初高中數(shù)學(xué)銜接

初高中數(shù)學(xué)銜接

目錄

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第一講數(shù)與式的運(yùn)算（兩課時(shí)）

第二講因式分解（兩課時(shí)）

第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（一課時(shí)）

第四講不等式（兩課時(shí)）

第五講二次函數(shù)的最值問(wèn)題（一課時(shí)）

第六講簡(jiǎn)單的二元二次方程組（一課時(shí)）

第七講分式方程和無(wú)理方程的解法（一課時(shí)）

第八講直線、平面與常見(jiàn)立體圖形（一課時(shí)）

第九講直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系（一課時(shí)）

初高中銜接從觀念開(kāi)始

——致高一新同學(xué)

一、初、高中的比較

和初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容多，抽象性、理論性強(qiáng)，高中很注重自學(xué)能力的培養(yǎng)

的，高中不會(huì)像初中那樣老師一天到晚盯著你，在高中一定要注重自學(xué)能力的培養(yǎng)，誰(shuí)的自

學(xué)能力強(qiáng)，那么在一定的程度上影響著你的成績(jī)以及你將來(lái)你發(fā)展的前途。不過(guò)，要學(xué)好數(shù)

學(xué)也不是很困難的，只要你跟著我的思路走，你的數(shù)學(xué)一定會(huì)很好的。

二、學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法

現(xiàn)在我們來(lái)看看該如何才能學(xué)好高中數(shù)學(xué)呢？

第一：要改變一個(gè)觀念。

1、有人會(huì)說(shuō)自己的基礎(chǔ)不好。那我問(wèn)一下什么是基礎(chǔ)？今天所學(xué)的知識(shí)就是明天的基

礎(chǔ)，明天學(xué)習(xí)的知識(shí)就是后天的基礎(chǔ)，所以要學(xué)好每一天的內(nèi)容，那么你打的基礎(chǔ)就是最扎

實(shí)的了。所以現(xiàn)在你們是在同一個(gè)起跑線上的，無(wú)所謂基礎(chǔ)好不好。

2、還有同學(xué)會(huì)說(shuō)學(xué)數(shù)學(xué)除了高考沒(méi)啥用。其實(shí)，大千世界均蘊(yùn)含數(shù)學(xué)的理性思想；并

且就單純數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)，它本身的應(yīng)用性就很廣泛，不僅在科學(xué)方面，就在我們的生活中也

處處要用到數(shù)學(xué)知識(shí)。

3、改變?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣。在初中，許多同學(xué)在課堂上基本可以消化（或者是可以

完全消化）老師所講述的內(nèi)容。這樣就能夠考出好的成績(jī)，也就能夠體會(huì)到成功的喜悅?，F(xiàn)

在，在高中也許你會(huì)發(fā)覺(jué)：課上不能完全聽(tīng)懂老師所講，課后會(huì)有一些作業(yè)很難完成。這樣

會(huì)讓同學(xué)們有了挫敗感。這是與高中數(shù)學(xué)的特性有很大的關(guān)系。因此，同學(xué)們要改變自己的

學(xué)習(xí)觀念：一、要充分做好課前的預(yù)習(xí)，對(duì)書(shū)本的基本內(nèi)容進(jìn)行了解與分析：什么內(nèi)容自己

能夠?qū)W會(huì)？還有什么是要期待課堂解決？這樣對(duì)第二天要學(xué)的內(nèi)容心里有底，在上課的時(shí)候

才能做到有的放矢，使得課堂的效率達(dá)到最大；二、要加強(qiáng)自己的自主學(xué)習(xí)以及合作學(xué)習(xí)的

習(xí)慣，不能萬(wàn)事都依靠老師，要多和同學(xué)們進(jìn)行討論交流，增強(qiáng)自己合作交流的能力。三、

要學(xué)會(huì)參閱課外書(shū)籍。通過(guò)閱讀，能夠擴(kuò)展同學(xué)們的視野，拓廣同學(xué)們的思路，總結(jié)學(xué)習(xí)思

想方法，使得同學(xué)們能夠盡快地掌握所學(xué)知識(shí)，體會(huì)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

第二：要培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

有些人在初中就對(duì)數(shù)學(xué)很感興趣，希望你們能夠繼續(xù)保持下去。有些人在初中就不大喜

歡數(shù)學(xué)，為什么呢？有兩方面的可能性，一方面可能是由于討厭數(shù)學(xué)老師，另一方面可能是

數(shù)學(xué)老是考不好，越不喜歡數(shù)學(xué)就越不想學(xué)數(shù)學(xué)，越不學(xué)數(shù)學(xué)，越考不好，如此形成一個(gè)惡

