經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分第一篇-函數(shù)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分第一篇--函數(shù)匯報(bào)人：AA2024-01-24函數(shù)概念與性質(zhì)一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)初步知識(shí)微積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用舉例目錄01函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)定義及表示方法函數(shù)定義設(shè)$x$和$y$是兩個(gè)變量，$D$是實(shí)數(shù)集$R$的某個(gè)子集，若對(duì)于$D$中的每一個(gè)數(shù)$x$，變量$y$按照一定的法則總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$，其中$x$稱為自變量，$y$稱為因變量，$D$稱為函數(shù)的定義域。解析法用含有數(shù)學(xué)表達(dá)式的等式來(lái)表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做解析法。表格法用列表的方法來(lái)表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法叫做表格法。圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，用圖象來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)包括有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等。如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的值域是有界的，則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是有界的。如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨著自變量的增加而增加（或減少），則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的（或減少的）。如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，則稱該函數(shù)是奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)$x$，都有$f(-x)=f(x)$，則稱該函數(shù)是偶函數(shù)。如果存在一個(gè)正數(shù)$T$，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，則稱該函數(shù)是周期函數(shù)，且$T$是該函數(shù)的周期。有界性奇偶性周期性單調(diào)性函數(shù)性質(zhì)與分類反函數(shù)設(shè)函數(shù)$y=f(x)$的定義域是$D$，值域是$A$。如果對(duì)于值域$A$中的每一個(gè)數(shù)$y$，在定義域$D$中總存在唯一確定的數(shù)$x$，使得等式$y=f(x)$成立，那么稱函數(shù)$f:DtoA$為可逆的，并稱這個(gè)唯一確定的對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)$f$的反函數(shù)，記作$f^{-1}$。復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)$y=f(u)$的定義域?yàn)?D_u$，值域?yàn)?M_u$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域?yàn)?D_x$，值域?yàn)?M_x$，且使$M_xcapD_unevarnothing$。那么對(duì)于所有使上述兩個(gè)函數(shù)有意義且滿足上述條件的自變量$x$的集合，叫做復(fù)合函數(shù)的定義域。記作：$(gcircf)(x)=g(f(x))$或者$varphi(x)=g(f(x))$。反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)02一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算通過求極限的方式計(jì)算導(dǎo)數(shù)，包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的更高階變化率。導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算微分的定義微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部線性逼近，即函數(shù)的微小變化量。微分的計(jì)算通過求導(dǎo)數(shù)和乘以自變量的微分來(lái)計(jì)算函數(shù)的微分，包括基本初等函數(shù)的微分公式和微分的四則運(yùn)算法則。微分的應(yīng)用微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中廣泛應(yīng)用于邊際分析和彈性分析等領(lǐng)域。微分概念及其計(jì)算微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，揭示了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的整體性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，如邊際分析、彈性分析、最優(yōu)化問題等。通過求導(dǎo)數(shù)可以找到函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性。03一元函數(shù)積分學(xué)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得F'(x)=f(x)對(duì)任意x∈I都成立，則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，并稱∫f(x)dx=F(x)+C（C為任意常數(shù)）為f(x)的不定積分。不定積分的定義不定積分具有線性性質(zhì)，即∫[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx；同時(shí)，不定積分還具有區(qū)間可加性，即∫f(x)dx(從a到b)=∫f(x)dx(從a到c)+∫f(x)dx(從c到b)。不定積分的性質(zhì)不定積分概念及性質(zhì)VS設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，如果對(duì)于任意分割T:a=x0<x1<...<xn=b，以及任意點(diǎn)集{ξi}∈[xi-1,xi]，都有l(wèi)im|T|→0∑f(ξi)*Δxi存在且唯一，則稱該極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作∫f(x)dx(從a到b)。