九年級數(shù)學(xué)下冊第11課 解直角三角形及其應(yīng)用（學(xué)生版）

第11課解直角三角形及其應(yīng)用目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．了解解直角三角形的含義，會綜合運(yùn)用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形；2．會運(yùn)用有關(guān)解直角三角形的知識解決實際生活中存在的解直角三角形問題．

知識精講知識精講知識點01解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

要點詮釋：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.知識點02解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)斜邊，一直角邊(如c，a)一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)銳角、對邊

(如∠A，a)斜邊、銳角(如c，∠A)要點詮釋：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.

知識點02解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

要點詮釋：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

3．解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.能力拓展能力拓展考法01解直角三角形【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，根據(jù)下列條件，解這個直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4；(2)a＝1，．【即學(xué)即練1】（1）已知∠C=90°，a=2，b=2，求∠A、∠B和c；（2）已知sinA=,c=6，求a和b；【典例2】如圖，AD是△ABC的中線，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC的長；（2）sin∠ADC的值．考法02解直角三角形在解決幾何圖形計算問題中的應(yīng)用【典例3】已知△ABC中，tanB=，BC=6，過點A作BC邊上的高，垂足為點D，且滿足BD：CD=2：1，則△ABC面積的所有可能值為．【即學(xué)即練2】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一點，若tan∠DBA=，則AD的長為多少?考法03解直角三角形在解決實際生活、生產(chǎn)問題中的應(yīng)用【典例4】某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為（i＝1:是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比)，CD的長為10m，天橋另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．(1)寫出過街天橋斜面AB的坡度；(2)求DE的長；(3)若決定對該過街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45°坡角改為30°，方便過路群眾，改建后斜面為AF，試計算此改建需占路面的寬度FB的長(結(jié)果精確到.0.01m)．【典例5】騰飛中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座“騰飛”雕塑．為了測量雕塑的高度，小明在二樓找到一點C，利用三角板測得雕塑頂端A點的仰角為30°，底部B點的俯角為45°，小華在五樓找到一點D，利用三角板測得A點的俯角為60°(如圖所示)．若已知CD為10米，請求出雕塑AB的高度．(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)＝1.73)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.在△ABC中，∠C＝90°，，則tanB＝()．A．B．C．D．2．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以點A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點D，分別以點A、D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是（）A． B． C． D．3．河堤、橫斷面如圖所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1:(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比)，則AC的長是()．A．米B．10米C．15米D．米4．如圖所示，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點M、N分別為OB、OC的中點，則cos∠OMN的值為()．A．B．C．D．1第3題第4題第5題5．如圖所示，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為α，那么滑梯長為()A．B．C．D．6．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若，則BD的長是()．A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm7．如圖所示，一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達(dá)B地，再由B地向北偏西的方向行駛40海里到達(dá)C地，則A、C兩地相距()．A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里第6題第7題第8題8．如圖所示，為了測量河的寬度，王芳同學(xué)在河岸邊相距200m的M和N兩點分別測定對岸一棵樹P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，則河的寬度是()．A．mB．mC．mD．100m題組B能力提升練9．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠DBE的值是．10．如圖所示，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的點，AD＝BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G，則的值為________．11．如圖所示，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行駛的路程AB為________海里(結(jié)果保留根號)．12．如圖所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，點E在AB上，將△CBE沿CE翻折，使B點與D點重合，則∠BCE的正切值是________．13．如圖所示．線段AB、DC分別表示甲、乙兩座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，兩建筑物間距離BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A點測得D點的仰角α＝45°，則乙建筑物高DC＝____米．第12題第13題第14題14.在一次夏令營活動中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達(dá)B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達(dá)目的地C(如圖所示)，那么，由此可知，B、C兩地相距________m．題組C培優(yōu)拔尖練15．如圖所示，某校綜合實踐活動小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60°．已知A點的高度AB為2米，臺階AC的坡度為1:(即AB:BC＝1:)，且B、C、E三點在同一條直線上．請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度(測傾器的高度忽略不計)．16.如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延長線與AD的延長線交于點E．（1）若∠A=60°，求BC