初中數學八年級下冊 正方形的性質及判定“十校聯(lián)賽”一等獎

正方形的性質及判定平行四邊形菱形定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形一個角是直角矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形一組鄰邊相等八年級數學第十九章四邊形復習：一起探究1.矩形滿足什么條件時，就是正方形？2.菱形滿足什么條件時，就是正方形？3.平行四邊形滿足什么條件時，就是正方形？4.四邊形滿足什么條件時，就是正方形？探究小結矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現(xiàn)：一組鄰邊相等的矩形是正方形

菱形一個角是直角正方形∟發(fā)現(xiàn)：一個角為直角的菱形是正方形正方形定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形平行四邊形正方形矩形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內角是直角一內角是直角平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內角是直角給正方形下個定義定義：一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形八年級數學正方形是軸對稱圖形第十九章四邊形邊:對邊平行四邊相等角：四個角都是直角對角線：相等互相垂直平分矩形性質正方形的性質每條對角線平分一組對角。正方形性質邊角對角線對稱性圖形語言

文字語言

符號語言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟對邊平行，四條邊都相等

四個角都是直角對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8軸對稱圖形12345678１．一個矩形的２條對角線互相垂直，它是正方形嗎？２．一個菱形的２條對角線相等，它是正方形嗎？小試牛刀思考：平行四邊形矩形菱形正方形對角線相等對角線垂直對角線相等對角線垂直對角線垂直且相等這是從對角線角度理解四者的關系平行四邊形矩形菱形正方形正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關系？平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內角是直角1、正方形菱形2、一內角是直角矩形3、一組鄰邊相等正方形

你覺得什么樣的四邊形是正方形呢?(判斷一個四邊形是正方形有哪些方法？）議一議5種識別方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或對角線相等一組鄰邊相等或對角線垂直一組鄰邊相等或對角線垂直一個角是直角或對角線相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結例

求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.這是一道文字證明題,該怎么做?你會做嗎?第一步:根據題意畫出圖形第二步:寫出已知、求證第三步：進行證明ADCBO

已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO分析:利用正方形的性質,對角線互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角.平分可以產生線段等量關系,垂直可以產生直角,于是可以得到四個全等的等腰直角三角形.

例2．如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要證明BM＝CN，大家觀察圖形可以考慮證哪兩個三角形全等?

MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。你能完成證明嗎???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°條件夠嗎？

還需要的條件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要證明的兩個三角形已經滿足了哪些條件?由正方形可以得到的條件有：

例2．如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。證明：

∵四邊形ABCD是正方形

∴OA＝OB,∠1＝∠2＝∠3＝45°

又∵MN∥AB∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°

∴OM＝ON

∴OA－OM＝OB－ON

即AM＝BN

下面大家自己完成證明思考:

如何設計花壇？在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）

請你當設計師4、已知：如圖矩形ABCD,對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，連接OE，若∠EAO=150，求∠BOE的度數。OABCDE1、已知正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，且BE=1，P為AC上一點，求PE+PB的最小值.2、在正方形ABCD中,AC是對角線,AE平分∠BAC,試猜想AB、AC、BE之間的關系，并證明你的猜想．GFEDABC例題：如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，那么，BE和DE相等嗎？為什么？ABCDE解：BE=DE.因為對角線AC所在的直線是正方形ABCD的對稱軸，而點E在對稱軸上，點B為點D關于AC的對稱點，所以BE=DE如圖B、C、E是同一直線上的三個點，四邊形ABCD與CEFG是正方形，連接BG、DE（1）觀察、猜想BG與DE之間的大小關系，并說明理由。（2）正方形CEFG在繞點C旋轉過程中，BG與DE之間的關系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC如圖，M為正方形ABCD邊AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于點N。（1）求證：MD=MN（2）若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M為AB上任意一點”，其它條件不變，問結論MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP●●ABDCFE4、如圖，在正方形ABCD中，E在BC的延長線上，且CE=AC，AE交CD于F，則求∠AFC的度數.5、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.1)試說明:DE=DF2)只添加一個條件,使四邊形EDFA是正方形.請你至少寫出兩種不同的添加方法.(不另外添加輔助線,無需證明)條件：①∠A=90°②AD=BD隨堂練習練習1提示：有一組鄰邊相等的矩形是正方形ABDCE〃〃∟F正方形裁ADCBE∟∟練習2提示：尋找直角三角形，運用直角三角形求邊長和對角線.小結1、正方形定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形2、正方形有哪些性質?對邊平行，四條邊都相等四個角都是直角對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角邊：角：對角線：(2)若AC=4，則正方形邊長____;正方形的面積是_____.3.四邊形ABCD是正方形,兩條對角線相交于點O.

(1)

則∠AOB＝____°

∠OAB=____°8ABCDOEF4㎝(3)正方形的面積64cm2，則對角線交點到正方形一邊的距離______.2√29045思考題：如圖正方形ABCD的對角線相交于點O，O又是另一個正方形OEFG的一個頂點，若正方形OEFG繞點O旋轉，在旋轉的過程中.探究二:若正方形OEFG與正方形ABCD兩邊分別相交于MN，試判斷線段AM于BN之間的關系.探究一:兩個正方形重疊部分的面積是否會發(fā)生變化？并說明理由。思考題：如圖正方形ABCD的對角線相交于點O，O又是另一個正方形OEFG的一個頂點，若正方形OEFG繞點O旋轉，在旋轉的過程中.探究二:若正方形OEFG與正方形ABCD兩邊分別相交于MN，試判斷線段AM于BN之間的關系.探究一:兩個正方形重疊部分的面積是否會發(fā)生變化？并說明理由。探究四：

如圖，有兩個大小不等的兩個正方形，其中小正方形的面積是大正方形面積的一半，若陰影部分的面積為8，則小正方形的邊長為多少？探究三:若正方形OEFG繼續(xù)旋轉時，AM與

BN之間的關系是否還成立？平行四邊形菱形定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形一個角是直角矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形鄰邊相等圖形

性質

識別平行四邊形矩形菱形對邊相等、對角相等、對角線互相平分、中心對稱圖形。四個內都是直角、對角線相等、既是中心對稱又是軸對稱四邊相等、對角線互相垂直且每條對角線