新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2隨機(jī)變量4.2.1隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第二冊

4．2隨機(jī)變量4．2.1隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系[課標(biāo)解讀]1.通過具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概念.2.引導(dǎo)學(xué)生通過具體實(shí)例，理解可以用隨機(jī)變量更好地刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，感悟隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系.3.理解離散型隨機(jī)變量在描述隨機(jī)現(xiàn)象中的作用．【教材要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)變量的概念1．定義：一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都對應(yīng)有唯一確定的實(shí)數(shù)值，就稱X為一個(gè)隨機(jī)變量．2．表示：隨機(jī)變量常用大寫字母________，________，Z…或小寫希臘字母ξ，ζ，η…表示．3．隨機(jī)變量的取值范圍：隨機(jī)變量所有可能的取值組成的集合，稱為這個(gè)隨機(jī)變量的取值范圍．4．隨機(jī)變量的取值與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的關(guān)系：隨機(jī)變量每取一個(gè)確定的值對應(yīng)著試驗(yàn)的不同結(jié)果，試驗(yàn)的結(jié)果對應(yīng)著隨機(jī)變量的值，即隨機(jī)變量的取值由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果決定．5．隨機(jī)變量的分類：(1)離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的所有可能取值可以一一列舉出來．(2)連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值范圍包含一個(gè)區(qū)間，不能一一列舉出來．知識(shí)點(diǎn)二用隨機(jī)變量表示事件一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是任意實(shí)數(shù)，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：(1)當(dāng)a≠b時(shí)，事件X＝a與X＝b互斥；(2)事件X≤a與X>a相互對立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.狀元隨筆用隨機(jī)變量表示事件與事件的概率時(shí)，有時(shí)可不寫出樣本空間．知識(shí)點(diǎn)三隨機(jī)變量之間的關(guān)系一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是實(shí)數(shù)且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個(gè)隨機(jī)變量．由于X＝t的充要條件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b).【基礎(chǔ)自測】1．辨析記憶(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)隨機(jī)變量的取值只能是有限個(gè)．()(2)試驗(yàn)之前不能判斷離散型隨機(jī)變量的所有值．()(3)隨機(jī)變量是用來表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量．()2．在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”是一個(gè)隨機(jī)變量，它有________個(gè)取值()A．2B．4C．6D．73．袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X所有可能取值的個(gè)數(shù)是________．4．甲進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為12，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為________題型1隨機(jī)變量的概念例1下列變量中，不是隨機(jī)變量的是()A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時(shí)的溫度C．拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和D．某電話總機(jī)在時(shí)間區(qū)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)方法歸納隨機(jī)變量的辨析方法1．隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有可變性，即每次試驗(yàn)對應(yīng)的結(jié)果不盡相同．2．隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有確定性，即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對應(yīng)的變量具有以上兩點(diǎn)，則該變量即為隨機(jī)變量．跟蹤訓(xùn)練110件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是()A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率題型2離散型隨機(jī)變量的判定例2①某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X；②某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X；③體積為1000cm3的球的半徑長；④一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它離原點(diǎn)的距離記為X.其中是離散型隨機(jī)變量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④【方法歸納】“三步法”判定離散型隨機(jī)變量1．依據(jù)具體情境分析變量是否為隨機(jī)變量．2．由條件求解隨機(jī)變量的值域．3．判斷變量的取值能否被一一列舉出來，若能，則是離散型隨機(jī)變量；否則，不是離散型隨機(jī)變量．跟蹤訓(xùn)練2下列問題中的X不是離散型隨機(jī)變量的是()A．某座大橋一天經(jīng)過的中華轎車的車輛數(shù)XB．某網(wǎng)站中歌曲《愛我中華》一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)XC．一天內(nèi)的溫度XD．射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分題型3隨機(jī)變量的可能取值與事件的對應(yīng)關(guān)系【思考探究】1．