高考數(shù)學(xué)歷年真題分類匯編《6年高考4年模擬》第六章數(shù)列第一節(jié)等差數(shù)列等比數(shù)列的概念及求和

【數(shù)學(xué)精品】2013版《6年高考4年模擬》

第六章數(shù)列

笫一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和

第一部分六年高考題薈萃

20XX年高考?風(fēng)

一、選擇題

1.12012高考重慶理1】在等差數(shù)列｛4｝中，a2=l,%=5則｛%｝的前5項和$5=

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因為私=1，4=5，所以卬+/=/+4=6，所以數(shù)列的前5項和

5(。］+%)5(<7+a)5

$5-------:-=---=2-----4-=——XO=15,選B.

222

2.12012高考浙江理7】設(shè)S,是公差為d(dWO)的無窮等差數(shù)列｛an1的前n項和，則下

列命題錯誤的是

A.若d<0,則數(shù)列｛Sn｝有最大項

B.若數(shù)列｛Sn)有最大項，則d<0

C.若數(shù)列｛S0｝是遞增數(shù)列，則對任意〃eN*,均有S,,>0

D.若對任意“eN*,均有S“>0,則數(shù)列(Sn｝是遞增數(shù)列

【答案】C

【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：一1,0,1,2,3,滿足數(shù)列｛5“｝是遞增數(shù)列,

但是S.>0不成立.故選C。

3.[2012圖考新課標(biāo)理51已知｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，4+%=2，a5a6——8,則q+q。=

()

(A)7⑻5(C)-5(0)-7

【答案】D

【解析】因為｛4｝為等比數(shù)列，所以a5a6=4%=-8,又%+%=2，所以

a4=4,%=—2或4=—2,%=4.若％=4，=-2,解得％=—8,a[Q=1,

。1+。10=一7；若。4=-2,。7=4，解得。]()=-8,a]=1,仍有q+%o=-7,綜上

選D.

4.12012高考上海理18]設(shè)sin—■,Sn=?,+a-,+…+a“，在S1，S2,…，Sg中，

n25

正數(shù)的個數(shù)是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】當(dāng)1W24時，an>0,當(dāng)26W〃W49時，*<0,但其絕對值要小于

24時相應(yīng)的值，當(dāng)51W4W74時,%>0,當(dāng)76W/1W99時，an<0,但其絕對值要小于

51W〃<74時相應(yīng)的值，，當(dāng)1W”W100時，均有S“>0。

【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和間接法解題.解決此類問題主要找到規(guī)律，

從題目出發(fā)可以看出來相鄰的14項的和為0,這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題

的能力.

5.12012高考遼寧理6】在等差數(shù)列｛如｝中，已知44+*=16,則該數(shù)列前11項和Si產(chǎn)

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差數(shù)列中，4+41=%+%=]6,二s”=11x(3+"“)=88,答案為B

【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及其前n項和公式，同時考查運算求解能

力，屬于中檔題。解答時利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確。

612012高考福建理2】等差數(shù)列｛4,｝中，ai+a5=10,a4=7,則數(shù)列｛a/的公差為

A.lB.2C.3D.4

【答案】B.

考點：等差數(shù)列的定義。

難度：易。

分析：本題考查的知識點為等差數(shù)列的通項公式%+(〃-1)4。

【解析】法1：由等差中項的性質(zhì)知的=%愛=5,又?.?4=7,%=2.故選

B.

'24+4〃=10

法2：<=>d=2

4+3d=7

7.12012高考安徽理4】公比為蚯等比數(shù)列｛4｝的各項都是正數(shù)，且生卬=16,則log2%=

()

(A)4(B)5(C)6(D)7

【答案】B

【解析】I=16<=>a；=16<=>%=4=a%=%X/=32<=>log2al6=5.

