微分例題講解課件

二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用四、微分在估計誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)的微分

第二章微分例題講解一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時,變到邊長由其機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點的可導(dǎo),且在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點的可導(dǎo),則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P115表)又如,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解二、微分運算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解例1.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.微分例題講解數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如注意目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解三、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解的近似值.解:

設(shè)取則例4.求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解的近似值.解:例5.計算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解例6.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解四、微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算

y

值時的誤差故y

的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解例7.

設(shè)測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(mm)微分例題講解內(nèi)容小結(jié)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導(dǎo)可微2.微分運算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計算估計誤差機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點處的及并說明其正負(fù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解2.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解5.

設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得求6.設(shè)且則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分例題講解作業(yè)P1221;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);

9(2);

12習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束