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果．這種試驗(yàn)結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？[提示]可以．用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上．2．在一塊地里種10棵樹苗，設(shè)成活的樹苗數(shù)為X，則X可取哪些數(shù)字？[提示]X＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為ξ，則“ξ≥4”表示的隨機(jī)事件是什么？[提示]“ξ≥4”表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)．例3寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值和所表示的事件．(1)袋中有大小相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任取1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)；(2)從標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)eq\x(\a\al(分析,題意))→eq\x(\a\al(寫出X可,能取的值))→eq\x(\a\al(分別寫出取值,所表示的結(jié)果))方法歸納用隨機(jī)變量表示事件問題的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個(gè)值時(shí)對應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能對應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(2)注意點(diǎn)：解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練3寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)在2018年北京大學(xué)的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；(2)射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射手在一次射擊中的得分用ξ表示．題型4隨機(jī)變量之間的關(guān)系例4袋中有4個(gè)紅球、3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，若取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球．(1)設(shè)取得紅球個(gè)數(shù)為X，求X的所有取值；(2)設(shè)得分為Y，寫出X與Y之間的關(guān)系式．方法歸納先求隨機(jī)變量X的取值及相應(yīng)概率，再求隨機(jī)變量X與Y的關(guān)系(Y＝at＋b，a，b為常數(shù)).跟蹤訓(xùn)練4在一次比賽中需回答三個(gè)問題，比賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．(1)設(shè)選手甲正確回答這三個(gè)問題的個(gè)數(shù)為X，則X的取值是多少？(2)選手甲回答這三個(gè)問題的總得分Y的所有可能取值是多少？(3)若P(X>1)＝0.6，求P(Y≤－100).4．2隨機(jī)變量4．2.1隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一XY[基礎(chǔ)自測]1．解析：(1)隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)．(2)試驗(yàn)之前可以判斷離散型隨機(jī)變量的所有值．答案：(1)×(2)×(3)√2．解析：因?yàn)閿S一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，所有可能結(jié)果有6個(gè)，故“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”這一隨機(jī)變量的取值為6個(gè)．答案：C3．解析：由于抽球是在有放回條件下進(jìn)行的，所以每次抽取的球號(hào)均可能是1，2，3，4，5中某個(gè)．故兩次抽取球號(hào)碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種．答案：94．解析：甲可能在3次射擊中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．答案：0，1，2，3課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：B項(xiàng)中水沸騰時(shí)的溫度是一個(gè)確定值．答案：B跟蹤訓(xùn)練1解析：A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，B，D也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0，1，2，是隨機(jī)變量．答案：C例2解析：①②中變量X所有可能的取值是可以一一列舉出來的，是離散型隨機(jī)變量，而③不是隨機(jī)變量，④中的結(jié)果不能一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量．答案：A跟蹤訓(xùn)練2解析：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概念，ABD選項(xiàng)是離散型隨機(jī)變量．答案：C例3解析：(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X，則X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前i－1次取到紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，…，11.(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字和為X，則X＝3，4，5，…，11.X＝3，表示“取出標(biāo)有1，2的兩張卡片”；X＝4，表示“取出標(biāo)有1，3的兩張卡片”；X＝5，表示“取出標(biāo)有2，3或標(biāo)有1，4的兩張卡片”；X＝6，表示“取出標(biāo)有2，4或1，5的兩張卡片”；X＝7，表示“取出標(biāo)有3，4或2，5或1，6的兩張卡片”；X＝8，表示“取出標(biāo)有2，6或3，5的兩張卡片”；X＝9，表示“取出標(biāo)有3，6或4，5的兩張卡片”；X＝10，表示“取出標(biāo)有4，6的兩張卡片”；X＝11，表示“取出標(biāo)有5，6的兩張卡片”．跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)X可能取值0，1，2，3，4，5，X＝i表示面試通過的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5.(2)ξ可能取值為0，1，當(dāng)ξ＝0時(shí)，表明該射手在本次射擊中沒有擊中目標(biāo)；當(dāng)ξ＝1時(shí)，表明該射手在本次射擊中擊中目標(biāo)．例4解析：(1)設(shè)取得紅球個(gè)數(shù)為X，求X的所有取值為1，2