812012高考全國卷理5】已知等差數(shù)列｛a0｝的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列

的前100項和為

1009999101

(A)—(B)——(C)—(D)—

101101100100

【答案】A

【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前〃項和的公式的運用，以及裂項求和

的綜合運用，通過已知中兩項，得到公差與首項，得到數(shù)列的通項公式，并進(jìn)一步裂項求和。

【解析】由牝=5,§5=15,得6=1,4=1,所以%=1+(〃-1)=〃，所以

11111111,1100

-----1----------=------1-------1----1----------=1-----=----,選A.

4的《oo/oi1223100101101101

二、填空題

9.(2012高考浙江理13】設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列｛a,J的前n項和為Sn。若S2=3az+2,

S4=3a4+2,則q=。

【答案】:

2

【解析】將$2=34+2,S4=3《+2兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用4，q表示的式子.

即(4+%=3"+2兩式作差得：府+4/=34"_1),即：2相y-3=0,

14+44+%4~+。聞+2

解之得：4=；或g=-1(舍去).

10.12012高考新課標(biāo)理16］數(shù)列僅“｝滿足。，用+(-1)"%=2〃一1,則｛?！埃那?()項和

為

【答案】1830

【解析】由4+|+(-1)"?！?2〃-1得，

%+2=(-1)“區(qū)用+2〃+1=(-l)n[(-l)n-'a“+2n-l]+2n+l

=-%+(-1)"(2〃-1)+2〃+1,

即J+a”=(-l)n<2n-l)+2n+l,也有%+3+4+1=一(一l)"(2〃+D+2〃+3,兩式相

加得%+%“+/2+”“+3=一2(-D"+4?+4,設(shè)4為整數(shù)，

4i+l

則?4*+1+為"2+&H3+4A4=-2(-l)+4(4%+1)+4=16%+'10，

1414

于是560=+"4"2+。4?+3+~+4)=X"6k+'1O)=1830

K=0K=0

11.[2012高考遼寧理14]已知等比數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，且d=4o,24+4+2)=5。,加，

則數(shù)列｛斯｝的通項公式如=。

【答案】2"

【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及方程思想，是簡單題.

9

【解析】a；=4o，；.(《小y=atq,：.at-q,：.an=q",

2(a“+a“+2)=5a“+i,2a”(1+q?)=5a,q,2(1+q?)=5q,解得q=2或q=g(舍去)，；.a“=2"

【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。

12.12012高考江西理12]設(shè)數(shù)列｛aQ,｛bj都是等差數(shù)列，若/+々=7,%+&=21，

則a5+b5=.

【答案】35

【命題立意】本題考查等差數(shù)列的概念和運算?？疾榈炔钪许椀男再|(zhì)及整體代換的數(shù)學(xué)思想

【解析】(解法一)因為數(shù)列｛?！埃?｛勿｝都是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛見+〃｝也是等差數(shù)列.

故由等差中項的性質(zhì)，得(％+么)+(4+4)=23+4),即(4+怎)+7=2X21,解得

a5+b5=35.

(解法二)設(shè)數(shù)列伍“｝,他J的公差分別為

因為生+仇=(%+2即+(4+2&)=(%+4)+2(4+d2)=7+2(4+—2)=21,

所以4+4=7.所以％+4=（%+4）+2（4+《）=35.

【點評】對于等差數(shù)列的計算問題，要注意掌握基本量法這一通法，同時要注意合理使用等

差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行巧解.體現(xiàn)考綱中要求理解等差數(shù)列的概念.來年需要等差數(shù)列的通項公

式，前〃項和，等差中項的性質(zhì)等.

13.［2012高考北京理10］己知［%｝等差數(shù)列為其前n項和。若％=；，S2=a3,則

1,1

2

【答案】a2=l,Sn=-n+-n

-"44

［解析】因為§2=/nq+%=/nq+4+d=q+2"nd=q=5，

121

-

所以%=q+d=1,Sn=na}4-n(n-V)d=—n*+—no

14.12012高考廣東理11】己知遞增的等差數(shù)列{aQ滿足ai=l,^=0^-4,則an=

【答案】2n-\

【解析】由生=七2—4得到1+2d=(1+d)2-4,即=4,應(yīng)為｛an｝是遞增的等差數(shù)列,

所以d=2,故?！?2〃一1。

三、解答題

15【2012高考江蘇20］(16分)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列｛%｝和｛〃,｝滿足:

(1)設(shè)2+|=1+九，/cN*,求證：數(shù)列"①］是等差數(shù)列;

(2)設(shè)。用=應(yīng)?2，nuN*,且｛凡｝是等比數(shù)列，求4和2的值.

