重難點2-1 函數(shù)值域的常見求法8大題型（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)【熱點重點難點】（新高考專用）

重難2-1函數(shù)值域的求法8大題型

命題趨勢

函數(shù)的值域是函數(shù)概念中三要素之一，是高考中的必考內(nèi)容，具有較強(qiáng)的綜合性，貫穿整個高

中數(shù)學(xué)的始終。在高考試卷中的形式千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，真正實現(xiàn)了?？汲Ｐ碌目荚?/p>

要求，考生在復(fù)習(xí)過程中首先要掌握一些簡單函數(shù)的值域求解的基本方法，其次要多看多練在

其他板塊中涉及值域類型的內(nèi)容。

滿分技巧

一、求函數(shù)值域的常見方法

1、直接法：對于簡單函數(shù)的值域問題，可通過基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)直接求解；

2、逐層法：求工(人…/；(%))型復(fù)合函數(shù)的值域，利用一些基本初等函數(shù)的值域，從內(nèi)向外逐

層求函數(shù)的值域；

3、配方法：配方法是二次型函數(shù)值域的基本方法，即形如"y=ox'+必或

“y=+bf(x)+c(a豐0)”的函數(shù)均可用配方法求值域；

4、換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求值域的函數(shù)，常用的換元有

尸第或k好的結(jié)構(gòu)'可用“屈=〃’換元；

(1)

(2)y=ajc+b+>Jcx+d(△均為常數(shù)，aH0,C￥0),可用“Jcx+d=/”換元；

(3)y=bx±da2-x?型的函數(shù),可用“x=acose((9e[0,;r])”或"x=asine(8e[-g,g)”換元；

5、分離常數(shù)法：形如y=絲當(dāng)(ac*0)的函數(shù)，應(yīng)用分離常數(shù)法求值域，即

cx+d

ax+babe-ad

-------------二-H-----------------，然后求值域;

cx+dcc2(x+d)

c

6、基本不等式法：形如0)的函數(shù)，可用基本不等式法求值域，利用基本不等

X

式法求函數(shù)的值域時，要注意條件“一正、二定、三相等"，即利用a+6N2j茄求函數(shù)的值域

(或最值)時，應(yīng)滿足三個條件：①。>0力>0；②。+匕(或而)為定值；③取等號的條件

為a=b,三個條件缺一不可；

7、函數(shù)單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域(或最值)

(1)形如片以+b-^&萬(ac<())的函數(shù)可用函數(shù)單調(diào)性求值域；

(2)形如y=ar+2的函數(shù)，當(dāng)M>()時，若利用基本不等式等號不能成立時，可考慮利用對

X

勾函數(shù)求解；

h

當(dāng)就<0時，y=ax+2在(-8,0)和(0,+8)上為單調(diào)函數(shù)，可直接利用單調(diào)性求解。

x

8、函數(shù)的有界性法：形如y=(或尸丁)(其中。也,不為。)的函數(shù)求值域

c+^sinxc+Ocosx

或最值，可用y表示出sinx(或cos%),再根據(jù)一l<sinx<l且sinxw—；(或一iWcosxWl且

b

cosX*—)I列出關(guān)于y的取值范圍.

b

類似地，有：①一=/0)則/10)20:②/=〃(y),則/z(y)>0；(3)sinx=g(y)廁一l<g(y)<l

2

9、判另(］式法：形如y="，,地”+。2(4%W0)或y=Ar+B>Jax+bx+c{ABa豐0)的函數(shù)求值

ayx~+4x+q

域，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程"x,>)=0,利用二次項系數(shù)不為0,判別式A20或二次項

系數(shù)為0,一次方程有解得出函數(shù)的值域。

10、導(dǎo)數(shù)法：對可導(dǎo)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，令/'(x)=0,求出極值點，判斷函數(shù)單調(diào)性；

