2022年高中數(shù)學(xué)新北師大版分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

2022年高中數(shù)學(xué)新北師大版《分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理目錄CONTENTS計數(shù)原理基本概念分類加法計數(shù)原理詳解分步乘法計數(shù)原理詳解計數(shù)原理在生活中的應(yīng)用高考真題解析與應(yīng)試技巧總結(jié)回顧與拓展延伸01計數(shù)原理基本概念定義關(guān)鍵點分類加法計數(shù)原理分類時，各類辦法中的方法是相互獨立的，各項中的每一項都可以獨立地完成此任務(wù)；另一類辦法中的方法，是不影響其它類辦法的。完成一件事有$n$類不同的方法，在第$1$類方法中有$m_1$種不同的方法，在第$2$類方法中有$m_2$種不同的方法，$ldots$，在第$n$類方法中有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1+m_2+ldots+m_n$種不同的方法。定義完成一件事需要$n$個步驟，做第$1$步有$m_1$種不同的方法，做第$2$步有$m_2$種不同的方法，$ldots$，做第$n$步有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1timesm_2timesldotstimesm_n$種不同的方法。關(guān)鍵點任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這$n$步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同。分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系區(qū)別兩者關(guān)系與區(qū)別分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題。分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理解決計數(shù)問題的關(guān)鍵是分清要完成一件事，是分類還是分步。它們的區(qū)別是：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法是相互依存的，只有各個步驟都完成了才算完成這件事。02分類加法計數(shù)原理詳解相互獨立原則不重不漏原則分類標(biāo)準(zhǔn)明確分類原則與方法分類的各類別之間必須相互獨立，即每個元素只能屬于一個類別。分類必須全面，不能遺漏任何一個元素，也不能重復(fù)計數(shù)。分類的標(biāo)準(zhǔn)必須明確，不能模糊不清，以免引起歧義。同一類下，不同對象的計數(shù)結(jié)果直接相加。不同類下，各類別的計數(shù)結(jié)果分別相加。若分類標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生變化，需重新進行分類和計數(shù)。加法運算規(guī)則例題101從甲、乙、丙、丁四個人中選出2人參加某項活動，有多少種不同的選法？例題202在所有的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于10的三位數(shù)有多少個？分析03此題也屬于分類加法計數(shù)問題。可以按照三個數(shù)字的組合進行分類，例如190、280、370等。對于每一類組合，可以計算出其對應(yīng)的三位數(shù)的個數(shù)，然后將各類別的計數(shù)結(jié)果相加即可得到答案。典型例題分析03分步乘法計數(shù)原理詳解完成一個事件需要分成若干個步驟，每個步驟都有各自的方法數(shù)，且這些步驟互不干擾，相互獨立。根據(jù)事件的性質(zhì)和要求，將事件分成若干個相互獨立的步驟，分別計算每個步驟的方法數(shù)，然后將它們相乘得到完成整個事件的方法數(shù)。分步原則與方法分步方法分步原則乘法原理如果完成一個事件需要分成$n$個步驟，第一個步驟有$m_1$種方法，第二個步驟有$m_2$種方法，...，第$n$個步驟有$m_n$種方法，那么完成這個事件一共有$m_1timesm_2times...timesm_n$種方法。注意事項乘法原理要求每個步驟都是相互獨立的，即一個步驟的結(jié)果不會影響另一個步驟的結(jié)果。如果步驟之間存在依賴關(guān)系，則需要使用其他方法進行計數(shù)。乘法運算規(guī)則例題1分析例題2分析典型例題分析根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從甲地到乙地有3種方法，從乙地到丙地有2種方法。因此，從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有$3times2=6$種不同的走法。從甲地到乙地有3條路可走，從乙地到丙地有2條路可走。問從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有多少種不同的走法？將三位數(shù)的百位、十位、個位數(shù)字分別記為$a,b,c$，則$a+b+c=12$。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，首先選擇百位數(shù)字$a$（有1~9共9種選擇），然后選擇十位數(shù)字$b$（有0~9共10種選擇），最后選擇個位數(shù)字$c$（由$a+b+c=12$確定）。因此，滿足條件的三位數(shù)共有$9times10=90$個。在所有的三位數(shù)中，滿足其數(shù)字和等于12的三位數(shù)共有多少個？04計數(shù)原理在生活中的應(yīng)用

