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文檔簡介
山東省濰坊市昌樂縣2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知中,,則滿足此條件的三角形的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)個2.下列函數(shù)既是偶函數(shù),又在上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.3.設(shè)p:實數(shù)x,y滿足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:實數(shù)x,y滿足則p是q的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.在正方體中,過對角線的一個平面交于,交于得四邊形,則下列結(jié)論正確的是()A.四邊形一定為菱形B.四邊形在底面內(nèi)的投影不一定是正方形C.四邊形所在平面不可能垂直于平面D.四邊形不可能為梯形5.已知復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位),則A. B. C. D.6.某大學(xué)中文系共有本科生5000人,期中一、二、三、四年級的學(xué)生比為5:4:3:1,要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本,則應(yīng)抽二年級的學(xué)生A.100人 B.60人 C.80人 D.20人7.拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B. C. D.8.下面給出了四種類比推理:①由實數(shù)運算中的類比得到向量運算中的;②由實數(shù)運算中的類比得到向量運算中的;③由向量的性質(zhì)類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì);④由向量加法的幾何意義類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義;其中結(jié)論正確的是A.①② B.③④ C.②③ D.①④9.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體各面中直角三角形的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.510.在長方形中,為的中點,為的中點,設(shè)則()A. B. C. D.11.已知是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是A.,則B.,則C.,則D.,則12.已知向量滿足,且,則的夾角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)x,y滿足不等式組,則的最大值是__________.14.已知直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€:,則直線的方程為__________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點是橢圓:上第一象限的點,為坐標(biāo)原點,,分別為橢圓的右頂點和上頂點,則四邊形的面積的最大值為__________.16.已知,若(),則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)平面四邊形中,,為等邊三角形,現(xiàn)將沿翻折得到四面體,點分別為的中點.(Ⅰ)求證:四邊形為矩形;(Ⅱ)當(dāng)平面平面時,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點處與直線相切,求的值;(2)在(1)的條件下求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點.19.(12分)已知函數(shù)在點M(1,1)處的切線方程為.(1)求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.20.(12分)為了了解甲、乙兩校學(xué)生自主招生通過情況,從甲校抽取51人,從乙校抽取41人進(jìn)行分析.通過人數(shù)末通過人數(shù)總計甲校乙校31總計51(1)根據(jù)題目條件完成上面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為自主招生通過情況與學(xué)生所在學(xué)校有關(guān);(2)現(xiàn)已知甲校A,B,C三人在某大學(xué)自主招生中通過的概率分別為,用隨機(jī)變量X表示A,B,C三人在該大學(xué)自主招生中通過的人數(shù),求X的分布列及期望E(X).參考公式:.參考數(shù)據(jù):1.141.111.141.1241.111.1141.1112.1622.6153.8414.1245.5346.86911.82821.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以原點O為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為:.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)時,設(shè)直線與曲線C相交于A,B兩點,,求.22.(10分)設(shè)函數(shù),.(1)若函數(shù)f(x)在處有極值,求函數(shù)f(x)的最大值;(2)是否存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的不等式在上恒成立?若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說明理由;
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由正弦定理得即即,所以符合條件的A有兩個,故三角形有2個故選C點睛:此題考查學(xué)生靈活運用正弦定理化簡求值,掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),會根據(jù)三角函數(shù)值求對應(yīng)的角.2、B【解題分析】
通過對每一個選項進(jìn)行判斷得出答案.【題目詳解】對于選項:函數(shù)在既不是偶函數(shù)也不是減函數(shù),故排除;對于選項:函數(shù)既是偶函數(shù),又在是減函數(shù);對于選項:函數(shù)在是奇函數(shù)且增函數(shù),故排除;對于選項:函數(shù)在是偶函數(shù)且增函數(shù),故排除;故選:B【題目點撥】本題考查了函數(shù)的增減性以及奇偶性的判斷,屬于較易題.3、A【解題分析】試題分析:畫圓:(x–1)2+(y–1)2=2,如圖所示,則(x–1)2+(y–1)2≤2表示圓及其內(nèi)部,設(shè)該區(qū)域為M.畫出表示的可行域,如圖中陰影部分所示,設(shè)該區(qū)域為N.可知N在M內(nèi),則p是q的必要不充分條件.故選A.【考點】充要條件的判斷,線性規(guī)劃【名師點睛】本題考查充分性與必要性的判斷問題,首先是分清條件和結(jié)論,然后考察條件推結(jié)論,結(jié)論推條件是否成立.這類問題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合.本題的條件與結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的關(guān)系,利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得出結(jié)論.4、D【解題分析】對于A,當(dāng)與兩條棱上的交點都是中點時,四邊形為菱形,故A錯誤;對于B,四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形,故B錯誤;對于C,當(dāng)兩條棱上的交點是中點時,四邊形垂直于平面,故C錯誤;對于D,四邊形一定為平行四邊形,故D正確.故選:D5、B【解題分析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)的模計算即可.詳解:,則.故選:B.點睛:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.6、C【解題分析】
要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本,
則應(yīng)抽二年級的學(xué)生人數(shù)為:
(人).
