初中數(shù)學(xué)-1.1.2 等腰三角形（備課件）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊同步備課系列（北師大版）

北師大版

八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)第一章

三角形的證明

1.1.2

等腰三角形

1.1.2

等邊三角形的性質(zhì)與判定（含30°直角三角形的性質(zhì)）小明想制作一個(gè)三角形的相框，他有四根木條長度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計(jì)出幾種形狀的三角形？情景引入等腰三角形等邊三角形一般三角形在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.名稱圖形定義性質(zhì)

判定等腰三角形等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形ABC有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形復(fù)習(xí)回顧思考1如果把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，你能得到什么結(jié)論？結(jié)論

等邊三角形的三條邊都相等，是一種特殊的等腰三角形.所以等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì).新課引入思考2等邊三角形是軸對稱圖形嗎？若是，有幾條對稱軸呢？結(jié)論

等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.ABC思考3等邊三角形的內(nèi)角都相等嗎？為什么？結(jié)論等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都是60°.ABC如圖，∵AB=BC=CA，∴∠A=∠B=∠C（等邊對等角）.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.

等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.幾何語言：如圖，在△ABC中，

AB=BC=AC，

∠A=∠B=∠C=60°.

ABCAB

（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性質(zhì).（2）等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線相互重合，即“三線合一”；每條邊上的中線和高的長度相等，且所在的直線都是等邊三角形的對稱軸.典例分析例

如圖，已知△ABC，△BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD.證明：∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，

∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°.

∵在△ABE和△CBD中，AB=CB，

∠ABE=∠CBD，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）.

∴AE=CD.ABDCE練一練如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，若DE=DB，求CE的長.分析：利用等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的推論，求出∠CDE=∠E，從而將求CE的長轉(zhuǎn)化為求CD的長.ABCDE如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，若DE=DB，求CE的長.E解：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，∴∠ABC=∠ACB=60°，BD為∠ABC的平分線，∴∠DBE=∠ABC=30°.∵DE=DB，

∴∠E=∠DBE=30°.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.∴∠CDE=∠E.∴CD=CE.∵等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),

∴CE=CD=.ABCDE1.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（）A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm2.等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，則等腰三角形的頂角為（）A.30°B.60°C.150°D.30°或150°CD

鞏固練習(xí)3.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分線．求證：DC=2AD.證明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C,∴∠C=30°，∠ABC=60°.又BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°.∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=DC，即DC=2AD.4.如圖所示，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BD至E，使DE=BD，DB⊥BC于B，∠ABC=120°，求證:AB=2BC.證明：∵BD是AC的中線，∴AD=CD.在△ADE和△CDB中，AD=CD，∠ADE=∠CDB，

DE=DB，∴△ADE≌△CDB(SAS).∴∠E=∠CBD=90°，AE=BC.又∠ABC=120°，∴∠ABE=30°.∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.思考1等腰三角形的判定？結(jié)論如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊）.所以這個(gè)三角形是等腰三角形.那么三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等是否可以判定它是等邊三角形，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

等邊三角形的判定如圖：已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C.證明：△ABC是等邊三角形.證明：∵∠A=∠B,∴BC=AC.

∵∠B=∠C,∴AC=AB.

∵BC=AC，AC=AB,

∴AB=BC=AC，則△ABC是等邊三角形.ABC類比探究圖形等腰三角形判定

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個(gè)角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？等邊三角形的判定方法：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.辯一辯：根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是例1如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC,求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE典例精析證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他證法嗎？

證明：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等邊三角形.變式1若點(diǎn)D、E在邊AB、AC的延長線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？ADEBC變式2若點(diǎn)D、E在邊AB、AC的反向延長線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？

證明：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠B=∠D，∠C=∠E．

∴

∠EAD=∠D=∠E．

∴

△ADE是等邊三角形．ADEBC變式3：上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？含30°角的直角三角形的性質(zhì)證法1證明：延長BC到D，使BD=AB，連接AD，則△ABD

是等邊三角形．在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴

BC=AB．

∴

BC=

BD．

證明：在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法證法2EABC知識(shí)要點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

√判斷下列說法是否正確：1）直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半．

2）三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半。

3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

4）直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，CD=8cm，則BC的長度是多少？解：∵CD是斜邊AB邊上的高，

∴∠BDC=90°.

∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8cm，

∴BC=2CD=16cm.BCA└D練一練練一練如圖，一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角為15°，腰長為10cm，求這個(gè)等腰三角形的面積.分析：求面積需要底邊和高的長度，題目已經(jīng)給出腰長，可以選擇作腰上的高，構(gòu)造出含有30°角的直角三角形，即可求出腰上高的長度，進(jìn)而求出等腰三角形的面積.ABC練一練如圖，一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角為15°，腰長為10cm，求這個(gè)等腰三角形的面積.ABC解：過點(diǎn)C作AB邊上的高，交BA的延長線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=30°.∵AB=AC=10cm，CD⊥AB，∠DAC=30°，

∴CD=AC=5cm.∴S△ABC=AB×CD=25cm2.1.等邊三角形是____________________的等腰三角形.2.等邊△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點(diǎn)I，則∠BIC等于（）A.60° B.90°C.120°D.150°三邊都相等C課堂練習(xí)3.下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形，其中是等邊三角形的有（）A.①②③ B.①②④C.①③ D