初二數(shù)學(xué)上冊考試重點和練習(xí)題匯總

初二數(shù)學(xué)（上冊）考試重點

第一章勾股定理

1、勾股定理

直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊C的平方，即。2+82=。2

2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定條件）

如果三角形的三邊長a,b,C有關(guān)系。2+》2=。2,那么這個三角形是直角三角

形，且最長邊所對的角是直角。

3、勾股數(shù)：滿足/+/=02的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

第二章實數(shù)

一、實數(shù)的概念及分類

1、實數(shù)的分類

L正有理數(shù)I

r有理數(shù)飛零J有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)負(fù)有理數(shù)

'r正無理數(shù)I

無理數(shù)7_S無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類:

（1）開方開不盡的數(shù)，如J7,正等；

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數(shù)，如三+8等;

3

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函數(shù)值，如sin60。等

二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

1、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零）,

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，

則有a+b=O,a=一b,反之亦成立。

2、絕對值

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（間加）。零的絕對值

是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a,則aK）；若|a|=-a,則aWO。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒

數(shù)。

4、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時、要注意上述規(guī)定的三要素

缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

5、估算

三、平方根、算術(shù)平方根和立方根

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x就

叫做a的算術(shù)平方根。特別地，。的算術(shù)平方根是0。

表示方法：記作“?”，讀作根號a。

性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的

平方根（或二次方根）。

表示方法：正數(shù)a的平方根記做“土正”，讀作“正、負(fù)根號a”。

性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。

L&i>0

注意右的雙重非負(fù)性：y

a>0

3、立方根

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即x3=a那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（或三

次方根）。

表示方法：記作必

性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：亞工=_%，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。

四、實數(shù)大小的比較

1、實數(shù)比較大?。赫龜?shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所

表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

2、實數(shù)大小比較的兒種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

a-b>Ooa>b,

a—b=Qoa=b,

a-b<0^>a<b

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，->\^a>b-,-=\^a=b;-<l^a<b;

bbh

⑷絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則時>忖0。<山

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則

五、算術(shù)平方根有關(guān)計算(二次根式)

1、含有二次根號“?”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

2、性質(zhì)：(1)(Va)2=a{a>0)廠a{a>0)

(2)=14=Y-a(a<0)

(3)4ab=4a?4b(a>Q,b>0)(?y/b=4ab{a>Q,b>0))

(4)、怛=4(aNO力>0)(里=](a20,8>0))

Vb4b4bvb

3、運算結(jié)果若含有“&”形式，必須滿足：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；(3)分母中不能含有根號。

六、實數(shù)的運算

(1)六種運算：力口、減、乘、除、乘方、開方

(2)實數(shù)的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

(3)運算律

加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(Q+/?)+C=Q+S+C)

乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法對加法的分配律：

a(b+c)=ab+ac

第三章位置與坐標(biāo)

一、在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個數(shù)據(jù)。

二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。

其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取

向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們的公共原點0稱為直角坐標(biāo)系的原點；建

立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分

別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

［注意］:x軸和y軸上的點(坐標(biāo)軸上的點)，不屬于任何一個象限。

3、點的坐標(biāo)的概念

?對于平面內(nèi)任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應(yīng)的

數(shù)a,b分別叫做點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(a,b)叫做點P的坐標(biāo)。

?點的坐標(biāo)用(a,b)表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，

橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)人時，(a,b)和

(b,a)是兩個不同點的坐標(biāo)。

?平面內(nèi)點的與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的。

4、不同位置的點的坐標(biāo)的特征

(1)、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一象限=x>0,y>0

點P(x,y)在第二象限=x<0,y>0

點P(x,y)在第三象限=x<0,y<0

點P(x,y)在第四象限ox>0,y<0

(2)、坐標(biāo)軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上Oy=0,x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上OX=0,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上Ox,y同時為零，即點P坐標(biāo)為(0,0)即原點

(3)、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線(直線y=x)上Ox與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上Ox與y互為相反數(shù)

(4)、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。

(5)、關(guān)于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標(biāo)的特征

點P與點P'關(guān)于x軸對稱O橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點P(x,y)關(guān)于x

軸的對稱點為P'(X,-y)

點P與點p'關(guān)于y軸對稱O縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點P(X,y)關(guān)于y

軸的對稱點為P'(-x,y)

點P與點p'關(guān)于原點對稱O橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即點P(x,y)關(guān)于原點的對

稱點為P'Gx,-y)