性循環(huán)。我希望從今天開(kāi)始你們要開(kāi)始培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。有人說(shuō)興趣是最好的老師，只要

你對(duì)某一事物有濃厚的興趣，那么你對(duì)它的關(guān)注就超出平常，會(huì)收到意想不到的效果的。那

么我們?cè)撊绾闻囵B(yǎng)興趣呢？只要你發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是好玩的，是美的，那么你就有了濃厚的興趣。

其實(shí)在我們的周?chē)泻芏嗍虑槎际强梢杂脭?shù)學(xué)可以來(lái)解決的，無(wú)非很多人都沒(méi)有用數(shù)學(xué)的眼

光來(lái)看待。

比如基督教徒認(rèn)為上帝是萬(wàn)能的。你們認(rèn)為呢？如何來(lái)證明你的結(jié)論呢？我的觀點(diǎn)：上

帝不是萬(wàn)能的。為什么呢？仔細(xì)聽(tīng)我講來(lái)。

證明：（反證法）假如上帝是萬(wàn)能的，那么他能夠制作出一塊無(wú)論什么力量都搬不動(dòng)的

石頭。根據(jù)假設(shè)，既然上帝是萬(wàn)能的，那么他一定能夠搬的動(dòng)他自己制造的那石頭。這與''無(wú)

論什么力量都搬不動(dòng)的石頭”相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以上帝不是萬(wàn)能的。

其實(shí)這樣的例子周?chē)€有很多，炒股，銀行存款，摸彩票等等都和數(shù)學(xué)有關(guān)的。隨著高

中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，那么上面的問(wèn)題你都會(huì)有所細(xì)致的了解。

第三：學(xué)好高中數(shù)學(xué)要注意培養(yǎng)的幾個(gè)能力。

（-）獨(dú)立思考的能力：能根據(jù)所給的條件進(jìn)行獨(dú)立思考，將所學(xué)的知識(shí)與亟待解決的

問(wèn)題結(jié)合，尋找解決之道。

例、撲克牌中有一個(gè)算24的游戲：給出四個(gè)數(shù)，利用加、減、乘、除及括號(hào)連接這四

個(gè)數(shù)，使運(yùn)算結(jié)果為24?，F(xiàn)給出3、3、8、8這四個(gè)數(shù)，請(qǐng)你按上述要求列出算式，使結(jié)果

為24。（美國(guó)微軟公司在復(fù)旦大學(xué)招聘人才考試題）

（二）空間想像能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想像出直觀形象；能正確

地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手

段形象地揭示問(wèn)題的本質(zhì)。

空間想像能力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力。主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫(huà)圖和對(duì)圖

形的想像能力。識(shí)圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系；畫(huà)圖是指將文字語(yǔ)

言和符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，以及對(duì)圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行各種變換。對(duì)圖形的

想像主要包括有圖想圖和無(wú)圖想圖兩種，是空間想像能力高層次的標(biāo)志，邏輯推理能力。

（三）抽象概括能力：抽象是指舍棄事物非本質(zhì)的屬性，揭示其本質(zhì)的屬性；概括是指

把僅僅屬于某一類(lèi)對(duì)象的共同屬性區(qū)分出來(lái)的思維過(guò)程。抽象和概括是相互聯(lián)系的，沒(méi)有抽

象就不可能有概括，而概括必須在抽象的基礎(chǔ)上得出某一觀點(diǎn)或作出某項(xiàng)結(jié)論。抽象概括

能力就是從具體的、生動(dòng)的實(shí)例，在抽象概括的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì)；從給定的大

量信息材料中，概括出一些結(jié)論，并能應(yīng)用于解決問(wèn)題或作出新的判斷。

（四）推理論證能力：推理是思維的基本形式之一，它由前提和結(jié)論兩部分組成，論證

是由已有的正確的前提到被論證的結(jié)論正確的一連串的推理過(guò)程。推理既包括演繹推理，也

包括合情推理。論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直

接證法和間接證法。一般運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜想，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明。

中學(xué)數(shù)學(xué)的推理論證能力是根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題來(lái)論證某一數(shù)學(xué)

命題真實(shí)性初步的推理能力。

例、操場(chǎng)有100名學(xué)生排成10X10的方陣，共有10行10列，

A.在每一行中選出一個(gè)最高的，共有10個(gè)“高個(gè)子”，其中最矮的記為A；

B.在每一列中選出一個(gè)最矮的，共有10個(gè)“矮個(gè)子”，其中最高的記為B；

問(wèn)：A與B孰高？

（五）運(yùn)算求解能力：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問(wèn)題

的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。

運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算,

對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等。運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算

