河南省名校教研聯(lián)盟高三下學期5月押題考試文科數(shù)學試題

絕密★啟用前（全國卷）文科數(shù)學試卷注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）.A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)復數(shù)的乘法運算求出復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的模的公司及即可得解.【詳解】由，得，則，所以.故選：C.2.已知集合，，則（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，從而得到集合，再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】因為，，所以.故選：B.3.已知向量，，，，則（）.A.1 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】計算出，利用平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】因為向量，，所以，所以.故選：A4.圓心在射線上，半徑為5，且經(jīng)過坐標原點的圓的方程為（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓心在射線上，設出圓心坐標，利用圓心到原點距離等于半徑求得圓心坐標，即可求出圓的方程.【詳解】因為圓心在射線上，故設圓心為，又半徑為5，且經(jīng)過坐標原點，所以，解得或（舍去），即圓的圓心坐標為，則圓的方程為，即.故選：C5.圓錐的高為2，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓錐高，再由圓錐的體積公式，即可得到結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，則，所以，，所以圓錐的體積為.故選：B6.一組樣本數(shù)據(jù)由10個互不相同的數(shù)組成，若去掉其中最小的和最大的兩個數(shù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)，則（）.A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，方差，中位數(shù)和極差的定義，逐個選項進行判斷，可得答案.【詳解】去掉其中最小的和最大的兩個數(shù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)不同，新數(shù)據(jù)的方差變小，數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變，數(shù)據(jù)的極差變小，故C正確.故選：C7.下列函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運用誘導公式化簡后畫出簡圖即可判斷各個選項.【詳解】對于A項，因為，如圖所示，故A項不成立；對于B項，，如圖所示，，故B項不成立；對于C項，，如圖所示，，故C項不成立，對于D項，，如圖所示，，故D項正確.故選：D.8.已知，，，則（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過化簡，并比較與1的大小即可得出結論.【詳解】由題意，，，所以.故選：D.9.等邊的邊長為2，D，E分別為AB，AC的中點，將沿DE折起，使點A到達點的位置.若平面平面BCED，則線段的長為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由面面垂直可得線面垂直，利用勾股定理求解.【詳解】如圖，易知是邊長為1的等邊三角形，過作DE的垂線，垂足為H，由平面平面BCED，交線為，,則平面BCED，且H為線段DE的中點，，連接BH，則，取BC的中點F，則，且，所以，所以.故選：C10已知，且，，則（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運用差角公式及切化弦可求得，，可判斷A項、B項，由二倍角公式可判斷C項，由和角公式及角的范圍可判斷D項.【詳解】因為，，故，.所以，，故A項、B項錯誤；對于C項，因為，故C項錯誤；對于D項，因為，又因為，，所以，故D項正確.故選：D.11.《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學巨著，在這本書的第10卷中給出了“窮竭法”的基本命題.所謂“窮竭”指的是一個變量，它可以小于任意給定的量.根據(jù)窮竭法的基本命題，設數(shù)列滿足，，，…，，…，若，則m可能取到的最大值為（）.A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】分析】根據(jù)題意，列出，結合，賦值進行計算，可得答案.詳解】根據(jù)題意可知，所以，，而，故可能大于1，所以m可能取到的最大值為7.故選：C12.已知拋物線的焦點為F，準線為l，過C上一點A作l的垂線，垂足為B.若，則的外接圓面積為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，進而得到，利用勾股定理求得，進而得到，然后利用正弦定理中的外接圓直徑公式，求得的外接圓半徑為R，然后計算其面積.【詳解】設，由拋物線的定義可知，所以，代入拋物線的方程中得到，由幾何關系可知，.設的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，解得，所以的外接圓面積為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知正方體的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則正方體的表面積為______.【答案】32【解析】【分析】根據(jù)正方體外接球的直徑為正方體的體對角線建立半徑和棱長的方程，代入正方體表面積公式即可求解.【詳解】易知該球的直徑即為正方體的體對角線，設正方體的棱長為l，球的直徑，因為球的表面積為，所以，，所以正方體的表面積為.故答案為：32.14.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，，則______.【答案】5【解析】【分析】將條件代入余弦定理，即可求解.【詳解】因為，，，又由余弦定理有：，即且，解得：.故答案為：5.15.已知橢圓：的左頂點為，上頂點為，右焦點為，且是等腰三角形，則橢圓的離心率為___________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)橢圓方程確定題中三點的坐標，并求出的三邊長，再根據(jù)是等腰三角形列等式求解可得，從而橢圓的離心率為.