如果定義域是閉區(qū)間，則函數(shù)最值一定取在極值點處或區(qū)間端點處；

如果定義域是開區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點處。

二、根據(jù)最值條件求解參數(shù)范圍解題思路

已知函數(shù)的最值求參數(shù)范圍時，要視參數(shù)為已知數(shù)，結(jié)合函數(shù)值域(或最值)的求法，得到函

數(shù)的最值(含有參數(shù)),再與給出的函數(shù)最值作I：匕較,求出參數(shù)范圍。

熱點題型解讀

逐層法求函數(shù)值域或最值

導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)值域或最值

已知函數(shù)的最值求參數(shù)

【題型1單調(diào)性法求函數(shù)值域或最值】

［例1］（2022秋?陜西西安?高三?？计谥校┖瘮?shù)/。）=卜2'在區(qū)間［1,2］上的最小值是（）

77

A.--B.-C.1D.-1

22

【答案】A

【解析】:在區(qū)間口，21單調(diào)遞減，-2,在區(qū)間口，2］也單調(diào)遞減，

17

所以“X）在區(qū)間口⑵單調(diào)遞減，因此/（嘰"八2）=；-22=,，故選：A

【變式1-1】（2022秋.北京.高三北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=M+|x|,則“X）

的值域是____.

【答案】［1，同

【解析】由已知，可得/（-x）=/（x）,即函數(shù)為偶函數(shù).

又x20時，y=e，為增函數(shù)，V=x為增函數(shù)，

所以，〃x）=e'+x為［。，+8）上的增函數(shù)，則〃力4⑴=1

所以，AM的值域是［1，內(nèi)）.

【變式1-2］（2022春?浙江舟山?高三校考開學(xué)考試）已知會（。靖，則函數(shù)了=COSXH———（）

\乙）cosX,

A.有最小值4B.有最大值4C.無最小值D.有最大值+8

【答案】C

TT

【解析】工￡（。，耳）時，COSXG（0,1）,

rr4

因為f=cosx在xe（0,5）上遞減,y=f+］在re（（），l）上單調(diào)遞減,

函數(shù)y=cosx+--L是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，

COSX

且y>l+4=5,其值域是（5,+8）;

所以函數(shù)無最大、最小值.故選：c

【變式1-3］（2022.全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=lnx+ln（2-x）的最大值為.

【答案】0

【解析】由f（x）=lnx+ln（2-x）=ln［-（x-l）2+l］,且0cx<2,

.?.令“x）=-（x-l）2+l,=t

即心）在0<x<l為單調(diào)遞增，l<x<2為單調(diào)遞減，而外）為增函數(shù)，

/（X）在0<X<1上單調(diào)遞增，1<X<2上單調(diào)遞減，/（X）max=/⑴=。.

【變式1-4】（2022秋.江蘇蘇州.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=^^R上的偶函數(shù)

（1）求實數(shù)，〃的值，判斷函數(shù)/（X）在［。,+8）上的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)/（X）在1-3,2］上的最大值和最小值.

【答案】（1）〃,=0,單調(diào)遞增；（2）最小值■,最大值1

【解析】（1）若函數(shù)〃力=鬻是R上的偶函數(shù),則/（-x）=〃x）,

“皿一x）+l7HX+1

即工，解得加=°,

所以，。）=占，函數(shù)/（幻在［。，+8）上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知函數(shù)/*）在［0,+8）上單調(diào)遞減，

又函數(shù)/（X）是R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)/（X）在（7,01上為增函數(shù)，

所以函數(shù)/（X）在［-3,0］上為增函數(shù)，在［0,2］上為減函數(shù).

又”-3）=*J（0）=1J（2）W

所以/*濡=/（-3）=5，/3nm=/（0）=1

【變式1-5］（2022秋.黑龍江牡丹江.高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（幻="優(yōu)（?>0,且"1）

的圖象經(jīng)過點41,4）,8（3,16）.