定積分的性質(zhì)定積分具有線性性質(zhì)，即∫[a*f(x)+b*g(x)]dx(從a到b)=a*∫f(x)dx(從a到b)+b*∫g(x)dx(從a到b)；同時(shí)，定積分還具有區(qū)間可加性，即∫f(x)dx(從a到b)=∫f(x)dx(從a到c)+∫f(x)dx(從c到b)；此外，定積分還具有保號(hào)性、絕對(duì)值不等式性質(zhì)等。定積分的定義定積分概念及性質(zhì)積分計(jì)算的基本方法包括換元法、分部積分法等。換元法是通過變量代換簡(jiǎn)化被積函數(shù)的形式，從而便于求解；分部積分法則是將復(fù)雜的被積函數(shù)拆分成多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的乘積形式進(jìn)行求解。積分在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算總收益、總成本、平均收益、平均成本等。例如，在求解總收益時(shí)，可以通過對(duì)收益函數(shù)進(jìn)行定積分得到；在求解平均收益時(shí)，可以通過總收益除以總銷售量得到。此外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還經(jīng)常使用積分來(lái)描述邊際效用、消費(fèi)者剩余等概念。積分計(jì)算方法積分應(yīng)用舉例積分計(jì)算與應(yīng)用舉例04多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)概念及性質(zhì)設(shè)D為一個(gè)非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則。若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對(duì)應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。多元函數(shù)定義包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。這些性質(zhì)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如需求函數(shù)、供給函數(shù)等。多元函數(shù)的性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)中，一個(gè)變量變化而其他變量保持不變時(shí)，函數(shù)值的變化率。偏導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一坐標(biāo)軸方向的變化率。全微分多元函數(shù)在某一點(diǎn)處的全增量可以表示為各偏導(dǎo)數(shù)與對(duì)應(yīng)自變量增量的乘積之和，即全微分。全微分描述了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的全局變化。偏導(dǎo)數(shù)與全微分在函數(shù)的某個(gè)鄰域內(nèi)，若函數(shù)值大于或小于該點(diǎn)的函數(shù)值，則該點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)。極值反映了函數(shù)在局部范圍內(nèi)的最大或最小值。多元函數(shù)的極值在函數(shù)的定義域內(nèi)，若函數(shù)值大于或小于所有其他點(diǎn)的函數(shù)值，則該點(diǎn)為函數(shù)的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)。最值反映了函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的最大或最小值。多元函數(shù)的最值多元函數(shù)極值與最值05無(wú)窮級(jí)數(shù)初步知識(shí)通過比較級(jí)數(shù)與已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)，判斷其收斂性。比較判別法利用級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比的極限值來(lái)判斷級(jí)數(shù)收斂性。比值判別法通過求級(jí)數(shù)各項(xiàng)的n次方根的極限值來(lái)判斷級(jí)數(shù)收斂性。根值判別法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法冪級(jí)數(shù)展開將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)形式，便于分析和計(jì)算。要點(diǎn)一要點(diǎn)二收斂域判斷通過求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間，確定冪級(jí)數(shù)的收斂域。冪級(jí)數(shù)展開與收斂域判斷123將周期函數(shù)展開成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)的概念具有正交性、周期性、收斂性等性質(zhì)，便于分析和計(jì)算。傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)在信號(hào)處理、圖像處理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如頻譜分析、濾波等。傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介06微積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用舉例邊際分析利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量之間的邊際關(guān)系，如邊際成本、邊際收益等，為經(jīng)濟(jì)決策提供量化依據(jù)。彈性分析通過計(jì)算彈性系數(shù)，衡量一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的敏感程度，如價(jià)格彈性、需求彈性等。邊際分析與彈性分析一階導(dǎo)數(shù)法通過求解一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，找到函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定最優(yōu)解。二階導(dǎo)數(shù)法利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性，結(jié)合一階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最大值或最小值。拉格朗日乘數(shù)法在約束條件下求解最優(yōu)化問題，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)并求解其極值點(diǎn)，得到最優(yōu)解。最優(yōu)化問