:.數(shù)列］%），是以1為公差的等差數(shù)列。

⑵b“>0,44,2+片<（4+〃/

+尸/%+””4④。（*）

設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4，由?！?gt;0知q>0,下面用反證法證明q=l

n

若4>1,則q="<。2工血，，當(dāng)〃>logq——時，an+}=a}q>41,與（*）矛盾。

Q%

若OVqVl,則可二生>。2>1，，當(dāng)〃>logq,時，4+1=4闖”<1，與（*）矛

q〃］

盾。

綜上所述，9=1。?，?冊=/N*）,/.1<tZj<V2o

又..”“+1=應(yīng)?%=立?與（〃eN*）,；.{b?}是公比是走的等比數(shù)列。

冊a\a\

若處手叵,則三>1,于是仄<b2Vb3。

%

又由“e=即%=a'+b",得2="|±%：也一"：

才t

；.仇,b2,々中至少有兩項相同，與仿<與矛盾。.，.。］=夜。

【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。

【解析】（1）根據(jù)題設(shè)“的=普辿」和/,=1+%,求出如_=1+1%］，從而

（,\2z、2

證明也.—%=1而得證。

\an+\/\^n/

(2)根據(jù)基本不等式得到1<%=W0,用反證法證明等比數(shù)列｛/｝

的公比4=1。

從而得到4=%(〃eN*)的結(jié)論，再由2+產(chǎn)3?4=史?為知色｝是公比是立的等比

%?i?i

數(shù)列。最后用反證法求出q=3=及。

16.12012高考湖北理18](本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列僅“｝前三項的和為-3,前三項的積為8.

(I)求等差數(shù)列｛4｝的通項公式；

(H)若％,4，4成等比數(shù)列，求數(shù)列｛|q1｝的前力項和.

【答案】(I)設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為4,則生=4+"，%=4+2d,

3q+3d7解得%=2,或4=

由題意得

%(4+d)(q+2d)=8.d=-3.d=3.

所以由等差數(shù)列通項公式可得

an=2—3(〃-1)=一3〃+5,或4“二一4+3(〃—1)=3??—7.

故an--3〃+5,或4=3〃-7.

(II)當(dāng)%=-3〃+5時，a2,%，%分別為一1，-4,2,不成等比數(shù)列；

當(dāng)％=3〃-7時，出，生，《分別為-1，2,-4,成等比數(shù)列，滿足條件.

—3〃+7,九二1,2,

故|%|=|3〃-7|=

3n-7,n>3.

記數(shù)列｛|《|｝的前/項和為S“.

當(dāng)M=]時,$=|4|=4；當(dāng)〃=2時，§2=|4|+1%|=5；

當(dāng)心3時，

S〃=§2+1/I+1%I++1I=5+(3x3—7)+(3x4—7)++(3/?—7)

(〃一2)[2+(3〃-7)]3

=5+=—n:2--?+10.當(dāng)〃=2時，滿足此式.

222

[4,n=1,

綜上，S?=M,|1

—n'---〃+10,n>1.

122

17.[2012高考廣東理19](本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列｛a,J的前n項和為Sn，滿足2S“=a,m一2"+1,ndN,，且a”a2+5,a3成等差數(shù)列.

(1)求小的值；

(2)求數(shù)列｛aj的通項公式.

1113

(3)證明：對一切正整數(shù)n,有1----1----1---<—.

a〕a2an2

【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式，不等式證明問題，考查了學(xué)生的運算求解

能力與推理論證能力，難度一般.