（1）求函數(shù)/（*）的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)8*）=/（此-/（-》）叱2）,求函數(shù)g（x）的值域

【答案】（1）/U）=2-;（2）/，引?

ab—4

【解析】（1）依題意，喘3二6，而“>。，解得。=2力=2,即有/（x）=22=2川，

所以函數(shù)/（X）的解析式是f（x）=2川.

（2）由（1）知，g（x）=f（x）7（r）=*-2-z=2（2，-5），

因函數(shù)），=2'和丫=-*在［2,e）上都單調(diào)遞增，

因此函數(shù)以處在2+8）上單調(diào)遞增，g（x）皿=g⑵=?,

所以函數(shù)g3的值域為嚀,+犯

【題型2配方法求函數(shù)值域或最值】

［例2］（2022秋.江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù)y=J—/+4x—4的值域是.

【答案】樹

【解析】函數(shù)y=J—/+敘_4的定義域為_/+4x_420,

化簡得：X2-4x+4=（x-2）2<0,解得：x=2,

所以函數(shù)y=J--+4X_4的值域為{0}.

【變式2-1】（2023.全國高三專題練習(xí)）若函數(shù)./!?卜2-；+1,則函數(shù),式月=〃力-4內(nèi)的最

小值為（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【解析】因為~~->1=—T--+1:=-~~，所以/（X）=X~（XH1）.

\XJx~XX~\XJ

從而g(x)=V-4X=(X-2)2-4,

當(dāng)x=2時,g(x)取得最小值，且最小值為Y.故選：D

【變式2-2】(2022?全國高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=x+2E的最大值為

【答案】2

【解析】設(shè),則x=i-產(chǎn)，

所以原函數(shù)可化為：尸孑+〃+1仁0),

由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)，=1時，函數(shù)取最大值2.

【變式2-3】(2022秋?廣東深圳?高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,貝！］/(x)的最大值為().

A.3+夜B.3-V2C.2+夜D.2-72

【答案】A

【解析】〃x)=sinx+cosx+2sinxcosx+2=sinx+cosx+(sinx+cosx)2-1+2,

即f(x)=g(f)=/+r+l=，+；)+|,

由1一夜,回,則g(r)a=g(1)=2+M+l=3+夜.故選：A.

【變式2-4】(2022秋.北京高三?？茧A段練習(xí))函數(shù)/(x)=sinx-cos2x是()

A.奇函數(shù)，且最小值為-2B.偶函數(shù)，且最小值為-2

c.非奇非偶函數(shù)，且最小值為弓9D.非奇非偶函數(shù)，且最大值為一9

oO

【答案】C

22

【解析】/(-^)=sinx-cos2x=sinx-(l-2sinjr)=2sinx+sinx-1其定義域為Rz

/(-x)=2sin2(-x)+sin(-x)-l=2sin2x-sinx-1,故函數(shù)/(%)為非奇非偶函數(shù),

々f=sinx,貝。[一1,1],貝!]/(x)=g(r)=2/+-l=2,+；]-1,

易知/KL.=g(-，故選：C.

【變式2-5】(2022.全國高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(xT)(2x+?(Y+-+b),對任意非零

實數(shù)工，均滿足〃x)=d_J則〃-1)的值為；函數(shù)/⑺的最小值為.

9

【答案】0

O

【解析】函數(shù)八制=任刊±嬰i竺坦，因?qū)θ我夥橇銓崝?shù)x,均滿足小)=《一￡|,

則kR,.。，有(1(2'>3加=(-4)(《丁上丑)

