初中數(shù)學八年級上冊 數(shù)序活動 探尋“勾股數(shù)”省賽一等獎

數(shù)序活動探尋“勾股數(shù)”勾股數(shù):像(3)(4)中能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù),稱為勾股(弦)數(shù).

判斷由線段a，b，c組成的△ABC是不是直角三角形：（1）a＝2，b＝3，c＝4；（2）a＝3，b＝10，c＝13；（3）a＝3，b＝4，c＝5；（4）a＝12，b＝5，c＝13.一、情境創(chuàng)設:你知道哪些勾股數(shù)?勾股數(shù)滿足什么規(guī)律？我們把勾股數(shù)組3、4、5記為（3、4、5），類似地，還可以得到下列勾股數(shù)組

（1）請你根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第五組勾股數(shù)。（2）第n個勾股數(shù)組為（2n+1,x,y)，用n表示x,y。（3）請證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（3、4、5），（5、12、13），（7、24、25），（9、40、41）…

等等，這些數(shù)組也叫畢達哥拉斯數(shù)組。

二、探索活動1：畢達哥拉斯數(shù)組:(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)畢達哥拉斯數(shù)組:(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)二、探索活動1：結論：任意一個大于1的奇數(shù)n,存在著勾股數(shù):(n,m,m+1)觀察分析上述的勾股數(shù)，可看出它們具有下列二個特點：1．直角三角形較短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個連續(xù)自然數(shù)。2．直角三角形的較短直角邊的平方等于另兩邊的和。nabc1345251213372425…………n⑴請你觀察a,b,c與n之間的關系：

a=______,b=______,c=_______.⑵猜想：以a,b,c為邊的三角形是否為直角三角形？并說明你的猜想。練習：2n+12n2+2n2n2+2n+1我們把勾股數(shù)組3、4、5記為（3、4、5），類似地，還可以得到下列勾股數(shù)組:

（1）請你根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第五組勾股數(shù)。（3）請證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（6、8、10），（8、15、17），（10、24、26），（12、35、37）…

等等，這些數(shù)組也叫柏拉圖數(shù)組。

三、探索活動2：（2）第n個勾股數(shù)組為（2n,x,y)，用n表示x,y。柏拉圖數(shù)組:(2n,n2-1,n2+1)三、探索活動2：柏拉圖數(shù)組:(2n,n2-1,n2+1)結論：任意一個大于4的偶數(shù)n,存在著勾股數(shù):

(n,m,m+2)nabc368104815175102426…………n⑴請你觀察a,b,c與n之間的關系：

a=______,b=______,c=_______.⑵猜想：以a,b,c為邊的三角形是否為直角三角形？并說明你的猜想。練習：2nn2-1n2+1(1)已知(a，b，c)是勾股數(shù)，試說明：當k為正整數(shù)時，(ka，kb，kc)也是勾股數(shù)。四、探索活動3：(2)如果△ABC的三邊長分別為a,b,c且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù)）則△ABC是直角三角形嗎？

解：∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù)）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。

被譽為“代數(shù)學鼻祖”的古希臘數(shù)學家丟番圖在研究二次不定方程時，對勾股數(shù)作了一番探討。他發(fā)現(xiàn)不論是畢達哥拉斯還是柏拉圖的式子，都沒能給出全部勾股數(shù)組，于是他給出了全部解的公式。四、探索活動3：如圖1，已知四邊形ABCD是長方形,AC為對角線，則有AB2十BC2=AC2，即AB、BC、AC滿足勾股定理。如圖2，ABCD-A1B1C1D1是長方體。圖1中的線段AB、BC、AC分別對應圖2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若長方體的面ABB1A1、面BCC1B1，、面ACC1A1

的面積分別用α、β、γ表示，則是否有α2+β2=γ2仍然成立？請說明理由。五、活動創(chuàng)新：（2）是否存在這樣的3個整數(shù)a、b、c滿足a3+b3=c3？你能進行一番探索嗎？試一試。

從代數(shù)的角度看勾股數(shù),就是考察方程：x2+y2=z2的正整數(shù)解,古代中國人發(fā)現(xiàn)了”勾三股四弦五”,古希臘人找到了這個方程的全部整數(shù)解.17世紀,法國數(shù)學家費馬提出猜想:當n≥３時，方程

xn+yn=zn

無正整數(shù)解，圍繞著這個看似簡單的費馬大定理，一批杰出的數(shù)學家，如歐拉，柯西，伽羅華，還有維爾斯，他們前赴后繼用了整整358年才最后完成這項證明．

費馬大定理被人比作數(shù)論中的“喜馬拉雅山的頂峰”。

五、活動創(chuàng)新：六、課堂小結：(1)已知(a，b，c)是勾股數(shù)，當k為正整數(shù)時，

(ka，kb，kc)也是勾股數(shù)。(2)畢達哥拉斯數(shù)組：(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)

（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2(3)柏拉圖數(shù)組：(2n,n2-1,n2+1)

（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2(3)丟番圖數(shù)組：（m2-n2,b=2mn,c=m2+n2）（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2本節(jié)課你有哪些收獲？體會了哪些思想方法？勾股數(shù)有趣的性質(zhì)1.勾股數(shù)中的三個數(shù)不能全是奇數(shù).2.勾股數(shù)里的三個數(shù)要么全是偶數(shù)，要么只有一個偶數(shù).3.