(6)、點到坐標(biāo)軸及原點的距離

點P(x,y倒坐標(biāo)軸及原點的距離：

(1)點P(x,y)至IJx軸的距離等于3

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于W

(3)點P(x,y)到原點的距離等于Ji+y2

三、坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律:

坐標(biāo)(x,y)的變化圖形的變化

xXa或yXa被橫向或縱向拉長(壓縮)為原來的a倍

xXa,yXa放大(縮小)為原來的a倍

xX(-1)或yX(-1)關(guān)于y軸或x軸對稱

xX(-1),yX(-1)關(guān)于原點成中心對稱

x+a或y+a沿x軸或y軸平移a個單位

x+a,y+a沿x軸平移a個單位，再沿y軸平移a個單

第四章一次函數(shù)

一、函數(shù)：

一般地，在某一變化過程中有兩個變量X與y,如果給定一個x值，相應(yīng)地就確定了一

個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。

二、自變量取值范圍

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實

數(shù)），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）、實際意義幾方面考慮。

三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

（1）關(guān)系式（解析）法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示,

這種表示法叫做關(guān)系式（解析）法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫

做列表法。

（3）圖象法

用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。

四、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

?一般地，若兩個變量x,y間的關(guān)系可以表示成y=（k,b為常數(shù)，kWO）的

形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。

?特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時（即丁=丘）（k為常數(shù)，k*0）,稱y是

x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像：所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征:

一次函數(shù)y=的圖像是經(jīng)過點（0,b）的直線；正比例函數(shù)y=的圖像是經(jīng)過

原點（0,0）的直線。

k的符b的符

函數(shù)圖像圖像特征

號號

yr

圖像經(jīng)過一、二、三象限，y

b>0

r隨X的增大而增大。

k>0

y

_J圖像經(jīng)過一、三、四象限,

y

b<0尸

J隨X的增大而增大。

y

圖像經(jīng)過一、二、四象限，y

K<0b>0\

\__隨X的增大而減小

\

一般地，正比例函數(shù)y=Ax有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

(2)當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)？=左》+匕有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大

(2)當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=Qc(k*0)中的常數(shù)k。確定

一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k^O)中的常數(shù)k和b。解這類

問題的一般方法是待定系數(shù)法。

7、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：

任何一個一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=O(k、b為常數(shù)，kWO)的形式.而一

次函數(shù)解析式形式正是丫=1?+1)(k、b為常數(shù)，k/0).當(dāng)函數(shù)值為0時，?即kx+b=O就

與一元一次方程完全相同.

結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=O（k、b為常數(shù)，kWO）的形式.所以

解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為。時，求相應(yīng)的自變量的值.

從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)值.

第五章二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

3、二元一次方程組

含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

4二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。

5、二元一次方程組的解法

（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法

6、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系：

（1）一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：

直線y=kx+b上任意一點的坐標(biāo)都是它所對應(yīng)的二元一次方程kx-y+b=O的解

（2）一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：a

y=X

二元一次方程組fax+b,y=c的解可看作兩個一次函數(shù)~4'h''"

*l[i

a2x-\-b2y=c2

y=---%1+=

和b2h2的圖象的交點。

當(dāng)函數(shù)圖象有交點時，說明相應(yīng)的二元一次方程組有解；當(dāng)函數(shù)圖象（直線）平行即無

交點時，說明相應(yīng)的二元一次方程組無解。

第六章數(shù)據(jù)的分析

1、刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均水平）的量：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)

2、平均數(shù)（1）平均數(shù)：一般地，對于n個數(shù)玉,修,，我們把,（2+/+…+與）

叫做這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，記為X。

(2)加權(quán)平均數(shù)：

3、眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

4、中位數(shù)

一般地，將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)

據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

新章節(jié)：圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移

1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為

平移。

2、性質(zhì)：平移前后兩個圖形是全等圖形，對應(yīng)點連線平行且相等，對應(yīng)線段平行且相

等，對應(yīng)角相等。

二、旋轉(zhuǎn)

1、定義

在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn),

這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形是全等圖形，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連

線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。

四邊形性質(zhì)探索

一、四邊形的相關(guān)概念

1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫

做四邊形。

2、四邊形具有不穩(wěn)定性

3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360。。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（“-2）?180°;

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則多邊形的對角線共有“（〃—3）條。從口邊形的一個頂點出