廠7~

即(x-l)(2x+l)(x2+ox+/?)=(-x-l)(x-2)(bx2-ax+1),

由等式兩邊展開式最高次項系數(shù)得：4=2,即方=-2,

當(dāng)x=l時，b-a+1^0,解得a=T,經(jīng)檢驗得，a=-l,6=-2,

/(力=4-J對任意非零實數(shù)x成立，

國葉(x-l)(2x+l)(f-x-2)(X2-1)(2X2-3X-2)_11

ISIllU//W=--------------o-------------=-------------7-----------=(x__)12(x——)-3J

XXXX

=2(%--)2-3(x--)=2[(x-1)-2]2-2

xxx48

止1)=。，當(dāng)TG即x=時，f(x).=-1,

所以〃-1)的值為0,函數(shù)/(x)的最小值為

O

【題型3分離常數(shù)法求函數(shù)值域或最值】

【例3】(2022秋?河南鄭州?高三?？茧A段練習(xí))函數(shù)了=黑色的值域是()

A.(y,0]u[4,+e)B.(T,0]U[2,+8)C.[0,4]D.[0,2]

【答案】B

【解析】令cosx=fje-14kpl,，+1令⑵7"5=1?3],

L7VJ2t-l2t-\222r-l

可得”-14-3,0)5(),1],-J—ef-^,-1u[l,+oo),

Z/—1V3

u,故y€（3,o]32,E）.故選：B.

ZZ.I—L\乙Z.）

【變式3-1】(2022秋.上海徭匚?高三上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí))函數(shù)/(力=\；:

的值域為.

【答案】S，-2)U(-2,1)U(1,M)

【解析】由X2+3X+2*0,可得XH-1且--2,函數(shù)“X)的定義域為{小片-1且x"2},

flx\=-7=(xT)(x+l)73

x2+3x+2(x+l)(x+2)x+2x+2'

所以/(x)~2且,

所以函數(shù)/(x)=的值域為(F-2)U(-2,1)U(l,w).

【變式3-2】(2022秋.天津濱海新.高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知

xe(0,3),則),="+；的最小值_____________止匕時x=.

x-JZX

7

【答案】5##3.51

2x-81_2（x-3）-21c21r21

【解析】y==2-------------1------=2-i-----------1------

x—32xx—32xx-32x3-x2x

由2（3-x）+2x=6,

當(dāng)且僅當(dāng)一=：,即x=l時，等號成立.

XJ—X

【變式3-3](2022秋.湖北高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知14x44,則函數(shù)”x)=「弋+；的

XIXI4XI

值域為.

【答案】[14

【解析】因為1&XW4,所以x+l*0,

f(x\=J+x=x(x+I)=____=___1_

322

，，X+X+4X+4(X+1)(Y+4)X+4V+￡,

X

4

令g(x)=x+1,xe[l,4],

由雙勾函數(shù)知，g(x)在。，2)上單調(diào)遞減，在(2,4]上單調(diào)遞增,

所以g(2)=4,g(l)=5,g(4)=5,

所以g(x)e[4,5],所以.

【變式3-4](2023.全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2'+h2-，.

(1)若〃x)在(1，例)是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；

(2)若/3+1<八2,在[2,+8)上恒成立，求實數(shù)Z的取值范圍.

4

【答案】(1)依4;(2)k>-

【解析】(1)/(x)=2'+h2r=2'+/,令f=2",則/(x)=r+：,由xe(l收)可得f>2,

由條件可知丫=，+：在(2,+")是增函數(shù)

當(dāng)％40時，結(jié)論顯然成立；當(dāng)％>0時,則灰42,.\0<*<4.

綜上，%的取值范圍為&W4.

(2)由〃x)+l<h2*可得2，+h2-*+1<公2',

因為xw[2,e),所以2-2-x>0,所以心蕓7,

2.—2

r2

72+1_r+1_r+/_t_11

令”21則此4「>一=廣=尸7=力=1+匚1,

I—

t

因為,所以0<匕4；,<,1<1+7^7-^,

I—\J1—1J

所以女的范圍是

【題型4判別式法求函數(shù)值域或最值】

【例4】(2022秋.浙江寧波.高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期中)函數(shù)〃力=三號」的值域是______

