上海市曹楊第二中學2024屆數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題含解析

上海市曹楊第二中學2024屆數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題p:?x∈Ν，x3<x2；命題q:?a∈0,1A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真2．若復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi),對應的點的坐標是（）A． B． C． D．3．設函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．某導彈發(fā)射的事故率為0.001，若發(fā)射10次，記出事故的次數(shù)為，則（）A．0.0999 B．0.001 C．0.01 D．0.009995．設集合，集合，則（）A． B． C． D．6．某單位為了解用電量（度）與氣溫（℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某天的用電量與當天氣溫，并制作了統(tǒng)計表：由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，那么表中的值為（）氣溫（℃）181310-1用電量（度）243464A． B． C． D．7．已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（）個A．1 B．2 C．3 D．48．某所學校在一個學期的開支分布的餅圖如圖1所示，在該學期的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該學期的電費開支占總開支的百分比為（）．A． B． C． D．9．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)圖象經(jīng)過點，則該函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．11．若，則的展開式中常數(shù)項為A．8 B．16 C．24 D．6012．函數(shù)f(x)=13ax3A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>2 D．a(chǎn)≥2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正四棱柱的底面邊長為4，記，，若，則此棱柱的體積為______．14．若曲線在點處的切線斜率為1，則該切線方程為__________．15．已知函數(shù)若方程恰有三個不同的實數(shù)解..，則的取值范圍是__________.16．在中，角所對的邊分別為，已知，且的面積為，則的周長為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調(diào)查研究.采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折.已知某商品原價50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學期望.18．（12分）如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）當時,證明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.19．（12分）如圖，在四棱錐中，是棱PD的中點，且.（1）求證：CD∥平面ABE；（2）求證：平面ABE丄平面PCD.20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范圍．21．（12分）已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：∵x3<x2，∴x2∵loga(2-1)=loga1=0考點：命題的真假．2、C【解題分析】試題分析：由，可得，∴z對應的點的坐標為（4，－2），故選C．考點：考查了復數(shù)的運算和復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關(guān)系．點評：解本題的關(guān)鍵是根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z，然后利用復數(shù)z所對應的點的橫坐標和縱坐標分別為為復數(shù)的實部和虛部，得出對應點的坐標．3、D【解題分析】令,則，設，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。4、D【解題分析】

根據(jù)題意服從二項分布，由公式可得求得。【題目詳解】由于每次發(fā)射導彈是相互獨立的，且重復了10次，所以可以認為是10次獨立重復試驗，故服從二項分布，.故選D.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的方差，由服從二項分布的方差公式可直接求出。5、B【解題分析】

求解出集合，根據(jù)并集的定義求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查集合運算中的并集運算，屬于基礎題.6、C【解題分析】

由表中數(shù)據(jù)計算可得樣本中心點，根據(jù)回歸方程經(jīng)過樣本中心點，代入即可求得的值.【題目詳解】由表格可知，，根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心點，代入回歸方程可得，解得，故選：C.【題目點撥】本題考查了線性回歸方程的簡單應用，由回歸方程求數(shù)據(jù)中的參數(shù)，屬于基礎題.7、B【解題分析】畫出函數(shù)的圖像如圖，由可得，則問題化為函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點的個數(shù)問題。結(jié)合圖像可以看出兩函數(shù)圖像的交點只有兩個，應選答案B。點睛：解答本題的關(guān)鍵是依據(jù)題設條件，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖像，借助圖像的直觀將方程的解的個數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點的個數(shù)問題，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想的靈活運用。8、B【解題分析】

結(jié)合圖表，通過計算可得：該學期的電費開支占總開支的百分比為×20%=11.25%，得解．【題目詳解】由圖1，圖2可知：該學期的電費開支占總開支的百分比為×20%=11.25%，故選B．【題目點撥】本題考查了識圖能力及進行簡單的合情推理，屬簡單題．9、C【解題分析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【題目詳解】故選C．【題目點撥】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．10、C【解題分析】

首先把點帶入求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸即可．【題目詳解】把點帶入得，因為，所以，所以，函數(shù)的對稱軸為．當，所以選擇C【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，需要記憶?？既呛瘮?shù)的性質(zhì)有：單調(diào)性、周期性、對稱軸、對稱中心、奇偶性等．屬于中等題．11、C【解題分析】因為所以的通項公式為令，即∴二項式展開式中常數(shù)項是，故選C.12、D【解題分析】