2

發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形。

二、平行四邊形

1、平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對邊平行且相等。

（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等

（3）平行四邊形的對角線互相平分。

（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。

常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線

段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4、兩條平行線的距離

兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

平行線間的距離處處相等。

5、平行四邊形的面積S平行四邊彩=底邊長X高=@11

三、矩形

1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

2、矩形的性質(zhì)

（1）矩形的對邊平行且相等

（2）矩形的四個角都是直角

(3)矩形的對角線相等且互相平分

(4)矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(對稱中心到

矩形四個頂點的距離相等)：對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。

3、矩形的判定

(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

(2)定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

(3)定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

4、矩形的面積：S矩彩=長義寬=26

四、菱形

1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

2、菱形的性質(zhì)

(1)菱形的四條邊相等，對邊平行

(2)菱形的相鄰的角互補，對角相等

(3)菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角

(4)菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(對稱中心到

菱形四條邊的距離相等)；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。

3、菱形的判定

(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

(3)定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4、菱形的面積：S江=底邊長乂高=兩條對角線乘積的一半

五、正方形(3~10分)

1、正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形的性質(zhì)

(1)正方形四條邊都相等，對邊平行

(2)正方形的四個角都是直角

(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角

(4)正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有

四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證它是菱形。

先證它是菱形，再證它是矩形。

,h2

4、正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a,對角線長為b,則SM舷=/=一。

2

六、梯形

（-）1、梯形的相關(guān)概念

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。

梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。

梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。

（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。

（-）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分類如下：

”一般梯形

梯形〔「直角梯形

Y

特殊梯形一

等腰梯形

（三）等腰梯形

1、等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。

（3）等腰梯形的對角線相等。

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。

3、等腰梯形的判定

(1)定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

(2)定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

(3)對角線相等的梯形是等腰梯形。(選擇題和填空題可直接用)

(四)梯形的面積

⑴如圖，S梯形,L[(CD+AB)?DE

(2)梯形中有關(guān)圖形的面積：①508。=5她4；②5必。。=5兇,

③S?DC=S&BCD

七、有關(guān)中點四邊形問題的知識點：

(1)順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；

(2)順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；

(3)順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；

(4)順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；

(5)順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；

(6)順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；

(7)順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；

八、中心對稱圖形

1、定義

在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖

形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

2、性質(zhì)

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或在同一直線上)且相等。

3、判定：如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個

圖形關(guān)于這一點對稱。

九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關(guān)系圖：(圖4—109)

初二數(shù)學(xué)上冊考試重點及練習(xí)題(含答案)

第十一章三角形

1、三角形的概念

由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成

三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩

邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。

2、三角形中的主要線段

(1)三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點

間的線段叫做三角形的角平分線。

(2)在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

(3)從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三

角形的高線(簡稱三角形的高)。

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的

這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個特性：

(1)三角形有三條線段】

(2)三條線段不在同一直線上f三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接

三角形用符號表示，頂點是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三

角形ABC”。

5、三角形的分類

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

‘不等邊三角形

三角形r底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如下：

直角三角形（有一個角為直角的三角形）

三角形Ir銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）

［斜三角形<

鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有I種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是

兩條直角邊相等的直角三角形。

6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。

推論：

①直角三角形的兩個銳角互余。

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大

角。8、三角形的面積=^X底X高

2

多邊形知識要點梳理“封

（定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做

多邊形。

r凸多邊形

多邊形分類1：<

I凹多邊形

正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正

多邊形。Y

分類2：、

非正多邊形：

C1、n邊形的內(nèi)角和等于180°(n-2)。

多邊形的定理12、任意凸形多邊形的外角和等于360°。

I3、n邊形的對角線條數(shù)等于1/2-n(n-3)

知識點一：多邊形及有關(guān)概念國

1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多

邊形.

(1)多邊形的一些要素：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點.

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個

內(nèi)角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

(2)在定義中應(yīng)注意：

①一些線段(多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù))；

②首尾順次相連，二者缺一不可；

③理解時要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個條件,其目的是為了排除幾

個點不共面的情況，即空間多邊形.

2、多邊形的分類:

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直

線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹

多邊形(見圖1).本章所講的多邊形都是指凸多邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有〃條邊就叫做〃邊形.三角形、四

邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形.