條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過(guò)程中的思維能力，也包括在

實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。

（六）數(shù)據(jù)處理能力：會(huì)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究

問(wèn)題有用的信息，并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行

整理、分析，并解決給定的實(shí)際問(wèn)題。

（七）數(shù)形結(jié)合的能力：能借助圖形，將抽象的問(wèn)題應(yīng)用圖形形象的表示出來(lái)，使得問(wèn)

題更加明朗，清晰，便于更快的抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，加快解決問(wèn)題的速度。

例、炎炎夏日，虔誠(chéng)的老太太去山上進(jìn)香，山高路遠(yuǎn)，老太太一路走走停停，自上午6

時(shí)從家出發(fā)，下午4時(shí)方到廟中，在廟中住了一晚，第二天自原路返回，仍是上午6時(shí)從廟

中出發(fā)，下午4時(shí)方回到家中。問(wèn)：這個(gè)老太太可不可能在同一時(shí)間經(jīng)過(guò)同一地點(diǎn)？

（注：同一時(shí)間指的相對(duì)于一天內(nèi)的時(shí)間，如昨天的上午9點(diǎn)與今天的上午9點(diǎn)是作為同一

時(shí)間。）

（八）應(yīng)用意識(shí)：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題，包括解決在相關(guān)學(xué)

科、生產(chǎn)、生活中簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題；能理解對(duì)問(wèn)題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行

歸納、整理和分類(lèi)，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決

問(wèn)題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表達(dá)和說(shuō)明。主要過(guò)程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提

煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以解決。

（九）創(chuàng)新意識(shí)：能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方

法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路,

創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“觀察、猜測(cè)、抽象、

概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要途徑，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的程度

越高，顯示出的創(chuàng)新意識(shí)也就越強(qiáng)。

第四：對(duì)數(shù)學(xué)科目的幾個(gè)要求

（-）課前預(yù)習(xí)。怎樣預(yù)習(xí)呢？就是自己在上課之前把內(nèi)容先看一邊，把自己不懂的地

方做個(gè)記號(hào)或者打個(gè)問(wèn)號(hào)，以至于上課的時(shí)候重點(diǎn)聽(tīng)，這樣才能夠很快提高自己的水平。但

是預(yù)習(xí)不是很隨便的把課本看一遍，預(yù)習(xí)要有個(gè)目標(biāo)：（1）就是通過(guò)預(yù)習(xí)可以把書(shū)本后面

的練習(xí)題可以自己獨(dú)立的完成；（2）并思考與本節(jié)課有關(guān)的舊知識(shí)以及如何將新知識(shí)融合

在里面；（3）問(wèn)自己幾個(gè)問(wèn)題：課本的例題有什么特性？可否發(fā)展？如何發(fā)展？

（二）上課認(rèn)真聽(tīng)講。上課的時(shí)候準(zhǔn)備課本，一只筆，一本草稿，一本筆記。做不做筆

記你們自己決定，不過(guò)我提倡數(shù)學(xué)課做筆記的。有些知識(shí)點(diǎn)比較重要，課本上又沒(méi)有的，你

們可以補(bǔ)充在你預(yù)習(xí)時(shí)已有的相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的位置；另外，在預(yù)習(xí)中不能解決或者是還存在

的問(wèn)題現(xiàn)在通過(guò)課堂的聽(tīng)講有所感悟也可以記錄下來(lái)；再來(lái)就是，如果你覺(jué)得某個(gè)例題比

較新或者比較重要，也可以把它記在相應(yīng)位置上，這樣以后復(fù)習(xí)起來(lái)就一目了然了。那么草

稿要來(lái)干什么的呢？課堂上你可以自己演算還有做課堂練習(xí)。

（三）關(guān)于作業(yè)，絕對(duì)不允許有抄作業(yè)的情況發(fā)生。課后要先復(fù)習(xí)今天所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)然

后再做作業(yè)，這樣才能收到上課的效果，收到事半功倍的效果。那有人會(huì)問(wèn)，碰到不會(huì)做的

題目怎么辦？有兩個(gè)辦法：一、向同學(xué)請(qǐng)教，請(qǐng)教做題目的思路，而不是整個(gè)過(guò)程和答案。

同學(xué)之間也要相互幫助，如果你讓他抄襲你的作業(yè)這樣不是幫助他而是害他，這個(gè)道理大家

應(yīng)該明白吧。我非常提倡同學(xué)之間的相互討論問(wèn)題的，這樣才能夠相互促進(jìn)提高。二、向老

師請(qǐng)教，我希望我每天下課的時(shí)候都有學(xué)生上來(lái)請(qǐng)教我，要養(yǎng)成問(wèn)的習(xí)慣。我高中的時(shí)候，

