2022年高中數(shù)學(xué)新北師大版分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理

2022年高中數(shù)學(xué)新北師大版《分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理目錄CONTENTS計(jì)數(shù)原理基本概念分類加法計(jì)數(shù)原理詳解分步乘法計(jì)數(shù)原理詳解計(jì)數(shù)原理在生活中的應(yīng)用高考真題解析與應(yīng)試技巧總結(jié)回顧與拓展延伸01計(jì)數(shù)原理基本概念定義關(guān)鍵點(diǎn)分類加法計(jì)數(shù)原理分類時(shí)，各類辦法中的方法是相互獨(dú)立的，各項(xiàng)中的每一項(xiàng)都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；另一類辦法中的方法，是不影響其它類辦法的。完成一件事有$n$類不同的方法，在第$1$類方法中有$m_1$種不同的方法，在第$2$類方法中有$m_2$種不同的方法，$ldots$，在第$n$類方法中有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1+m_2+ldots+m_n$種不同的方法。定義完成一件事需要$n$個(gè)步驟，做第$1$步有$m_1$種不同的方法，做第$2$步有$m_2$種不同的方法，$ldots$，做第$n$步有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1timesm_2timesldotstimesm_n$種不同的方法。關(guān)鍵點(diǎn)任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這$n$步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同。分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系區(qū)別兩者關(guān)系與區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題。分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題的關(guān)鍵是分清要完成一件事，是分類還是分步。它們的區(qū)別是：分類加法計(jì)數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事。02分類加法計(jì)數(shù)原理詳解相互獨(dú)立原則不重不漏原則分類標(biāo)準(zhǔn)明確分類原則與方法分類的各類別之間必須相互獨(dú)立，即每個(gè)元素只能屬于一個(gè)類別。分類必須全面，不能遺漏任何一個(gè)元素，也不能重復(fù)計(jì)數(shù)。分類的標(biāo)準(zhǔn)必須明確，不能模糊不清，以免引起歧義。同一類下，不同對象的計(jì)數(shù)結(jié)果直接相加。不同類下，各類別的計(jì)數(shù)結(jié)果分別相加。若分類標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生變化，需重新進(jìn)行分類和計(jì)數(shù)。加法運(yùn)算規(guī)則例題101從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選出2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？例題202在所有的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于10的三位數(shù)有多少個(gè)？分析03此題也屬于分類加法計(jì)數(shù)問題?？梢园凑杖齻€(gè)數(shù)字的組合進(jìn)行分類，例如190、280、370等。對于每一類組合，可以計(jì)算出其對應(yīng)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，然后將各類別的計(jì)數(shù)結(jié)果相加即可得到答案。典型例題分析03分步乘法計(jì)數(shù)原理詳解完成一個(gè)事件需要分成若干個(gè)步驟，每個(gè)步驟都有各自的方法數(shù)，且這些步驟互不干擾，相互獨(dú)立。根據(jù)事件的性質(zhì)和要求，將事件分成若干個(gè)相互獨(dú)立的步驟，分別計(jì)算每個(gè)步驟的方法數(shù)，然后將它們相乘得到完成整個(gè)事件的方法數(shù)。分步原則與方法分步方法分步原則乘法原理如果完成一個(gè)事件需要分成$n$個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有$m_1$種方法，第二個(gè)步驟有$m_2$種方法，...，第$n$個(gè)步驟有$m_n$種方法，那么完成這個(gè)事件一共有$m_1timesm_2times...timesm_n$種方法。注意事項(xiàng)乘法原理要求每個(gè)步驟都是相互獨(dú)立的，即一個(gè)步驟的結(jié)果不會(huì)影響另一個(gè)步驟的結(jié)果。如果步驟之間存在依賴關(guān)系，則需要使用其他方法進(jìn)行計(jì)數(shù)。乘法運(yùn)算規(guī)則例題1分析例題2分析典型例題分析根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從甲地到乙地有3種方法，從乙地到丙地有2種方法。因此，從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有$3times2=6$種不同的走法。從甲地到乙地有3條路可走，從乙地到丙地有2條路可走。問從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有多少種不同的走法？將三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位數(shù)字分別記為$a,b,c$，則$a+b+c=12$。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，首先選擇百位數(shù)字$a$（有1~9共9種選擇），然后選擇十位數(shù)字$b$（有0~9共10種選擇），最后選擇個(gè)位數(shù)字$c$（由$a+b+c=12$確定）。因此，滿足條件的三位數(shù)共有$9times10=90$個(gè)。在所有的三位數(shù)中，滿足其數(shù)字和等于12的三位數(shù)共有多少個(gè)？04計(jì)數(shù)原理在生活中的應(yīng)用

