2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題五　第1講　計數(shù)原理與概率28

第1講計數(shù)原理與概率[考情分析]1.主要考查兩個計數(shù)原理、排列、組合的簡單應(yīng)用，時常與概率相結(jié)合，以選擇題、填空題為主.2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重點考查古典概型、條件概率、全概率公式的基本應(yīng)用．考點一排列與組合問題核心提煉解決排列、組合問題的一般過程：(1)認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進(jìn)行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素．例1(1)(2023·信陽模擬)直上九天問蒼穹，天宮六人繪新篇.2023年5月30日神舟十六號發(fā)射成功，神十五與神十六乘組航天員在太空會師，6名航天員分兩排合影留念，若從神十五和神十六每組的3名航天員中各選1人站在前排，后排的4人要求同組的2人必須相鄰，則不同的站法有()A．72種 B．144種C．180種 D．288種(2)(多選)(2023·重慶模擬)教育部發(fā)布了《中國高考報告2023》，為讓學(xué)生對高考有所了解，某學(xué)校擬在一周內(nèi)組織數(shù)學(xué)、英語、語文、物理、化學(xué)的5位該學(xué)科的骨干教師進(jìn)行“中國高考報告2023”的相應(yīng)學(xué)科講座，每天一科，連續(xù)5天．則下列結(jié)論正確的是()A．從5位教師中選2位的不同選法共有20種B．?dāng)?shù)學(xué)不排在第一天的不同排法共有96種C．?dāng)?shù)學(xué)、英語、語文排在都不相鄰的三天的不同排法共有12種D．物理排在化學(xué)的前面(可以不相鄰)的排法共有120種規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧(1)合理分類與準(zhǔn)確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價轉(zhuǎn)化．跟蹤演練1(1)(2023·新高考全國Ⅰ)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．(2)(多選)(2023·白銀模擬)小許購買了一套五行文昌塔擺件(如圖)，準(zhǔn)備一字排開擺放在桌面上，下列結(jié)論正確的有()A．不同的擺放方法共有120種B．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有36種C．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有72種D．若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有36種考點二二項式定理核心提煉1．求二項展開式中特定項或項的系數(shù)問題的思路：(1)利用通項公式將Tk＋1項寫出并化簡．(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.(3)代回通項公式即得所求．2．對于兩個因式的積的特定項問題，一般對某個因式用通項公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解．例2(1)(2023·湖北八市聯(lián)考)已知二項式(2x－a)n的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，且展開式中含x3項的系數(shù)為20，則實數(shù)a的值為________．(2)(多選)(2023·臨沂模擬)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a2023＝－2B．a(chǎn)1－a2＋a3－a4＋…－a2022＋a2023＝1－32023C．a(chǎn)1＋2a2＋3a3＋…＋2023a2023＝4046D．|a1|＋|a2|＋…＋|a2023|＝32023規(guī)律方法二項式(a＋b)n的通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項式的展開式的第k＋1項，而不是第k項；其中Ceq\o\al(k,n)是二項式展開式的第k＋1項的二項式系數(shù)，而二項式的展開式的第k＋1項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)，要區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)．跟蹤演練2(1)(2023·龍巖質(zhì)檢)在(1＋x)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))3的展開式中，x的系數(shù)為()A．12B．－12C．6D．－6(2)(多選)(2023·宿遷模擬)設(shè)(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36B．a(chǎn)2＋a3＝－100C．a(chǎn)1，a2，a3，…，a6中最大的是a2D．當(dāng)x＝7時，(2x＋1)6除以16的余數(shù)是1考點三概率核心提煉1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點數(shù),試驗的樣本點總數(shù)).2．條件概率公式設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．全概率公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．例3(1)(多選)(2023·新高考全國Ⅱ)在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1)．()A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率(2)(多選)現(xiàn)有來自某校高三年級的3袋專項計劃審核表，第一袋有4名男生和2名女生的高校專項審核表，第二袋有5名男生和3名女生的國家專項審核表，第三袋有3名男生和2名女生的地方專項審核表．現(xiàn)從3袋中隨機選擇一袋，再從中隨機抽取1份審核表，設(shè)Ai＝“抽到第i袋”(i＝1,2,3)，B＝“隨機抽取一份，抽到女生的審核表”，則()A．P(A1)＝P(A2)＝P(A3)B．P(B|A1)＝eq\f(2,3)C．P(A2B)＝eq\f(1,8)D．P(B)＝eq\f(133,360)規(guī)律方法求概率的方法與技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解．(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對應(yīng)事件的概率公式求解．跟蹤演練3(1)(2023·青島模擬)將四位數(shù)2023的各個數(shù)字打亂順序重新排列，則所組成的不同四位數(shù)(含原來的四位數(shù))中兩個2不相鄰的概率為()A.eq\f(5,9)B.eq\f(5,24)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)(2)(多選)(2023·黃岡調(diào)研)1990年9月，CraigF·Whitaker給《Parade》雜志“AskMarilyn”專欄提了一個問題(著名的蒙提霍爾問題，也稱三門問題)，在蒙提霍爾游戲節(jié)目中，事先在三扇關(guān)著的門背后放置好獎品，然后讓游戲參與者在三扇關(guān)著的門中選擇一扇門并贏得所選門后的獎品，游戲參與者知道其中一扇門背后是豪車，其余兩扇門背后是山羊，作為游戲參與者當(dāng)然希望選中并贏得豪車，主持人知道豪車在哪扇門后面．假定你初次選擇的是1號門