我們班級(jí)的學(xué)生的問(wèn)題最多，結(jié)果每次考試的成績(jī)都是最好的，我希望這樣的事情發(fā)生在你

們當(dāng)中。

（四）準(zhǔn)備一本筆記本，作為自己的問(wèn)題集。把平時(shí)自己不懂的和不大理解的還有易錯(cuò)

的記錄下來(lái)，并且要及時(shí)的消化，不懂的地方問(wèn)老師。這是一個(gè)很好的辦法，到考試的時(shí)候

就可以有重點(diǎn)、有針對(duì)性的自己復(fù)習(xí)了。

相信你如果認(rèn)真做到以上幾點(diǎn)，那么在高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就會(huì)非常輕松，成績(jī)就能大幅度地

提升，最終到達(dá)高考成功的彼岸！

第一講數(shù)與式的運(yùn)算(兩課時(shí))

在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)

和代數(shù)式簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)與式.代數(shù)式中有整式(多項(xiàng)式、單項(xiàng)式)、分式、根式。它們具有實(shí)數(shù)

的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算。在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式(平方差公式與完全

平方公式)，并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡(jiǎn)便。由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)

雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、

立方和、立方差公式。在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過(guò)被開(kāi)方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被開(kāi)方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒(méi)有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)

充?；谕瑯拥脑颍€要補(bǔ)充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容。

一、乘法公式

【公式1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

證明：0(a+b+c)2-[[a+b)+c]2=(a+6>+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+lac+2bc+c2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

：.等式成立

【例1】計(jì)算：一+

說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降基或升褰排列。

【公式21(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

證明：(a+h)(a2-ab+b2)-a3-a'b+ah2+a2b-ab2+b3-ai+

【例2】計(jì)算：(a-b)(,a2+ab+b2)

[公式3](a-b)(a之+帥+b?)=/一/(立方差公式)

請(qǐng)同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱(chēng)為乘法公式。

【例3】計(jì)算：

(1)(4+〃?)(16—4用+加2)(2)(—m--?)(—m2+—mn+—n2)

5225104

(3)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2

說(shuō)明：(1)在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿(mǎn)

足乘法公式的結(jié)構(gòu)。

(2)為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的平方數(shù)

和1、2、3、4、…、10的立方數(shù)，是非常有好處的。

【例4】已知一—3x+l=0,求的值。

說(shuō)明：本題若先從方程——3x+l=O中解出x的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩

瑣.本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算。請(qǐng)注意整體

代換法。本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉。

【例5】已知a+b+c=O,求a(-+-)+/>(-+—)+c(—+-)

bccaab

說(shuō)明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用。

引申：同學(xué)可以探求并證明：

a3+>3+c3-3abc=(a+b+c)(?2+b2+c2-ab-bc-cd)

二、根式

式子&(aNO)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：

(1)(Va)2=a(a>0)(2)=1aI

(4)=半(a>0,bN0)

(3)s[ah-\[a-y[b{a>0,b>0)

VaJa

【例6】化簡(jiǎn)下列各式:

(1)-2尸+J(百一I)?(2)J(1T)2+J(2-X)2(X>1)

說(shuō)明：請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字

母的取值分類(lèi)討論。

【例7】計(jì)算（沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)）:

⑴3⑵M（3）2后—必+庖

2+GVab

說(shuō)明：（1）二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿(mǎn)足：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被

開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。

（2）二次根式的化簡(jiǎn)常見(jiàn)類(lèi)型有下列兩種：①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式?；?jiǎn)時(shí)，先將

它分解因數(shù)或因式，然后把開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)；②分母中有根式（如一或被

2+V3

開(kāi)方數(shù)有分母（如J］）.這時(shí)可將其化為形式（如后可化為4）,轉(zhuǎn)化為“分母中有

而正

根式”的情況.化簡(jiǎn)時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)

行化簡(jiǎn).（如品化為殍騎普而

,其中2+6與2-6叫做互為有理化因式）。

【例8】計(jì)算:

(1)+y[b+1)(1—+y[h)—+y[b)"⑵

說(shuō)明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分

式二次根式的運(yùn)算。

蟠9】設(shè).連“恭,求d+y3的值.