31

【答案】

【解析】由題知函數(shù)的定義域為R,

所以，將八式中整理得(i+y)d-x+y+i=O,

X+1

所以，當(dāng)尸-1時,x=o;

、“,(A=l-4(y+l)2>0ER「3九/,I

當(dāng))，W-l1n時，j丫｝，解得

所以，八W，即函數(shù)/(x)=二-i的值域是

【變式4-1](2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/XX)=：+3的最大值為a,最小值為。，則

X+1

a+b=()

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】設(shè)y=",yx2+y=3x2+x+3,(y-3)x2-x+y-3=0,

x~+1

x=o時，y=3,

5757

"3時,因為xeR,所以△=1-4(丫-3)220,解得54y町,即54y肛且k3,

綜上57工，最大值7是T，最小值S是9，和為6.故選：B.

【變式4-2】(2023?全國高三專題練習(xí))函數(shù)小)=辛三三的最大值與最小值的和是()

X+X+1

A.-5B.：?C.1D.--2

【答案】B

【解析】設(shè)尸口，則有(T-lA+(y+l)x+y+l=0,

X-+X+1

當(dāng)y=i時，代入原式，解得4-1.

當(dāng)"1時，△=(y+l)2-4(y-l)(y+l)=(y+l)(-3y+5),

由ANO,解得-14/；,于是)?的最大值為:，最小值為-】，

所以函數(shù)〃x)的最大值與最小值的和為|,故選：B.

【變式4-3】（2022?全國高三專題練習(xí)）函數(shù)產(chǎn)包沖凹的值域為______.

1+sin-x

【答案】

sin2x+2sinxcosxtan2x+2tanx則書

【解析】由題可得，y=令tanx=/

cos2x+2sin2x1+2tan2x

gP(2y-l)t2-2t+y=0,當(dāng)2y-l=0,即y時,f=：；

當(dāng)2y-lx0,即yr；時，要使方程有解，

貝!J需公=4—4y（2y—l）W0，得蚱卜/；）］；/

綜上,ye-p1

【變式4-4】(2021?全國?高三專題練習(xí))求函數(shù))，=Jd-2x+5+Jd-4X+13的最小值.

【答案】標(biāo).

【解析】解法一：:函數(shù))，=&-2丁+5+&-4人+13=5/(1)2+4+"(*-2)2+9的定義域為一切實

數(shù).y-^Jx2-2x+5=yjx2-4x+13.①

又y-y]x2-2x+5>0,BPV>yjx2-2x+5=^/(x-1)2+4>2,

對①式兩邊平方，《導(dǎo)y2--2x+5+X2-2x+5=x?-4x+13.

整理，得y2-8+2x=2yJx2-2x+59

對②式兩邊平方，得(丁-8丫+4》(產(chǎn)-8)+4d=4y2(f-2x+5),

再整理，得(4/一4卜2一(12/一32卜-了4+36/-64=0地

V4/-4>0，關(guān)為實數(shù)，.?.△=(12y2—32)2-4(4y2—4)(-y*+36y2_64”0,

化簡并整理，得28寸+52丁之0,

即)3(/-28/+52)>0?/(y2-2)(/-26)>0,

又y>2(,-./>26,y>y[26,

當(dāng)丫=舊時，方程③為100x2—280x+196=0,即25/—70x+49=0,

解得x,故函數(shù)的最小值為莊.

解法二：y=&一2丁+5+&-以+13=近-if+2、+J(x-2>+32

令尸(x,0),A(l,2)f8(2,3),則y=|AP|+18Pl

點A關(guān)于x軸的對稱點為顏,-2).

則%面=1API+13PRAP|+18PH4回=V26

(其中運(yùn)用三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)且僅當(dāng)A'、P、B三點共線時取“等號”).