【詳解】根據(jù)橢圓方程，可得，，，，，，有，，若是等腰三角形，則，有，兩邊平方整理得，把，代入得，又，所以，.離心率.故答案為：.16.已知函數(shù)與曲線有三個交點，則k的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】將兩曲線表達式聯(lián)立，得出一元二次方程，利用判別式即可求出k的取值范圍.【詳解】由題意，函數(shù)與曲線有三個交點，，則，若直線與曲線有三個交點，只需滿足方程有兩個不等于1和0的解.因為該方程的兩個解之積，故只需滿足，所以或，即k的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.記為等差數(shù)列的前n項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列前n項和基本量的運算求解公差，寫出等差數(shù)列通項公式即可；（2）對和變形后利用裂項相消法求和，再利用放縮法證明即可.【小問1詳解】設公差為d，則，解得.所以.【小問2詳解】由（1）可知，.18.如圖，在三棱柱中，，，，平面，D為上一點，且.（1）證明：平面；（2）若E為上一點，，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過長度關系證得，在通過題干垂直關系證得，由此可得平面.（2）求出、長度.再求三棱錐的體積,由三棱錐與三棱錐的體積關系，即可求出三棱錐的體積；或由等體積法求三棱錐的體積，即.【小問1詳解】如圖，因為平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，，因為，所以.因為，得，又，所以在中，，故，因為，所以，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面，平面，且，所以平面.【小問2詳解】由題意得，，，，由（1）可知，平面ABD，所以,則，所以，因為，故.方法1：所以，又因為，且，所以.方法2：因為平面，平面,所以平面平面,又因為平面平面,點E到直線PA的距離也是點到平面的距離，即，所以三棱錐的體積為：.19.某醫(yī)院對患者就診后的滿意度進行問卷調(diào)查，患者在問卷上對就診滿意度進行打分，分值為0~5分，其中滿意度打分不低于4分表示滿意.現(xiàn)隨機抽取了100位患者的調(diào)查問卷，其滿意度打分情況統(tǒng)計如下：滿意度打分012345人數(shù)136105624（1）估計患者對該醫(yī)院滿意度打分的平均值；（2）若該醫(yī)院一周內(nèi)共有6000名患者就診，估計其中表示滿意的患者人數(shù)；（3）醫(yī)院對抽取的調(diào)查問卷中1位滿意度打0分的患者和3位滿意度打1分的患者進行回訪，并將這四人隨機分成A，B兩組，每組各兩人，求A組的兩人滿意度打分均為1分的概率.【答案】（1）3.89分（2）4800人（3）【解析】【分析】（1）由樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù).（2）通過樣本估計出總體滿意的患者占比，即可求出答案.（3）列出樣本空間，由古典概型計算概率即可.【小問1詳解】由列表可知，100位患者的滿意度打分的平均分為：分.所以估計患者對該醫(yī)院滿意度打分的平均值：3.89分.【小問2詳解】由列表可知，表示滿意的患者占比為，所以6000名患者中表示滿意的人數(shù)為人.【小問3詳解】設打0分的患者為M，打1分的患者為，，，則A組的兩位患者可以為，，，，，共6種組合，其中兩個均為打1分的患者共有3種組合，設事件C表示“A組的兩位患者滿意度打分均為1分”，則.所以A組的兩位患者滿意度打分均為1分的概率為.20.已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，且當l垂直于x軸時，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4.（1）求C的方程；（2）證明：，求.【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，表示出兩交點的坐標，然后結合三角形的面積公式，代入計算，即可得到結果；（2）當直線的斜率存在時，設l的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結合韋達定理，再由弦長公式，即可得到結果；【小問1詳解】根據(jù)題意有，C的漸近線方程為，將代入兩個漸近線方程得到交點坐標為，，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為，所以，C的方程為.【小問2詳解】設，，其中，，由（1）可知，，當軸時，顯然MN與不垂直.當l不垂直于x軸時，設l的方程為時，代入C的方程有：，故，，，，當時有：①，由得到，代入，整理有②，由①，②可得.所以.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：；（3）已知當時，，證明：.【答案】（1）在單調(diào)遞增（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）對求導，在直接判斷不了的正負情況，再對其求二階導并確定正負，從而確定單調(diào)性，再由此確定出的正負情況，即可討論出的單調(diào)性.（2）證明：即證，構造新函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，從而確定.（3）由（2）結合不等關系即可解決.【小問1詳解】定義域為，，設，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增.【小問2詳解】設，則，設，則，單調(diào)遞減，又因為，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，即.【小問3詳解】由（2）可知，，當且僅當時等號成立，設.當時，有，所以即，①當時，有，所以即，②由①②可令，其中，故，【點睛】判斷函數(shù)單調(diào)性，一次求導沒法判斷時，往往可以二次求導;通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關系；在給定區(qū)間恒成立時，往往需利用單調(diào)性轉化為最值問題解決.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22.在極坐標系Ox中，圓，直線.（1）在以O為原點，極軸為x軸的正半軸建立的直角坐標系xOy中，求C的標準方程和l的方程；（2）以M為圓心的圓與圓C外切，且與l也相切，求M軌跡的極坐標方程.【答案】（1）C的標準方程為，l的方程為；（2）【解析】【分析】（1）利用和，得到C的標準方方程和l的方程；（2）設，由相切關系得到方程，求出M的軌跡方程為，轉化為極坐標方程即可.【小問1詳解】分別將和，代入，得，C的標準方程為.因為直