說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：（D先化簡(jiǎn)后求值；（2）當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)

結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量。

三、分式

當(dāng)分式4的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，4就叫做繁分式，繁分式的化簡(jiǎn)常用以

BB

下兩種方法：（D利用除法法則；（2）利用分式的基本性質(zhì).

【例10】化簡(jiǎn)一一

說(shuō)明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，

解法二則是利用分式的基本性質(zhì)自林進(jìn)行化簡(jiǎn).一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法。

x2+3x+96xx-I

【例11】化簡(jiǎn)

x2-279x-x26+2x

說(shuō)明：（1）分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分

解再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；（2）分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式。

第二講因式分解(兩課時(shí))

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形。在分式運(yùn)

算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種重要的基本技能。

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完

全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等。

一、公式法(立方和、立方差公式)

在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式)

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過(guò)來(lái)寫(xiě)，就得到：

+b3=(a+Z?)(a2-ab+b2)

a3—b'-(a-b)(a2+ab+b2)

這就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的

差(和)。

運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

［例1］用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式：

(1)8+x3(2)0.125-27/

分析：⑴中，8=23,⑵中0.125=0.53,27。=(36)3。

說(shuō)明：(1)在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用幕的運(yùn)算法則，如

8//=q"門(mén)，這里逆用了法則(")"=屋。"；(2)在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，一定

要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符號(hào)。

【例2】分解因式：

(1)3a3b-Sib4(2)a1-ab6

分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2)中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)

可看作是(。'y-S')?或(")3-(/)3。

二、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式。而對(duì)于

四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如〃皿+〃力+M+〃〃既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提取。因此，

可以先將多項(xiàng)式分組處理。這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法。分組分解法的

關(guān)鍵在于如何分組。

1.分組后能提取公因式

［例3］把2ax-10ay+5by-bx分解因式。

分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x的降幕排列，然

后從兩組分別提出公因式2a與力，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x-5y,這樣可以繼續(xù)提取公

因式。

說(shuō)明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的

方法。本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試。

【例4】把曲,2-d2)_32_02)cd分解因式。

分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因

式。

說(shuō)明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了

加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律。由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中

所起的作用。

2.分組后能直接運(yùn)用公式

【例5】把Y+辦+分分解因式。

分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒(méi)有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式,

其中一個(gè)因式是x+y；把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式。后，另一個(gè)因式也是x+y。

2

【例6】ffi2x+4x>>+2/-8r^W@^o

分析：先將系數(shù)2提出后，得到x2+2xy+y—4Z2,其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完

全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式。

說(shuō)明：從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或

提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多

項(xiàng)式就可以分組分解法來(lái)分解因式。

3、十字相乘法

1./+(p+q)x+pq型的因式分解

這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：

(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)

之和。

x2+(p+q)x+pq-x'+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)-(x+p)(x+q)

因此，/+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式。

【例7］把下列各式因式分解：

(1)x2-7x+6(2)x2+13%+36

說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次

項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。

【例8】把下列各式因式分解:

(1)X2+5X-24⑵x~—2.x—15

說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的

因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。

【例9】把下列各式因式分解：

(1)X1+xy-6y2(2)(x2+x)2-8(x2+x)+12

分析：(D把1+%>-6)，2看成彳的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是-6y2,一次項(xiàng)系數(shù)是y,

把-6;/分解成3y與-2)：的積，而3y+(-2y)=y,正好是一次項(xiàng)系數(shù)。

(2)由換元思想，只要把Y+X整體看作一個(gè)字母可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三

項(xiàng)式cr—8a+12o

2.一般二次三項(xiàng)式a/+6x+c型的因式分解

大家知道，(。.+、)(42工+。2)=a]//+(年2+。2。)"平2.反過(guò)來(lái)，就得到：

2CX+<?C

a}a2x+(%。2+?2I)I2=(^]x+ct)(a2x+c2)

我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)。分解成％%，常數(shù)項(xiàng)c分解成?！?，把力,。2，。凸寫(xiě)成"|><自，

a2c2

這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到40+4仿，如果它正好等于ai+fev+c的一次項(xiàng)系

數(shù)/?,那么ax?+/>X+C就可以分解成(4/+仿)(42%+。2)，其中q,C1位于上一行，“2,0位于下

一行。

這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù),從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法。

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確

定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解。

【例10]把下列各式因式分解：

(1)12——5x—2(2)5x2+6xy-8y2

說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解

時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法“湊“，看

是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法“湊“，先“湊"絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)。

四、其它因式分解的方法

1.配方法

【例11]分解因式x?+6x-16

說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平

方式，然后用平方差公式分解。當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)。

2.拆、添項(xiàng)法

【例12】分解因式d-3/+4

分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行.細(xì)查式中無(wú)一

次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，

可考慮通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決。

說(shuō)明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿(mǎn)足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，

