2)))的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為eq\f(π,2)，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度后，得到奇函數(shù)g(x)的圖象，則f(x)的一個單調遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))解析：選Cf(x)＝eq\f(\r(3),2)sin(2ωx＋2φ)＋eq\f(1,2)cos(2ωx＋2φ)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋2φ＋\f(π,6)))，∵函數(shù)f(x)的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為eq\f(π,2)，∴eq\f(2π,2ω)×eq\f(1,2)＝eq\f(π,2)，∴ω＝1，將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度后，得到奇函數(shù)g(x)的圖象，∴g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋2φ＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2φ－\f(π,6)))，2φ－eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，∴φ＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，又0≤φ≤eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,12)，∴f(x)＝sin2x＋eq\f(π,3)，令2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)，取k＝0，得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))，故選C.12．(2019·廈門一檢)雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作一條直線與兩條漸近線分別相交于A，B兩點，若eq\o(F1B,\s\up6(→))＝2eq\o(F1A,\s\up6(→))，|F1F2|＝2|OB|，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3解析：選C如圖，連接F2B，因為|F1F2|＝2|OB|，且O為F1，F(xiàn)2的中點，所以∠F1BF2＝90°.因為eq\o(F1B,\s\up6(→))＝2eq\o(F1A,\s\up6(→))，所以A為線段F1B的中點，所以OA∥F2B，所以OA⊥F1B，所以∠AOF1＝∠AOB.因為直線OA與OB是雙曲線的兩條漸近線，所以∠AOF1＝∠BOF2，所以∠BOF2＝60°，則eq\f(b,a)＝tan∠BOF2＝eq\r(3)，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，故選C.二、填空題13．已知實數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋4≥0，,x－y－1≤0，,x＋2y－1≤0，))則目標函數(shù)z＝y(tǒng)－x的最小值為________．解析：根據(jù)線性約束條件可得可行域為△ABC(包括邊界)，如圖所示，作出直線x－y＝0并平移，可知當直線與直線x－y－1＝0重合時，z取得最小值，∴zmin＝－1.答案：－114.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))(eq\r(x)＋1)5的展開式中，x的系數(shù)為______(用數(shù)字作答)．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))(eq\r(x)＋1)5的展開式中，含x的項為eq\f(1,x)Ceq\o\al(1,5)(eq\r(x))4和－1×Ceq\o\al(3,5)(eq\r(x))2，故x的系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)－Ceq\o\al(3,5)＝－5.答案：－515．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋9，x≤1，,x＋\f(4,x)＋a，x＞1，))若f(x)的最小值為f(1)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意可知要保證f(x)的最小值為f(1)，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1，,f2≥f1，))解得a≥2.答案：[2，＋∞)16．已知一族雙曲線En：x2－y2＝eq\f(n,2019)(n∈N*，且n≤2019)，設直線x＝2與En在第一象限內的交點為An，點An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn，Cn.記△AnBnCn的面積為an，則an＝________，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝________.解析：因為雙曲線的方程為x2－y2＝eq\f(n,2019)(n∈N*，且n≤2019)，所以其漸近線方程為y＝±x，設點An(2，yn)，則4－yeq\o\al(2,n)＝eq\f(n,2019)(n∈N*，且n≤2019)．記An(2，yn)到兩條漸近線的距離分別為d1，d2，則S△AnBnCn＝eq\f(1