數(shù)學(xué)-專題02 全等三角形中的半角模型（原版）

專題02全等三角形中的半角模型【模型展示】特點(diǎn)過(guò)正方形ABCD頂角頂點(diǎn)（設(shè)頂角為A），引兩條射線且它們的夾角為∠A2；這兩條射線與過(guò)底角頂點(diǎn)的相關(guān)直線交于兩點(diǎn)E、F，則BE,EF,FC之間必存在固定關(guān)系。這種關(guān)系僅與兩條相關(guān)直線及頂角A【模型證明】解決方法以點(diǎn)A為中心，把△ADF（順時(shí)針或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)角A度，至△ABF'；結(jié)論1、△AMN全等于△AMN'，MN=MN';2、△AEF全等于△AEF'，EF=EF'→BE+EF=EF;3、；4、△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的一半；

5、點(diǎn)A到EF的距離等于正方形的邊長(zhǎng)（AB）。應(yīng)用環(huán)境1：頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30°、45°、60°、75°或它們的補(bǔ)角、90°；2：正方形、菱形等也能產(chǎn)生等腰三角形；3：過(guò)底角頂點(diǎn)的兩條相關(guān)直線：底邊、底角兩條平分線、腰上的兩高、底角的鄰補(bǔ)角的兩條角平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或棱形的另外兩邊；4：此等腰三角形的相關(guān)弦.【模型拓展】證明90°中夾45°(正方形中的半角模型)條件：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=45°，BD為對(duì)角線，交AE于M點(diǎn)，交AF于N點(diǎn)。結(jié)論①：圖1、2中，EF=BE+FD證明：如圖3中，將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在F’處，連接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三點(diǎn)共線，

∴EF’=BE+BF’=BE+DF。結(jié)論②：圖2中MN2=BM2+DN2；證明：如圖4中，將AN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，N點(diǎn)落在N’處，連接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，∴在Rt△MBN’中，MN’2=BM2+BN’2，即MN2=BM2+BN’2。結(jié)論③：圖1、2中EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE。證明過(guò)程見(jiàn)證明①中時(shí)△FAE≌△F’AE即可。結(jié)論④：圖1、2中。證明：如圖5中，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥EF于H點(diǎn)，由結(jié)論③可知：∠AEH=∠AEB，且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE，∴△AEB≌△AEH(AAS)，

∴AH=AB=AD，進(jìn)而可以證明△AHF≌△ADF(AAS)，∴.【題型演練】一、單選題1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點(diǎn)，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論：①M(fèi)N＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題3．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為_(kāi)____．

4．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____．三、解答題6．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.（1）求證：EF=FM（2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)．7．已知，如圖所示，正方形中，，分別在邊，上，且，，分別交

于，，連，求證：①

②.8．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接EM，AE，且使得．（1）求證：；（2）求證：.9．已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．

∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．10．如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點(diǎn)O．(1)求邊AB的長(zhǎng)；(2)求∠BAC的度數(shù)；(3)如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說(shuō)明理由．11．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，∠ECG=45°，求證EG=BE+GD．（2）請(qǐng)用（1）的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題：如圖2，在四邊形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長(zhǎng)？12．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接DE，將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．

(1)求證：(2)求證：四邊形BFGH是正方形；(3)求證：ED平分∠CEI13．學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：“如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE＋DF．”小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，然后證明，從而可得．，從而使問(wèn)題得證．(1)【探究】請(qǐng)你參考小明的解題思路解決下面問(wèn)題：如圖2，在四邊形ABCD中，AB