造成可以用公式法及提取公因式的條件。本題還可以將-3/拆成12一4/，將多項(xiàng)式分成兩

組(1+犬)和一4x2+4o

一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：

(1)如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解；

(3)如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來(lái)分

解；

(4)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。

第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(一課時(shí))

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方

程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有

著許多應(yīng)用。本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述。

一、一元二次方程的根的判斷式

一元二次方程ax?++c=00),用配方法將其變形為：

(1)當(dāng)/—4ac>0時(shí)，右端是正數(shù)。因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

-b±ylh2-4ac

x=------------

1a

h

(2)當(dāng)4ac=0時(shí)，右端是零。因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x=-—

l22a

(3)當(dāng)〃-4ac<0時(shí)，右端是負(fù)數(shù)。因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

由于可以用〃—4ac的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況。因此，把從-4ac叫

做一元二次方程ax?+bx+c=0(a工0)的根的判別式，表示為：A=02-4ac

【例11不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：

(1)2x2-3x+l=0(2)4y2+9=12)，(3)5(x2+3)-6x=0

說(shuō)明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式。

［例2］已知關(guān)于x的一元二次方程3——2x+Z=0,根據(jù)下列條件，分別求出k的范圍:

(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

【例3】已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足,尸+y2-xy+2x-y+l=0,試求x、y的值。

二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程ax?+/?x+c=0(aH0)的兩個(gè)根為:

-b+不b-4ac一8-J/?-4ac

乂二五'x廣

ct-.,,-b+\/b2-4ac-b-^b~-4acb

所以：X,+x=-----------------------1-----------------------=—,

?2a2aa

-b+\Jb2-4ac-b-\/b2-4ac(-/?)2-(V/?2-^ac)24acc

Xi-=--------------------------------------------=-----------------z-----------=-7=—

2a2a(2a)~4Q~a

定理：如果一元二次方程。/+云+。=。3W0)的兩個(gè)根為王,々，那么：

aa

說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此

定理稱(chēng)為”韋達(dá)定理”。上述定理成立的前提是ANO。

【例4】若%,馬是方程/+2x-2007=0的兩個(gè)根，試求下列各式的值：

(1)X；+/?；⑵—,；(3)(X|—5)(X—5)；(4)I-xIo

%”22

分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算。這

里，可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答。

說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

+=(西+%2)一—2%1%2，---1-----=---------，(X|-%2)~=(百+元2)~—4%|%2，

X}X2X]x2

22

IXj-x21=J(X]+X2)-4XjX29XjX2+尤；尤2=x,x2(x1+/)，

%3+々3=?+%2y_3xiX2(X1+%)等等。韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想。

【例5】已知關(guān)于x的方程（左+1h+工公+1=0,根據(jù)下列條件，分別求出女的值。

4

（1）方程兩實(shí)根的積為5；（2）方程的兩實(shí)根內(nèi),超滿(mǎn)足1/1=々。

分析：（1）由韋達(dá)定理即可求之；（2）有兩種可能，->x,=x2>0,二是-斗=々，

所以要分類(lèi)討論。

說(shuō)明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿(mǎn)足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)

根的條件，即所求的字母應(yīng)滿(mǎn)足ANO。

【例6】已知王,々是一元二次方程4依_4履+A+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

（1）是否存在實(shí)數(shù)左，使（2%-々）（玉-2尤2）=-1成立？若存在，求出k的值；

若不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由。

⑵求使五+三-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值。

々玉

說(shuō)明：（1）存在性問(wèn)題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說(shuō)明

存在，否則即不存在。

（2）本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì)」一為整數(shù)的分析方法。

k+1

第四講不等式(兩課時(shí))

初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法。高中階段將進(jìn)一步學(xué)

習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)。本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知

識(shí)。

一、一元二次不等式及其解法

1.形如of+bx+c〉O域<0)(其中"0)的不等式稱(chēng)為關(guān)于x的一元二次不等式。

2.一元二次不等式ax?+bx+c>0(或<0)與二次函數(shù)y=ax?+以+(?(aH0)及一元二

次方程0的關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)：三個(gè)二次)。以二次函數(shù)y=f+x—6為例：