知識點二：正多邊形國

各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、

正五邊形等。

正三角形正方形正五邊形正六邊形正十二邊形

要點詮釋：施

各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都

相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有

滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形

知識點三：多邊形的對角線國

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角

線.如圖2,BD為四邊形ABCD的一條對角線。

要點詮釋：

(1)從n邊形一個頂點可以引(n—3)條對角線，將多邊形分成(n—2)個三角

形。

?(?―3)

(2)n邊形共有2條對角線。

證明：過一個頂點有n—3條對角線(n23的正整數(shù))，又\?共有n個頂

點，...共有n(n-3)

條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復(fù)了一次，...凸n邊形，共有

2條對角線。

知識點四：多邊形的內(nèi)角和公式施

1.公式：川邊形的內(nèi)角和為5一2),1805之3)

2.公式的證明：

證法1：在力邊形內(nèi)任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構(gòu)成履個

三角形，這正個三角形的內(nèi)角和為％,180°,再減去一個周角，即得到北邊

形的內(nèi)角和為(閥-2)?18。.

證法2：從修邊形一個頂點作對角線，可以作("一方條對角線，并且“

邊形被分成(〃一2)個三角形，這-2)個三角形內(nèi)角和恰好是用邊形的

內(nèi)角和，等于8一2)」80

證法3：在正邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得(“—1)個三角形,

n邊形內(nèi)角和等于這(“-1)個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點處的一個平

角的度數(shù)，

即(/一1)?180?—180°=(%—2)180°

要點詮釋：蜀

(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的

基礎(chǔ)思想。

(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。

知識點五：多邊形的外角和公式施

1.公式：多邊形的外角和等于360°.

2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補

角，所以甩邊形的內(nèi)角和加外角和為萬.180°,外角和等于

*18?！?(?-2)-180°=360°

注意：n邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無關(guān)。

要點詮釋：國

(1)外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

①n邊形的內(nèi)角和等于(n—2)?180°(n23,n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和

與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°。

②多邊形的外角和等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān)。

知識點六：鑲嵌的概念和特征施

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這

類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可

以形狀不相同。

2、實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360°；相鄰的多

邊形有公共邊。

3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：

(1)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正

多邊形的內(nèi)角之和為360°。

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一

點空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點。當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個

正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角360°時，就能鋪成一個平面圖形。

.一2)180。

事實上，正n邊形的每一個內(nèi)角為?,要求k個正n邊形各有

斤(%-2).180。

一個內(nèi)角拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣360°=?，由此導(dǎo)出

2?4

k=筮-2=2+加一2,而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4,6o因而，用相

同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。

注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同

但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙

的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿

地面。

(3)用兩種或兩種以上的正多邊形

鑲嵌地面

用兩種或兩種以上邊長相等的正多

邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊

形”交接處各角之和能否拼成一個周角”

的問題。例如，用正三角形與正方形、正

三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面

鑲嵌，見下圖:

又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠

鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角360°o規(guī)律方法指導(dǎo)

1.內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少.

每增加一條邊，內(nèi)角的和就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須

是180°的整數(shù)倍.

2.多邊形外角和恒等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān).

3.多邊形最多有三個內(nèi)角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角

中最多有三個鈍角，最少沒有鈍角.

4.在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時，常與方程思想相結(jié)合，

運用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法.

5.在解決多邊形的內(nèi)角和問題時，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決.三

角形是一種基本圖形，是研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)

用.

經(jīng)典例題透析

類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用

C1.一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？

總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運用.只要

設(shè)出邊數(shù)”,根據(jù)條件列出關(guān)于花的方程，求出片的值即可，這是一種常用的解

題思路.

舉一反三：

【變式1】若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°,求這個多邊形

的邊數(shù).

【變式2】一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°,求這個多邊形

的內(nèi)角和是多少？

【答案】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為陷，這個內(nèi)角為

【變式3】一個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350°,求這個

多邊形的邊數(shù)。

類型一：多邊形對角線公式的運用

【變式1]一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（）.

A.6B.7C.8D.9

【變式2】一個十二邊形有幾條對角線。

盟（盟-3）

總結(jié)升華：對于一個n邊形的對角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律2

條，牢記這個公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對角線的條數(shù)，要記

住這個公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。

類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題

【變式1】如圖所示，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

【變式2】如圖所示，求NA+NB+NC+/D+NE+N

F的度數(shù)。

D

類型四：實際應(yīng)用題

▼4.如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再

到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少

度角？

思路點撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，小亮從A點出發(fā)前進(jìn)10m,向右轉(zhuǎn)15°,再前進(jìn)10m,

又向右轉(zhuǎn)15°,…，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點時，一共走了

【變式2】小華從點A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°,然后繼續(xù)向前

走10米，再向右轉(zhuǎn)36°,他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點A嗎？若能，

當(dāng)他走回點A時共走了多少米？若不能，寫出理由。

【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊AB〃CF,

CD〃AE.按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80°角，因交點不在模板上，不便測量.