排列組合問題體育比賽中的排列問題在體育比賽中，經(jīng)常需要排列運動員的出場順序或組合不同的運動員參加不同的項目，這時就需要用到排列組合的原理來解決問題。密碼設(shè)置中的組合問題在設(shè)置密碼時，通常需要選擇一定長度的數(shù)字、字母或符號的組合，這時也需要用到組合的原理來計算可能的密碼數(shù)量。抽獎活動中的概率問題在抽獎活動中，往往需要計算中獎的概率，這時就需要用到排列組合的原理來計算不同獎項的中獎概率。在天氣預(yù)報中，經(jīng)常需要預(yù)測未來一段時間內(nèi)的天氣情況，這時就需要用到概率統(tǒng)計的原理來計算不同天氣情況出現(xiàn)的概率。天氣預(yù)報中的概率問題在醫(yī)學(xué)診斷中，醫(yī)生需要根據(jù)患者的癥狀和檢查結(jié)果來判斷患者是否患有某種疾病，這時也需要用到概率統(tǒng)計的原理來輔助診斷。醫(yī)學(xué)診斷中的概率問題在市場調(diào)查中，往往需要了解消費者的購買意愿、喜好等信息，這時就需要用到統(tǒng)計的原理來收集和分析數(shù)據(jù)。市場調(diào)查中的統(tǒng)計問題概率統(tǒng)計問題123在旅行或出差時，往往需要規(guī)劃行程路線，這時就需要用到計數(shù)原理來計算不同路線方案的數(shù)量和優(yōu)劣。路線規(guī)劃中的計數(shù)問題在社交網(wǎng)絡(luò)中，用戶之間可以形成不同的好友組合或群組，這時也需要用到組合的原理來計算不同組合的數(shù)量和特征。社交網(wǎng)絡(luò)中的組合問題在圖像處理中，往往需要對像素進行排列組合以形成不同的圖像效果，這時也需要用到排列的原理來實現(xiàn)圖像處理算法。圖像處理中的排列問題其他生活實例05高考真題解析與應(yīng)試技巧（2022年全國卷I）題目某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機會均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個被選中的概率是_______．解析本題考查了古典概型概率的計算問題，也考查了分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．（2022年全國卷II）題目從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有_______種不同的選法．(用數(shù)字作答)高考真題回顧與解析本題考查了排列組合的應(yīng)用問題，也考查了分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用問題，是中檔題．解析①服務(wù)隊中有1名女生，②服務(wù)隊中有2名女生；由分步乘法計數(shù)原理分別求出每種情況的選法數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理計算可得答案．根據(jù)題意，分2種情況討論高考真題回顧與解析01020304熟練掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的定義和應(yīng)用場景。在解題時，要注意分類討論和分步計算的思路，避免漏解或重復(fù)計算。對于較復(fù)雜的計數(shù)問題，可以嘗試使用組合數(shù)學(xué)中的遞推關(guān)系、生成函數(shù)等方法進行求解。在備考過程中，多做高考真題和模擬題，加強對知識點的理解和應(yīng)用。應(yīng)試技巧總結(jié)與提高模擬題1某校要從4名男生和3名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求選出的3人中至少有1名女生，則不同的選法共有_______種．(用數(shù)字作答)模擬題2在5次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為63/64，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為_______．解析本題考查了n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p，由題意得C51p(1?p)4+C52p2(1?p)3+C53p3(1?p)2+C54p4(1?p)+C55p5=6364，由此能求出結(jié)果．010203模擬題訓(xùn)練及講解06總結(jié)回顧與拓展延伸分類加法計數(shù)原理完成一件事有$n$類辦法，在第$1$類辦法中有$m_1$種不同的方法，在第$2$類辦法中有$m_2$種不同的方法，$cdots$，在第$n$類辦法中有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1+m_2+...+m_n$種不同的方法。分步乘法計數(shù)原理完成一件事，需要分成$n$個步驟，做第$1$步有$m_1$種不同的方法，做第$2$步有$m_2$種不同的方法，$cdots$，做第$n$步有$m_n$種不同的方法,那么完成這件事共有$N=m_1timesm_2timescdotstimesm_n$種不同的方法。關(guān)鍵知識點總結(jié)回顧03概率初步知識引入概率的概念，通過實例了解概率的意義和性質(zhì)，以及概率與計數(shù)原理的聯(lián)系。01復(fù)雜事件的計數(shù)問題對于涉及多個步驟和多個分類的復(fù)雜事件，如何綜合運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理進行計數(shù)。02排列組合的應(yīng)用探討排列組合在解決實際問題中的應(yīng)用，如組合數(shù)的計算、排列數(shù)的應(yīng)用等。