【題型5逐層法求函數(shù)值域或最值】

【例5】(2022秋.江西宜春?高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知幕函數(shù)"x)=x"的圖象過

點(9,3),則函數(shù)丫=tf在區(qū)間[1,9]上的值域為()

13

A.[-1,0]B.[-j,0]C.[0,2]D.[--,1]

【答案】B

【解析】解法一：因為幕函數(shù)“幻=/的圖象過點(9,3),所以9。=3,可得,

1-/(x)12—(>/x+1)2

所以/。)=五

/(?￥)+1\[x+1\/"X4-1\[x+1

21

因為,所以2K五+1K4,故丁=耳77一1￡［一展。

因此，函數(shù)尸7名在區(qū)間［1⑼上的值域為一；，°.故選：B.

JI人J十】L乙_

解法二：因為事函數(shù)〃幻=￡的圖象過點(9,3),所以9"=3,可得”;，

所以f(x)=4.因為以［1,9］,所以八x)e［l,3］.因為好「黑,

1—y1—y1

所以“幻=才，所以,解得《“40,

即函數(shù)八宗當(dāng)在區(qū)間口⑼上的值域為1；，。］.故選：B.

JI町十1Lz_

【變式5-11(2022春?江蘇南京?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知函數(shù)

〃x)=sin(嗚)+sin(*x),g(x)=/(〃x)),則g(x)的最大值為()

3

A.V2B.V3C.yD.2

【答案】B

jr=%m+@c?！?，

【解析】記f=x+g,貝(J/(x)=〃(f)=sinf+sinf+q

22

所以/巾)=6sin,+一石，石],且白，所以〃〃x))最大為技故選：B.

【變式5-2](2021秋?安徽六安金寨縣青山中學(xué)高三開學(xué)考)函數(shù)/(x)=4-2x2=3,xe[0,2]的

最小值--------

【答案】Y

【解析】令片析,xG[0,2],則re[i,4].

原函數(shù)化為g⑺=53=(")2-4,

當(dāng)一時，g(r)有最小值，即〃x)有最小值為-4.

【變式5-3】(2020秋.吉林白城.高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)=,會㈠川，則

4+2+1

函數(shù)/(x)的值域為

H5

【答案】75

，/、_4工+2]+12x2x2

rx+tt-+

【解析】由題得八即二4+2+l4+2+l1,r,

-------rZ十1

2X

設(shè)f=2,,feg,2],g⑺=%,

所以函數(shù)g⑺在g，l]單調(diào)遞減，在口，21單調(diào)遞增，

所以gQ),“M=g(D=2,g(r),“5=g(2)=|.

所以函數(shù)g⑺的值域為⑵孑，

所以/(X)"""=1+~5~=亍，/⑴"“'=1+2+1=3

--b1

2

所以“X)《藍(lán)，|.

【題型6導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)值域或最值】

[例6](2022.陜西寶雞統(tǒng)考一模)函數(shù)y=ln[J),xw[2,4]的值域是_____

7-

【答案】[0,1nl

【解析】由題意，在丫—1[)中，xe[2,4]

；1(.2、xx2+2x2+2八

222

x_2[X)X-2Xx(x--2)/

X

???函數(shù)在［2,4］單調(diào)遞增

/(2)=ln(2-|)=lnl=0,f(4)=ln(4一；)=lng

二函數(shù)片1巾一與,相2,4］的值域是［。,嗎

【變式6-1】(2022秋?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)/(力=段-1|-3欣的最小值為

【答案】2

【解析】令g(x)=x-Inx,貝叱(力=1-=?,令g，(x)=O,解得x=l,

當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)l<x時,g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增；

故g(x)2g⑴=0,貝！Jx—Glnx.

因為lnx4x-l,所以/(x)=|3x-l|-31nx2(3》一1)一3。-1)=2

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，因此心)的最小值為2.