+l,,+2n+1

【解析】(1)2S“=an+l-2"+1,2S,m=a,.-2+1相減得：??+2=3an+]+2

2sl=%-3<=>%=2q+3,/=3a,+4=6q+13

a^a2+5,生成等差數(shù)列<=>q+%=2(a2+5)<=>q=1

(2)q=1,。2=5得〃”+i=3。〃+2"對N*均成立

%=34+2”=%+2*3(%+2〃)

得

?！?2"=7+7=_+==+==-

13

(3)當(dāng)？7=1時，一=1<—

42

當(dāng)“22時，([)”>(1)2>2。3">2x2"o%>2"=-!-<￡

111,111,113

23

%a2an222"22"2

11]3

由上式得：對一切正整數(shù)〃，有一+—++—<一。

qa2an2

18.【2012高考陜西理17](本小題滿分12分)

設(shè)｛4｝的公比不為1的等比數(shù)列，其前"項和為S,,,且%,生，%成等差數(shù)列。

(1)求數(shù)列｛q｝的公比；

(2)證明：對任意人eN+，S*+2，SQS*+1成等差數(shù)列。

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為q(#0,”1)。

由%，內(nèi)，4成等差數(shù)列，得2a3=%+“4，即=qq"+qq3。

由q*0,qwO得/+4—2=0,解得％=—2,%=1(舍去)，所以《=一2。

(2)證法一：對任意AreN+，(IbyIfx)

S&+2+\+i—2s*=(S*+2_sj+(s*+]-Sj

4+1+ak+2+ak+\

="+為+「(—2)=。，

所以，對任意々eN+，Sk+2,Sk,Si成等差數(shù)列。

2q』T)

證法二：對任意kwN+，2S,=—----1

i-q

2—%)=T一2

i—q

=言[2(1一4>(2—產(chǎn)W

=黑(。2+"-2)=0,

因此，對任意keN+,Sk+2,Sk,SE成等差數(shù)列。

19.12012高考重慶理21](本小題滿分12分,(I)小問5分,(II)小問7分.)

設(shè)數(shù)列的前”項和S“滿足5?+)=a2s“+%,其中a2Ho.

(I)求證：|a“|是首項為1的等比數(shù)列；

n

(II)若4>-1,求證：S〃<5(4+4)，并給出等號成立的充要條件.

【答案】(1)證明：由52=%5]+4，得4+〃2=4%+。1，即出二%4。

因生。0，故4=1，得%■=4，

囚

又由題設(shè)條件知Sn+2=a2s〃+[+〃]，Sn+l=a2Sn+q

兩式相減得Sn+2-SnU=2(Sn+l-Sn),即an+2=a2all+l,

由dw0,知a〃+]w0,因此一"2=

a

n+l

綜上，卜=4對所有〃eN*成立，從而｛4｝是首項為1,公比為的的等比數(shù)列。

(2)當(dāng)〃=1或2時，顯然S〃=5(q+?！?，等號成立。

設(shè)〃23,%>一1且。2。0，由(1)知，4=1，4=〃2〃7,所以要證的不等式化

為：

1+a)+a/+?+?)(〃之3)

即證：1+。2+/2++a2~）（，2-2）

當(dāng)。2=1時，上面不等式的等號成立。

當(dāng)—1<%<i時，—1與％"'—1，（歹=a,i〃一）同為負(fù)；

當(dāng)生>1時，出〃-1與W'fT，"=a，1n-）同為正；

因此當(dāng)。2>-1且。201時，總有（WT）（出"「一1）>°，即

+〃2''<1+W，（-=3,1n-）o

nrn

上面不等式對r從1到〃—1求和得，2（4+42++?2-）<（n-l）（l+?2）

+a

由此得1+。2+42+2<^—（l+?2"）

n

綜上，當(dāng)—°時‘有*”…），當(dāng)且僅當(dāng)…2或%=1時等號成立。

20.【2012高考江西理161（本小題滿分12分）

1,

已知數(shù)列｛an｝的前n項和S,=一一n2+kn,左eN*,且S”的最大值為8.