(1)作出圖象；[

(2)根據(jù)圖象容易看到，圖象與X軸的交點(diǎn)是\/

(-3,0),(2,0),即當(dāng)x=-3或2時(shí)，y=0。就是說(shuō)對(duì)應(yīng)的一元\/二次

方程/+x_6=0的兩實(shí)根是x=-3或2o\/r

(3)當(dāng)x<-3或尤>2時(shí)，y>0,對(duì)應(yīng)圖像位于x軸的上\°I/2—’方。

就是說(shuō)X?+x-6〉0的解是x<-3或x>2。

當(dāng)-3<x<2時(shí)，y<0,對(duì)應(yīng)圖像位于x軸的下方。就是說(shuō)x?+x-6<0的解是

—3<x<2°

一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：

(1)將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；

(2)觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象。

①如果圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(陽(yáng),0),。2,0)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根%,々(也可由根的判別式A>0來(lái)判斷)。

那么(圖1)：ax'+bx+c>0(a>0)=x<芯或x>x2

2

ax+bx+c<0(a>0)<=>x]<x<x2

②如果圖

象與X軸

只有一個(gè)

交點(diǎn)

此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)

相等的實(shí)數(shù)根x,=x,=-2（也可由根的判別式△=（）來(lái)判斷）。

2a

-------------------------5

那么（圖2）：ax+bx+c>0(Q>0)<=>xW---

2a

\ax1+bx+c<0（〃〉0）<=>無(wú)解?

③如果圖象與X軸沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根（也可由

根的判別式A<0來(lái)判斷）。

那么（圖3）：江+"+c〉0（〃>o）0x取一切實(shí)數(shù)

!ax1+bx+c<0（〃〉0）u>無(wú)解?

&.一______________________一一?

如果單純的解一個(gè)一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：

（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為正；

（2）若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根玉,々.那么“>0"

型的解為x〈玉或x>々（俗稱(chēng)兩根之外）；“<0”型的解為玉<x<（俗稱(chēng)兩根之間）；

（3）否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成"2+bx+c=a（x+2>+%±,

2a4a

結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解。

【例11解不等式f+x—6>0。

分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號(hào)法則—正正（負(fù)負(fù)）得正、

正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組。

說(shuō)明：當(dāng)把一元二次不等式化為ax2+8x+c〉0（或<0）的形式后，只要左邊可以分解為

兩個(gè)一次因式，即可運(yùn)用本題的解法。

【例2】解下列不等式：

（1）（x+2）（x—3）<6（2）（x-1）（x+2）<（x-2）（2x+l）

分析：要先將不等式化為這2+旅+。>0（或<0）的形式，通常使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)。

【例3】解下列不等式：

(1)X2-2X-8<0(2)x2-4x+4<0(3)x2-x+2<0

【例4】已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,丘2—2x+女恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)*的取值范圍。

【例5】已知關(guān)于x的不等式依2一(二+i)x—3＜0的解為—1〈人＜3,求人的值。

分析：對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根是-1和3,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上。根據(jù)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解。

說(shuō)明：本例也可以根據(jù)方程有兩根-1和3,用代入法得：乂-1尸-(^+1)(—1)-3=0,

h32—3(公+1)—3=0,且注意憶＞0,從而左=1。

二、簡(jiǎn)單分式不等式的解法

［例6］解下列不等式：

(1)在30(2)J+310

分析：(1)類(lèi)似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號(hào)法則”將之化為兩個(gè)一元一次不

等式組處理；或者因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)(式)相除異號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)(式)乘也異號(hào)，可將分式不等式

直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。

(2)注意到經(jīng)過(guò)配方法，分母實(shí)際上是一個(gè)正數(shù)。

【例7】解不等式一43

說(shuō)明：(1)轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)?。

⑵本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào):

x>—2x<—2

—,―<3^<x+2〉。或.x+2<0空敢<-三、含有字

=<5或，5"2

x+23(x+2)>l[3(x+2)<lx>——x<——3

33

母系數(shù)的一元二次不等式

一元一次不等式最終可以化為原>b(a*0)的形式。

h

(1)當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解為：x>-

a;

(2)當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解為：x<-

a;

(3)當(dāng)。=0時(shí)，不等式化為：0.x>b；

①若匕20,則不等式無(wú)解；②若b<0,則不等式的解是全體實(shí)數(shù)。

【例8］求關(guān)于x的不等式旭?x+2>2mx+m的解。

【例9】已知關(guān)于x的不等式公一乙>x+2的解為x>-』，求實(shí)數(shù)k的值。

2,

分析：將不等式整理成ax>6的形式，可以考慮只有當(dāng)a>0時(shí)，才有形如x>9的解,

a

從而令2=一2.。

a2

第五講二次函數(shù)的最值問(wèn)題（一課時(shí)）

二次函數(shù)〉=以2+公+，3。0）是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。在

初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況（當(dāng)“>o時(shí)，函數(shù)在

x=-2處取得最小值做0,無(wú)最大值；當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)在x=-2處取得最大值