【變式6-2］(2022秋.安徽安慶?高三安慶一中統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=道刁，則“X)在

［-2,0)50,1］上的值域為()

A.卜雙一|口［3,+8)B.C._',。卜(。,3］D.1，+°°^

【答案】D

2t+1

【解析】由題知"X)=同m刁，定義域為(f0)U(0,y),

2一、+12、+l

=/（x）,

-x（2-x-l）GT

??J(x)在定義域上為偶函數(shù).

2工+12A-l+2122、

---------------—1-----------------I_1_-------------

則當(dāng)x>0時,/(6=后刁vAV

x（2-l）-xx（2-l）-x^（2-1）;

1122-2Aln2

——?--------1--------

X卜x（2T）（2-1匕

"'(x)<oJ(尤)在(0,+8)單調(diào)遞減,

??"(x)在定義域上為偶函數(shù),

??J(x)在(-8,0)單調(diào)遞增，

.?J(x)在［-2,0)單調(diào)遞增在(0,1］單調(diào)遞減,

52X+1

I)6八，1)'

故“X)在卜2,0)u(0,l］上的值域為1,+8).故選:D

【變式6-3】(2016遼寧沈陽.東北育才學(xué)校校考三模)已知函數(shù)/"卜呼…丁京地爐段)，

則函數(shù)的最大值與最小值的差是_____.

【答案】/i

【解析】令f=sinx+cosx=&sin(x+?),貝,且sin2x=5_l,

則y=〃x)=eJ#-i),

y=eJr>0在fe［-V2,V2］時恒成立，

故)1)在上為增函數(shù)，

故函數(shù)/(x)的最大值與最小值的差y般川「片(--》-6無

【題型7已知函數(shù)的最值求參數(shù)】

【例7】（2022.浙江杭州?模擬預(yù)測）1的最小值是t,則實數(shù)。的取值范

ax-x+\-ayx>\

圍是（）

【答案】A

【解析】當(dāng)看，1時，4（》）=",令尸（力=0，得x=0,

則〃x）在（-8,0）上單調(diào)遞減，@1）上單調(diào)遞增，

即函數(shù)/（x）在x=0處取得最小值-1,

所以問題轉(zhuǎn)化為底-X+1-.--1在（1,抬）上恒成立，

令g（x）=or2-x+2—a,貝ljg（x）*0在（1,+<?）上恒成立

當(dāng)4,0時，不符合.

當(dāng)a>0時，對稱軸x=^-,貝62a或｛2a

2a[g⑴=a-l+2-aN0=l-4iz（2-?）<0

解得或，8加g,所以“…空，故選：A.

【變式7-1】（2023秋?廣東茂名?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)=*若“X）存在

最小值，貝上的取值范圍為（）

A.[-3,忘]B,[0,V2]C.[-忘，及]u（2，”）D.[0,V2]O（2,4^）

【答案】B

【解析】若…時，=l：：：；>（），"（%=/⑵―；

若。<0時，當(dāng)時，/（x）=l-依單調(diào)遞增，

當(dāng)XfF時，YO,故“X）沒有最小值；

若a>0時，X<a時，〃》）=一依+1單調(diào)遞減，/（x）>/（a）=l-a2,

,、-1,（0<〃<2）

當(dāng)X?"時,/（x）mM=[/_4q+3,（a22），

2

1-￡Z>-11—crQ~—4-ci+3._y_,—,,

若函數(shù)“X）有最小值，需0<a<2或心2，解得。<公夜故選：B

【變式7-2】（2022秋.新疆烏魯木齊.高三烏市八中校考階段練習(xí)）若函數(shù)/（"=§*在區(qū)間

［。』上的最大值為3,則實數(shù)，取

【答案】3

【解析】???函數(shù)/（力=號=2+/

X+1X+1

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

2x+/n

當(dāng)〃>2時，在［0,1］上單調(diào)遞減，最大值為〃0）=加=3；

x+\

2x+m

當(dāng)機(jī)<2時，“X）在［0』上單調(diào)遞增，最大值為〃1）=竽=3,

x+\

即加=4,顯然，片4不合題意,

故實數(shù)〃『3.