2

（1）確定常數(shù)k,求an；

9-2a

（2）求數(shù)列｛2〃■的前n項和Tn。

【答案】解：（1）當(dāng)“=ZeN*時，=-,〃2+如取最大值，即8=一4公+爐=4人2,

"222

979

故％=4,從而?！?S〃-S〃_］二萬一〃（〃22）,又q=S［=Q,所以?！ǘf一〃

/.、e”,9-2an.23n-1n

（1）因為勿=-^；—=廣，雹=〃+4++2=1+耳+齊++^7T+而

llyee-311n/1n,幾+2

所以7；=27；—7；=2+1+/++^7-^7=4--^---=4--^q-

【點評】本題考查數(shù)列的通項，遞推、錯位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用.利

用%=，1_來實現(xiàn)。0與S”的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一，要注意

戶"1

4=S“-S,I不能用來求解首項q，首項4一般通過q=E來求解.運用錯位相減法求數(shù)列

的前〃項和適用的情況：當(dāng)數(shù)列通項由兩項的乘積組成，其中一項是等差數(shù)列、另一項是

等比數(shù)列.

21.12012高考湖南理19］（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛a,J的各項均為正數(shù)，記A(Z7)=ai+az+...+&,B(n)=a2+a3+...+a,^,C(〃)

=&+&+...+a,r2,n=\,2,....

(1)若a=1,a2=5,且對任意〃WN*,三個數(shù)/"),8(〃)，C")組成等差數(shù)列，求

數(shù)列｛4｝的通項公式.

(2)證明：數(shù)列｛a｝是公比為。的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意“eN*,三個

數(shù)/(〃)，B(/?),C(n)組成公比為<?的等比數(shù)列.

【答案】解(1)對任意“eN*,三個數(shù)4(“),8(〃),。(〃)是等差數(shù)列，所以

8(汾~A(閏C(-n)

即4+|-4=an+2,亦即an+2-an_x=a2-a,=4.

故數(shù)列｛4｝是首項為1,公差為4的等差數(shù)歹ij.于是a“=l+(〃—l)x4=4〃—3.

(II)(1)必要性：若數(shù)列也｝是公比為g的等比數(shù)列，則對任意“eN*,有

a,1=anq.由an>0知，A(〃),B(〃),C(“)均大于0,于是

B(n)_a+a^.：+a」式4+。#.+a?_)

=2:n+一=q,

A(〃)4+。步??+?！癮\a+2.+a/J

C(〃)_4+a/...+%+q(.a+a.+a,

~=-2l+L=)q,

B(n)a2+a#…+a〃+｝a+g+..3+?n+,

即駟=及?=q,所以三個數(shù)A(〃),8(〃),C(“)組成公比為q的等比數(shù)列.

A(〃)B(〃)

(2)充分性：若對于任意〃eN*,三個數(shù)A(“),B(〃),C(〃)組成公比為4的等比數(shù)列，

則

3(“Aq4立，￡(〃)，

于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(〃可，得an+2-a2=q｛an+x-ay),即

a“+2-qa“+ra-

由〃=1有5(1)=qA(y),即a2=qa｝,從而aII+2-qan+l=0.

因為4,>0,所以吐=&=q,故數(shù)列｛4｝是首項為q,公比為q的等比數(shù)列，

%+i%

綜上所述，數(shù)列｛《,｝是公比為4的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n￡N*,三個數(shù)

4(〃),85),。(〃)組成公比為4的等比數(shù)列.

［點評］本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列

定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.

22.【2012高考山東理20】本小題滿分12分)

在等差數(shù)列｛%｝中，/+%+%=84,佝=73.

(I)求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

(II)對任意meN*,將數(shù)列｛見｝中落入?yún)^(qū)間(9"',92"')內(nèi)的項的個數(shù)記為勾，求數(shù)列

也,｝的前m項和Sm.

【答案】解：(I)因為｛q｝是一個等差數(shù)列，

所以a3+a4+a5=3a4=84，即4=28.