根據(jù)fx單調(diào)遞增可知f'x≥0在1,2【題目詳解】由題意得：ffx在1,2上單調(diào)遞增等價于：f'x即：ax2當x∈1,2時，2x本題正確選項：D【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為恒成立問題，從而利用分離變量的方式來進行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

建立空間直角坐標系，設出直四棱柱的高h，求出的坐標，由數(shù)量積為0求得h，則棱柱的體積可求．【題目詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，設，又，則，，，，，，，，即．此棱柱的體積為．故答案為．【題目點撥】本題考查棱柱體積的求法，考查利用空間向量解決線線垂直問題，是中檔題．14、【解題分析】

求得函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得切點的橫坐標，進而得到切點坐標，由點斜式方程可得切線的方程．【題目詳解】的導數(shù)為，在點處的切線斜率為1，可得，所以，切點縱坐標為：，可得切點為，即有切線的方程為，即為．故答案為．【題目點撥】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，正確求導和運用點斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題．15、【解題分析】

通過作出函數(shù)圖像，將三個實數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為三個交點問題，可得m的取值范圍，于是再解出c的取值范圍可得最后結(jié)果.【題目詳解】作出函數(shù)圖像，由圖可知，恰有三個不同的實數(shù)解，于是，而，，解得，故，所以的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)圖像的運用，分段函數(shù)的交點問題，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，圖像識別能力，對學生的數(shù)形結(jié)合思想要求較高.16、【解題分析】

由正弦定理和已知，可以求出角的大小，進而可以求出的值，結(jié)合面積公式和余弦定理可以求出的值，最后求出周長.【題目詳解】解:由正弦定理及得，，，，又，，，由余弦定理得，.又，，，，的周長為.【題目點撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式，考查了數(shù)學運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）440【解題分析】

（1）先計算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個概率，求得至少有人的年齡低于歲的概率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數(shù)”滿足二項分布，求得銷售額的表達式，然后利用期望計算公式，計算出銷售額的期望.【題目詳解】（1）設事件表示至少有1人的年齡低于45歲，則.（2）由題意知，以手機支付作為首選支付方式的概率為.設表示銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數(shù)，則，設表示銷售額，則，所以銷售額的數(shù)學期望（元）.【題目點撥】本小題主要考查利用對立事件來計算古典概型概率問題，考查二項分布的識別和期望的計算，考查隨機變量線性運算后的數(shù)學期望的計算.18、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解題分析】試題分析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，則，平面，，結(jié)合勾股定理可得，則平面，平面平面.（Ⅱ）由幾何關(guān)系，以為軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面的法向量，平面的法向量.計算可得平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，，又，平面，利用勾股定理得，同理可得.在中，平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）連結(jié)，，，，又四邊形為長方形，.取中點為，得∥，連結(jié)，其中，，由以上證明可知互相垂直，不妨以為軸建立空間直角坐標系.，，設是平面的法向量，則有即，令得設是平面的法向量，則有即令得.則所以平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.19、(1)見解析；（2）見解析.【解題分析】

(1)要證CD∥平面ABE，只需說明即可；（2）要證平面ABE丄平面PCD，只需證明平面CDP即可.【題目詳解】（1）證明：根據(jù)題意，,故CD∥平面ABE；（2）證明：由于是棱PD的中點，故，而，，因此，顯然，故平面CDP，而平面ABE，平面ABE丄平面PCD.【題目點撥】本題主要考查線面平行，面面垂直的判定，意在考查學生的空間想象能力和分析能力，難度不大.20、（1）；（2）【解題分析】

將函數(shù)寫出分段函數(shù)形式，再分段解不等式。不等式的解集非空即?！绢}目詳解】(1)或或無解或或或原不等式的解集為(2)若要的解集非空只要即可故的取值范圍為【題目點撥】本題考查含絕對值的不等式，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于基礎題。21、解（1）；（2）或.【解題分析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、的方程組，求出、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長公式可得，化簡得.原點到直線的距離為，的面積，當最大時，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，當軸時，，則為橢圓的短軸，故有，，三點共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設直線的方程為，點，點，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡得.因為，所以有且.原點到直線的距離為，的面積，所以當最大時，的面積最大.因為，而，所以當時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【題目點撥】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出從而寫出橢圓的標準方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