【變式7-3】（2022秋.江西高三九江一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=|加+?1|,xe［l,2］,

且的最大值為a+2,則。的取值范圍是（）

B.-I'-：C.-2號D.T'-；

A.-1~2

【答案】A

2

【解析】由題意可知，4+220,即aN-2,且g(l)=a+2,/.Vxe[l,2](|ar+x+l|?a+2,

艮[]—CL-2Wcix~+x+L,a+2.

iO1

?,.Vxe[l,2],-告r領(lǐng)h-占(當(dāng)x=l時也成立)，

r?ai

令〃(、)=—百H，T，2],r(x)=--，xe[l,2]，則%、融令，

x+3

..h(x)=-扃父，且…閔

(x+3/-6(x+3)+10

，由;4（x+3）+*-641,可彳導(dǎo)—2M/2（X）4—1,即初,=—1

又，（"=-+在口，2］上單調(diào)遞增，

，,.故選:A.

【變式7-4］（2022.內(nèi)蒙古赤峰?高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=〃x）是定義域為R的

奇函數(shù)，且當(dāng)“0時，〃力=》+表1.若函數(shù)y"（x）在［1,+句上的最小值為3,則實數(shù)。的值

為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因為y=/（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，/（x）=x+?+l.

當(dāng)X>O時，一x<0,貝!J/（-x）=-x-7+l=-/（x）,

所以當(dāng)x>0時，/（x）="g-l,此時/（x）=l-二

Xx~

當(dāng)問時，?。?1-十0在［1,+8）上恒成立，函數(shù)"X）在U,+紇）上單調(diào)遞增，

當(dāng)X=1時，函數(shù)取得最小值/⑴=1+。-1=3,解得a=3（舍）,

當(dāng)”>1時，xe［l,^］,r（x）<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

二［心詞,八龍）>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

x=6時,函數(shù)取得最小值/（右）=2石-1=3,解得”4,

綜上，公4.故選：D.

【變式7-5】（2022秋.上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知。>0,函數(shù)

，。）7冰-￡+《2x-x2的最大值為友,則實數(shù)”的值為.

【答案】1

［解析】y=\jax-x2+\l2x-x2,:.y-\l2x-x2=\jax-x2,

兩邊平方得：y2-2y^2x-x2+2x-x2=ar-x2,

BPy2+2x-ax=2yd2x-x。,

再平方得：y4+4x2+a2x2+4xy2-2axy2-4ax2=Sxy2-4x2y2,

化簡得：（4/2+4+。2-4〃）%2-（4/+2。/2）牛+;/=°,

當(dāng)4y2+4+/—44=0,即4y2+（〃_2>=0時，a=2,y=0,

此時/（%）=2yl2x-x2=27-（X-1）2+1最大值為2,不符題意.

所以4y?+4+02一4。工0.

因為方程有解，所以△知,

即△=（4）尸+2ay2）2-4y4（4y2+4+/_4a）>0,

化簡得：y242a，因為”0,所以034疝,

又因為丁的最大值為近，所以癡=&,所以"=1.

故答案為：L

[限時檢測

（建議用時：60分鐘）

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/。）=鼻的值域是（）

A.U（1，+<?）B.（-<?,2）C.（-oo,2）U（2,+8）D.

【答案】C

[解析]，。）=二=2（k1）二2=2__L

從而可知函數(shù)/"）=三的值域為（/2）52,+co）.故選：C

2.（2019秋?黑龍江雞西?高三雞西實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=|x-3|-4（lWxW4）的值域為

（）

A.[-4,-2]B.[T-3]C.[-3,4]D,[-3,-2]

【答案】A

【解析】依題意1W4,-2<x-3<l,0<|x-3|<2,-4<|x-3|-4<-2,

所以函數(shù)y=k-3|-40VXV4）的值域為H-2].故選：A

3.（2022?