所以，數(shù)列僅“｝的公差。=會/212s=9,

所以,a,,=a4+(?-4)J=28+9(n-4)=9/7-8(n6N*)

(U)對/〃eN*,若9m<a?<92w,

貝(I9'"+8<9〃<92m+8,因此9n,-'+l<w<9”"T,

2mm

故得bm=9-'-9(lbylfx)

于是Sm=-bm

=(9+93+95+...+92m-')-(l+9+92+...+9m-')

=9x(1-81"')i-9?

=-1^811^9-

92wi+l-10x9m+l

一80

20XX年高考題

一、選擇題

1.(天津理4)已知儲"｝為等差數(shù)列，其公差為-2,且出是附與名的等比中項，S,為

｛""｝的前〃項和，則So的值為

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.(四川理8)數(shù)列｛4｝的首項為3,｛2｝為等差數(shù)列且“=”"+「%(〃€"*).若則

4=-2,4o=12,則〃§=

A.0B.3C.8D.II

【答案】B

【解析】由已知知勿=2〃-8,。e一&=2〃-8,由疊加法

（g—q）+（%—%）++（。8—%）=—6H—4H—2+0+2+4+6=0=>《=q=3

3.（全國大綱理4）設(shè)3為等差數(shù)列｛叫的前〃項和，若4=1,公差d=2,Sk+「Sk=24,

貝！1左=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）已知數(shù)列｛%｝的前n項和S"滿足：S”+￡=￡,+,“，且％=i.那么4o=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空題

5.（湖南理12）設(shè)5“是等差數(shù)列僅"｝（〃eN*）,的前〃項和，且q=L%=7,

則‘9=

【答案】25

6.（重慶理11）在等差數(shù)列僅"｝中，%+%=37,則%+%+1+%=

【答案】74

7.（北京理11）在等比數(shù)列｛an｝中，al=2,a4=-4,則公比q=；

同+同+...+同=。_2

【答案】2

8.（廣東理11）等差數(shù)列,』前9項的和等于前4項的和.若4=1，4+%=°,則

k=.

【答案】10

9.（江蘇］3）設(shè)1〈卬其中al，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6

成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是

【答案】歷

三、解答題

10.（江蘇20）設(shè)M部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列S”｝的首項4=1,前n項和為S",

已知對任意整數(shù)k^M,當(dāng)整數(shù)〃>攵時，S“+*+S“_*=2(S“+S*)都成立

(1)設(shè)“=⑴嗎=2,求名的值;

(2)設(shè)"={3,4}，求數(shù)歹也凡}的通項公式

本小題考查數(shù)列的通項與前〃項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查考生分析

探究及邏輯推理的能力，滿分16分。

解：⑴由題設(shè)知，當(dāng),2謝,5“+|-S,i=2(S“+S1),

即(S“+|-S“)一(S,,-S.T)=2S],

a+l

從而"~°”=2al=2、又4=2,故當(dāng)〃N2時,an=a2+2(〃-2)=2〃-2.

所以處的值為8。

(2)由題設(shè)知，當(dāng)無wM={3,4},且”>%時,S"*+Si=2S.+2S*

且S"""+S“+~=2Sm+2S?

兩式相減得％+i+?+4+1T=2%+1，即4+1+?―4+i=%+|一%+一

所以當(dāng)〃28時,??_6,an_3,an,a,“3,an+6成等差數(shù)列，且an_6,an_2,an+2,an+6也成等差數(shù)

刖

從而當(dāng)〃時，2a“=a,+3+4,-3=%+6+4,-6?(*)

日an+6+an-6=%+2+%-2，所以當(dāng)〃28時,2?！?+d1

f

即"〃+2一一風(fēng)一2?于一正當(dāng)〃-9時,?！ㄒ?，〃一〃1,4+1，々〃+3成等差數(shù)列,

從而"〃+3+an-3=4+1+%,

aa

故由(*)式知=%+n-\，即4+1一%=。〃-n-V

當(dāng)〃29時，設(shè)"=?！?。〃+1?