排列組合問題體育比賽中的排列問題在體育比賽中，經(jīng)常需要排列運(yùn)動(dòng)員的出場順序或組合不同的運(yùn)動(dòng)員參加不同的項(xiàng)目，這時(shí)就需要用到排列組合的原理來解決問題。密碼設(shè)置中的組合問題在設(shè)置密碼時(shí)，通常需要選擇一定長度的數(shù)字、字母或符號的組合，這時(shí)也需要用到組合的原理來計(jì)算可能的密碼數(shù)量。抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的概率問題在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，往往需要計(jì)算中獎(jiǎng)的概率，這時(shí)就需要用到排列組合的原理來計(jì)算不同獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)概率。在天氣預(yù)報(bào)中，經(jīng)常需要預(yù)測未來一段時(shí)間內(nèi)的天氣情況，這時(shí)就需要用到概率統(tǒng)計(jì)的原理來計(jì)算不同天氣情況出現(xiàn)的概率。天氣預(yù)報(bào)中的概率問題在醫(yī)學(xué)診斷中，醫(yī)生需要根據(jù)患者的癥狀和檢查結(jié)果來判斷患者是否患有某種疾病，這時(shí)也需要用到概率統(tǒng)計(jì)的原理來輔助診斷。醫(yī)學(xué)診斷中的概率問題在市場調(diào)查中，往往需要了解消費(fèi)者的購買意愿、喜好等信息，這時(shí)就需要用到統(tǒng)計(jì)的原理來收集和分析數(shù)據(jù)。市場調(diào)查中的統(tǒng)計(jì)問題概率統(tǒng)計(jì)問題123在旅行或出差時(shí)，往往需要規(guī)劃行程路線，這時(shí)就需要用到計(jì)數(shù)原理來計(jì)算不同路線方案的數(shù)量和優(yōu)劣。路線規(guī)劃中的計(jì)數(shù)問題在社交網(wǎng)絡(luò)中，用戶之間可以形成不同的好友組合或群組，這時(shí)也需要用到組合的原理來計(jì)算不同組合的數(shù)量和特征。社交網(wǎng)絡(luò)中的組合問題在圖像處理中，往往需要對像素進(jìn)行排列組合以形成不同的圖像效果，這時(shí)也需要用到排列的原理來實(shí)現(xiàn)圖像處理算法。圖像處理中的排列問題其他生活實(shí)例05高考真題解析與應(yīng)試技巧（2022年全國卷I）題目某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是_______．解析本題考查了古典概型概率的計(jì)算問題，也考查了分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．（2022年全國卷II）題目從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有_______種不同的選法．(用數(shù)字作答)高考真題回顧與解析本題考查了排列組合的應(yīng)用問題，也考查了分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用問題，是中檔題．解析①服務(wù)隊(duì)中有1名女生，②服務(wù)隊(duì)中有2名女生；由分步乘法計(jì)數(shù)原理分別求出每種情況的選法數(shù)，再由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．根據(jù)題意，分2種情況討論高考真題回顧與解析01020304熟練掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的定義和應(yīng)用場景。在解題時(shí)，要注意分類討論和分步計(jì)算的思路，避免漏解或重復(fù)計(jì)算。對于較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，可以嘗試使用組合數(shù)學(xué)中的遞推關(guān)系、生成函數(shù)等方法進(jìn)行求解。在備考過程中，多做高考真題和模擬題，加強(qiáng)對知識點(diǎn)的理解和應(yīng)用。應(yīng)試技巧總結(jié)與提高模擬題1某校要從4名男生和3名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求選出的3人中至少有1名女生，則不同的選法共有_______種．(用數(shù)字作答)模擬題2在5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為63/64，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為_______．解析本題考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，由題意得C51p(1?p)4+C52p2(1?p)3+C53p3(1?p)2+C54p4(1?p)+C55p5=6364，由此能求出結(jié)果．010203模擬題訓(xùn)練及講解06總結(jié)回顧與拓展延伸分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有$n$類辦法，在第$1$類辦法中有$m_1$種不同的方法，在第$2$類辦法中有$m_2$種不同的方法，$cdots$，在第$n$類辦法中有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1+m_2+...+m_n$種不同的方法。分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成$n$個(gè)步驟，做第$1$步有$m_1$種不同的方法，做第$2$步有$m_2$種不同的方法，$cdots$，做第$n$步有$m_n$種不同的方法,那么完成這件事共有$N=m_1timesm_2timescdotstimesm_n$種不同的方法。關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧03概率初步知識引入概率的概念，通過實(shí)例了解概率的意義和性質(zhì)，以及概率與計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系。01復(fù)雜事件的計(jì)數(shù)問題對于涉及多個(gè)步驟和多個(gè)分類的復(fù)雜事件，如何綜合運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)。02排列組合的應(yīng)用探討排列組合在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，如組合數(shù)的計(jì)算、排列數(shù)的應(yīng)用等。