2a4。2a

細(xì)二生，無(wú)最小值。

4a

本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問(wèn)題。

同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問(wèn)題在實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

【例1】當(dāng)-24x42時(shí)，求函數(shù)y=f一2x—3的最大值和最小值。

分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱(chēng)軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得

到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量x的值。

【例2】當(dāng)14x42時(shí)，求函數(shù)y=-/—"I的最大值和最小值。

【例3】當(dāng)xNO時(shí)，求函數(shù)y=-x（2-x）的取值范圍。

【例4】當(dāng)，二金+1時(shí)，求函數(shù)v=L2-x-*的最小值（其中，為常數(shù)）。

22

分析：由于x所給的范圍隨著，的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱(chēng)軸與其范圍的相對(duì)位

置。

［例5］某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量

機(jī)（件）與每件的銷(xiāo)售價(jià)x（元）滿(mǎn)足一次函數(shù)小=162-3x,304x454。

（1）寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷(xiāo)售利

潤(rùn)為多少？

第六講簡(jiǎn)單的二元二次方程組(一課時(shí))

在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了

用消元法解二元一次方程組.高中新課標(biāo)必修2中學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要用到二元二次方程

組的解法.因此，本講講介紹簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法。

含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程。

由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次方程組組成

的方程組，叫做二元二次方程組。

一、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組

一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解.其蘊(yùn)含

著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解。

2x-y=0(1)

【例1】解方程組

2

X-/+3=0(2)

分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1),得y=2x,代入方程(2)消去y。

說(shuō)明：

(1)解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：

①由二元一次方程變形為用x表示y的方程，或用)，表示x的方程⑶；

②把方程(3)代入二元二次方程，得一個(gè)一元二次方程；

③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3),求相應(yīng)的未知

數(shù)的值；

⑤寫(xiě)出答案。

(2)消x,還是消y,應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來(lái)決定.若系數(shù)均為整數(shù)，那么最好消

去系數(shù)絕對(duì)值較小的，如方程x-2y+l=0,可以消去x,變形得x=2y-l,再代入消元。

(3)消元后，求出一元二次方程的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值，不能代

入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可能產(chǎn)生增根，這一點(diǎn)切記。

?

【例I2】解方程組工V=11二(1)

xy=28(2)

分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把X、y看成是

方程/-1上+28=0的兩根,則更容易求解。

說(shuō)明：(1)對(duì)于這種對(duì)稱(chēng)性的方程組廠+)'「"，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于X、y的字母，如z。

Y-4V-7

(2)對(duì)稱(chēng)形方程組的解也應(yīng)是對(duì)稱(chēng)的，即有解，則必有解o

y=71y=4

二、由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組

1.可因式分解型的方程組

方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方

程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成。

x~-y~=5(x+y)(1)

【例3】解方程組

x2+xy+y2=43⑵

分析：注意到方程V-=5(x+y),可分解成(x+yXx-y-5)=0,即得x+y=0或

x—y—5=0,則可得到兩個(gè)二元二次方程組，且每個(gè)方程組中均有一個(gè)方程為二元一次方

程。

說(shuō)明：由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中，有一個(gè)方程可以通過(guò)因式分解，化為兩個(gè)

二元一次方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其中每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一

次方程。

【例4】解方程組=⑴

［盯+y=4⑵

分析：本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù)項(xiàng)，可得到

一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程.對(duì)其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為例3的類(lèi)型。

說(shuō)明：若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，則消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二元二次方程.此方

程與原方程組中的任一個(gè)方程聯(lián)立，得到一個(gè)可因式分解型的二元二次方程組。

f+y2=26(1)

【例5】解方程組

xy=5⑵

分析：⑴+⑵x2得：(x+y)2=36(3),(1)-⑵x2得：(x—y1=16(4),分別分

解(3)、(4)可得四個(gè)二元一次方程組。

22_22

x+yx+y=m

說(shuō)明：對(duì)稱(chēng)型方程組，如“="都可以通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為＜的

x+y=hxy=Axy=n

形式，通過(guò)構(gòu)造一元二次方程求解。

2.可消二次項(xiàng)型的方程組

【例6】解方程組｛二二(1)

⑵

分析：注意到兩個(gè)方程都有盯項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)二元一次

方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.

說(shuō)明：若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，則可用加減法消去二次項(xiàng)，得到

一個(gè)二元一次方程，把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立，解此方程組，即得原方程組的

解.二元二次方