當(dāng)24加《財，祖+628,從而由(*)式知%+6=。,“+《”+12

故26“+7=4+1+4+3

aa

從而2(a，"+7-,n+6)=??,+!-,?+(?,?+13-。,“+12),于是??,+1-=2d-d=d.

aa=d

因此，'^~'<對任意n>2都成立，又由Sn+k+Sn_k-2Sk=2sli(ke{3,4})可

知(％-S.)-⑸-Si)=2&，故9d=2s3且16d=2s4,

73d

.=—而。2=—d,%=一.

解得222

因此，數(shù)列⑷｝為等差數(shù)列，由q=1知"=2.

所以數(shù)列｛能｝的通項公式為4=2"-1.

11.(北京理20)

若數(shù)歹UA"=%g…，"”(〃22)滿足以+1一《|=1(攵=1,2,.,〃_1),數(shù)列4為E數(shù)列,

記S()=q+2+…+4]

(I)寫出一個滿足q=4=°,且S(A)〉0的E數(shù)列4；

(II)若6=12,n=2000,證明：E數(shù)列4是遞增數(shù)列的充要條件是4=2011；

(III)對任意給定的整數(shù)n(n>2),是否存在首項為0的E數(shù)列4,使得S(4)=o?

如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列4；如果不存在，說明理由.

解：(I)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5)

(II)必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，

所以4句一%=1(左=12…1999)

所以A5是首項為12,公差為1的等差數(shù)列.

所以a2000=12+(2000—1)xl=2011.

充分性，由于22000—210000,

a2000—al000<l

a2—a1W]

所以a2000—a<19999,即a2000<a1+1999.

又因為因=12,a2000=2011,

所以a2000=al+1999.

—a?=1>0(k=1,2,…,1999),即且、單+的如罰

故“+i、，，，八，“是遞增數(shù)列.

綜上，結(jié)論得證。

(III)令4=4+i=1>0(%=12…，”-1),則5=±1.

因為％=al+ci+ai=q+q+Q

an-a\+G+C2+,,?+%,

所以S(A")="4+(〃T)G+(?-2)C2+(?-3)C3+???+c,i

，l(，>

=7-[(l-cl)(H-l)+(l-c2)(n-2)+---+(l-cn_,)].

因為q=±1,所以1-c*為偶數(shù)(A=1,…，〃-1).

所以*1一。)("一D+(l-。2)(〃-2)+…+(1-％)為偶數(shù)，

S(A“)=0,必須使迎二。

所以要使2為偶數(shù)，

即4整除"5-1"亦即n=4機(jī)或〃=4m+l(mGN*)

當(dāng)幾=4"i+l(mGN*)時,E數(shù)列的項滿足。4什]==0,〃4卜2=T=1

(Z=l,2,…,加)時，有％=0,S(A〃)=0;

a4k=1(2=12…，⑼,。4川=耐,有G=0,S(A〃)=0；

當(dāng)〃=4加+1(加GN*)時,E數(shù)列A,,的項滿足，為"1=。3"3=0,?4*-2=一1，

4m+

當(dāng)〃=2或〃=4加+3(meN)時,不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An(

使得a\=°，S(A〃)=0.

12.(廣東理20)

V空t(〃？2)

設(shè)b>0,數(shù)列滿足al=b,??-i+2?-2

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

‘b'，+',

ciW—-+1

(2)證明：對于一切正整數(shù)n,n2計

解：

2/2-1

CL=6>0,知=------———

⑴由“"T+2/7-2上an-\

n.1

一，4=-

令a.b

12

n>MA.=-+-A_

當(dāng)hhn]

12r~22〃T.

=/京++產(chǎn)+尸A

122"22'i

=—I—z~+H--------H---------.

bb2b"~'bn

①當(dāng)匕H2時，

.%1。七/2丫卜2

A-_______'/—__________

"~,2~h"(b-2)

h

。=2時，4=g.