這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，

你知道需測哪一個角嗎？說明理由.

思路點撥：本題中將AB、CD延長后會得到一個五邊

形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540°,又由AB〃CF,CD〃AE,

可知NBAE+NAEF+NEFC=360°,從540°中減去80°再

減去360°,剩下NC的度數(shù)為100°,所以只需測NC的

度數(shù)即可，同理還可直接測NA的度數(shù).

總結(jié)升華：本題實際上是多邊形內(nèi)角和的逆運算，關(guān)鍵在于正確添加輔助

線.

類型五：鑲嵌問題

C5.分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計圖。

(1)正方形和正八邊形；

⑵正三角形和正十二邊形；(3)正三角nQzQn

形、正方形和正六邊形。(yJ)

思路點撥：只要在拼接處各多邊形口j只一戶

的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個周角，那么這些多⑴⑵

邊形就能作平面鑲嵌。

解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一

個內(nèi)角分別是60°、90°、120°、135°、150°。

(1)因為90+2X135=360,所以一個頂點處有1個正方形、2個正八

邊形，如圖⑴所示。

(2)因為60+2X150=360,所以一個頂點處有1個正三角形、2個正

十二邊形，如圖⑵所示。

(3)因為60+2X90+120=360,所以一個頂點處有1個正三角形、1

個正六邊形和2個正方形，如圖(3)所示。

總結(jié)升華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實質(zhì)上

是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。舉一反三：

【變式1］分別用形狀、大小完全相同的①三角形木板；②四邊形木板；

③正五邊形木板；④正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是()A、

①B、②C、③D、④

解析：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形的

木板可以用，不能用正五邊形木板，故

【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點的各邊完

全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8,則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是()

A、4B、5C、6D,8

【答案】A(提示：先算出正八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，再乘以2,然

后用360°減去剛才得到的積，便得到第三塊木板一個內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到第

三塊木板的邊數(shù))

練習(xí)

1.多邊形的一個內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和為600°,求這個多邊形的邊數(shù).

2.n邊形的內(nèi)角和與外角和互比為13：2,求n.

3.五邊形ABCDE的各內(nèi)角都相等，且AE=DE,AD〃CB嗎？

4.將五邊形砍去一個角，得到的是怎樣的圖形？

5.四邊形ABCD中，ZA+ZB=210°，ZC=4ZD.求：NC或ND的度數(shù).

6.在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,ZDAC=2ZBAC.

求證：ZDBC=2ZBDC.

第十二章全等三角形

一、全等三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)

可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性質(zhì)

（1）:全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。

（2）：全等三角形的周長相等、面積相等。

（3）：全等三角形的對應(yīng)邊上的對應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。

3、全等三角形的判定

邊邊邊：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“SSS”）

邊角邊:兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等兩個三角形全等（可簡寫成“SAS”）

角邊角：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“ASA”）

角角邊:兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成"AAS"）

斜邊.直角邊:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“HL”）

4、證明兩個三角形全等的基本思路：

二、角的平分線：

1、（性質(zhì)）角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

2、（判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下幾個問題：

（1）：要正確區(qū)分“對應(yīng)邊”與“對邊”，“對應(yīng)角”與“對角”的不同含

義；

（2）：表示兩個三角形全等時，表示對應(yīng)頂點的字母要寫在對應(yīng)的位置上；

（3）：“有三個角對應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三

角形不一定全等；

（4）：時刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對頂角”

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合

的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。夾

邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的

角。

2,全等三角形的表示和性質(zhì)

全等用符號“且”表示，讀作“全等于"。如AABC之a(chǎn)DEF,讀作“三角形ABC

全等于三角形DEF”。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫

成“邊角邊”或成AS"）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫

成“角邊角”或“ASA”）

（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”

或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定

理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、

直角邊”或“HL”）

4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對稱變換。

（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做

旋轉(zhuǎn)變換。

第十三章軸對稱

一、軸對稱圖形

1.把一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這

個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關(guān)

于這條直線（成軸）對稱。

2.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就

說這兩個圖關(guān)于這條直線對稱。這條直線叫做對稱軸。折疊后重合的點是對應(yīng)點,

叫做對稱點

3、軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系

3、軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系

軸對稱圖形軸對稱

A

圖形