②當(dāng)2

\nbyb-2)

-----------,b#2

b"-r

2,b=2

nbn(b-2)9L只需證出岑+D*

(2)當(dāng)匕H2時，(欲證b"-2")

h"—?n

(2n+l+bn+l)-~—=(2n+,+b"+i)(&"-'+2bL2++2”T)

h-2

=2n+,b"-'+2"+2b"-2++22"+b2"+2b2n-'++2n-'b"+l

222+**”++2)

b"2"2'i2

>2"b"(2+2++2)=2〃2方=〃-2"+方

nbn(b-2)b,,+l,

Cl--------------<----r+1.

"b"-2"2"n+'

hn+}

8=2時,a,=2=J+l.

當(dāng)"2n+1

凡

綜上所述2"+1

13.(湖北理19)

已知數(shù)列｛""｝的前〃項和為S",且滿足:0=4(。/0),a“+i=r￡("￡N*,

(I)求數(shù)列｛“"｝的通項公式；

(H)若存在Z6N*,使得*+i,0,&+2成等差數(shù)列，是判斷：對于任意的加6N*,

且〃，22,飆+i,am,而+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般

的思想。(滿分13分)

解：(I)由已知《用="〃，可得。"+2=rS“+|,兩式相減可得

4+2-4，+尸一⑸角-S“)=”用’

即可+2=(〃+1)勺+1，

又出=必=肛所以『0時，

數(shù)列｛"/為：a,0,0,-；

當(dāng)rwO/H.l時，由已知a/0,所以工0

_展=r+l(〃eN")

于是由4+2=(,+1)4+”可得4+i,

，4+成等比數(shù)列，

.,.當(dāng)n22時-a=r(r+D”2a.

f1t

a.n=l,

ci=<

綜上，數(shù)列伍"｝的通項公式為n"[r(r+iy-2a,n>2

(II)對于任意的根eN",且”22,4“+1,%?,。,“+2成等差數(shù)列，證明如下：

am—<

當(dāng)r=0時，由⑴知，

二對于任意的加eN*,且加之2,a,?+l,am,am+2成等差數(shù)列，

當(dāng)r，0,廣力-1時，

Sjt+2=&+%++?+2'Sk+1+4+]?

若存在k€N*,使得1+i，，，S*+2成等差數(shù)列,

則%+S#+2=2Sk,

1,*2sA+2%+]+%+2=2sle,即以+2=-2%[,

由(I)知，的，〃3，'品，的公比〃+1=-2,于是

對于任意的mcN*,且加之2,冊+i=-2am，從而4”+2=4《〃，

4+1+am+2=2am，即冊+1，am，4+2成等差數(shù)列,

綜上，對于任意的meN*,且加之2,4卅,%,劣+2成等差數(shù)列。

14.(遼寧理17)

已知等差數(shù)列｛an｝滿足a2=0,a6+a8=-10

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

閨

(II)求數(shù)列口J的前n項和.

解：

4+"=0,

V

(I)設(shè)等差數(shù)列伍"的公差為d,由已知條件可得〔2弓+12"=-10,

《4=L

解得I"一"一1L

故數(shù)列｛%｝的通項公式為“”=2-〃.............5分

⑺設(shè)數(shù)列帝的前〃項和為s,，即i+爭+含腳口

aa怎

-------_-----\----.1------2----r.+

2242"

所以，當(dāng)〃>1時,

12—n

n

F-

e;〃

blI'61?

所以2

綜上,數(shù)列帝的前〃W...................12分

15.(全國大綱理20)

_J______

設(shè)數(shù)列｛風(fēng)｝滿足6=°且1-%+i1一。，，

(I)求｛%｝的通項公式；

記S“=￡a，證明：s“<L

(H)設(shè)7〃*=|

解：

--一

(I)由題設(shè)1-4+11-4

廣｝

即1一°"是公差為1的等差數(shù)列。

1,,,1

------=1,故-----=n.

又1-41-4

a?=1」.

所以〃

(II)由(D得

b"

7n

J〃+1-&

J"+l?G

11

8分

A-l?.-1Vkyjk+\y/n+\12分

16.（山東理20）

等比數(shù)列｛4｝中，4'%'的分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且4，%