故答案為80.7、D【解題分析】
化簡拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,然后求解準(zhǔn)線方程.【題目詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,準(zhǔn)線方程.故選:D.【題目點撥】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力.8、D【解題分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的定義、復(fù)數(shù)的運算法則來進(jìn)行判斷.【題目詳解】①設(shè)與的夾角為,則,,則成立;②由于向量的數(shù)量積是一個實數(shù),設(shè),,所以,表示與共線的向量,表示與共線的向量,但與不一定共線,不一定成立;③設(shè)復(fù)數(shù),則,是一個復(fù)數(shù),所以不一定成立;④由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可表示的為向量,所以,由向量加法的幾何意義類比可得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義,這個類比是正確的.故選D.【題目點撥】本題考查數(shù)與向量、向量與復(fù)數(shù)之間的類比推理,在解這類問題時,除了考查條件的相似性之外,還要注意定義的理解,考查邏輯推理能力,屬于中等題.9、C【解題分析】把三視圖還原為原幾何體為一個四棱錐,底面是邊長為3的正方形,側(cè)棱底面ABCD,四個側(cè)面均為直角三角形,則此幾何體各面中直角三角形的個數(shù)是4個,選C.10、A【解題分析】
由平面向量線性運算及平面向量基本定理,即可化簡,得到答案.【題目詳解】如圖所示,由平面向量線性運算及平面向量基本定理可得:.【題目點撥】本題主要考查了平面向量的線性運算,以及平面向量的基本定理的應(yīng)用,其中解答中熟記向量的運算法則和平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】
根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理依次判斷各個選項即可.【題目詳解】兩平行平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系為:平行或異面,可知錯誤;且,此時或,可知錯誤;,,,此時或,可知錯誤;兩平行線中一條垂直于一個平面,則另一條必垂直于該平面,正確.本題正確選項:【題目點撥】本題考查空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定,考查學(xué)生對于定理的掌握程度,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】
設(shè)的夾角為,兩邊平方化簡即得解.【題目詳解】設(shè)的夾角為,兩邊平方,得,即,又,所以,則,所以.故選C【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和向量夾角的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、12.【解題分析】分析:畫出不等式組表示的可行域,平移,結(jié)合所畫可行域,可求得的最大值.詳解:作出不等式組表示的平面區(qū)域如陰影部分,分析知,當(dāng)時,平移直線,由圖可得直線經(jīng)過點時,取得最大值,且,故答案為.點睛:本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14、【解題分析】分析:用相關(guān)點法求解,設(shè)直線上的點為直線上的點為,所以,,代入直線的方程詳解:設(shè)直線上的點為直線上的點為,直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下所以:,代入直線的方程整理可得直線的方程為。點睛:理解矩陣的計算規(guī)則和相互之間的轉(zhuǎn)換。15、【解題分析】分析:的面積的最大值當(dāng)?shù)街本€距離最遠(yuǎn)的時候取得。詳解:,當(dāng)?shù)街本€距離最遠(yuǎn)的時候取得的最大值,設(shè)直線,所以,故的最大值為。點睛:分析題意,找到面積隨到直線距離的改變而改變,建立面積與到直線距離的函數(shù)表達(dá)式,利用橢圓的參數(shù)方程求解距離的最值。本題還可以用幾何法分析與直線平行的直線與橢圓相切時,為切點,到直線距離最大。16、63【解題分析】由歸納,得,即,即.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)【解題分析】【試題分析】(1)先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形,再借助等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明,進(jìn)而證明,從而證明四邊形為矩形;(2)先依據(jù)題設(shè)條件及面面垂直的性質(zhì)定理證明平面,再建立空間直角坐標(biāo)系,運用空間向量的數(shù)量積公式求出平面的一個法向量.進(jìn)而求出直線與平面所成角的正弦值:解:(Ⅰ)∵點分別為的中點,∴且,∴四邊形為平行四邊形.取的中點,連結(jié).∵為等腰直角三角形,為正三角形,∴,∴平面.又∵平面,∴,由且可得,∴四邊形為矩形.(Ⅱ)由平面分別以的方向為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.依題意,設(shè),則,∴.設(shè)為平面的一個法向量,則有令,則.∴直線與平面所成角的正弦值.點睛:解答本題的第一問時,先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形,再借助等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明,進(jìn)而證明,從而證明四邊形為矩形;解答地二問時先依據(jù)題設(shè)條件平面平面及面面垂直的性質(zhì)定理證明平面,再建立空間直角坐標(biāo)系求解.18、(1);(2)詳見解析【解題分析】【試題分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo),再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組進(jìn)行求解;(2)先對函數(shù)求導(dǎo),再依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行分類求求出其單調(diào)區(qū)間和極值點:解:(1),∵曲線在點處與直線相切,∴;(2)∵,由,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,∴此時是的極大值點,是的極小值點.19、(1)f(x)=x2-4lnx(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.極小值為,無極大值【解題分析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)切線方程得到關(guān)于的方程組,解出即可。(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可?!绢}目詳解】(1),?因為點M(1,1)處的切線方程為2x+y-3=0,所以,所以,則f(x)=x2-4lnx;(2)定義域為(0,+∞),,令,得(舍負(fù)).列表如下:xf'(x)-0+f(x)遞減極小值遞增故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.極小值為,無極大值.【題目點撥】本題(1)是根據(jù)切點在曲線上以及函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率這兩點來列方程求參數(shù)的值,(2)是考查函數(shù)的單調(diào)性和極值,本題是一道簡單的綜合題。20、(1)填表見解析,有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的自主招生通過情況與所在學(xué)校有關(guān)(2)見解析【解題分析】
(1)根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表,并計算出的觀測值,結(jié)合臨界值表找出犯錯誤的概率,于此可對題中的結(jié)論正誤進(jìn)行判斷;(2)列出隨機(jī)變量的可能取值,利用獨立事件的概率乘法公式計算出隨機(jī)變量在每個可能值處的概率,可列出隨機(jī)變量的概率分布列,并由此計算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】(1)列聯(lián)表如下:通過人數(shù)未通過人數(shù)總計甲校214151乙校312141總計4151111由算得:,所以有99%的把握認(rèn)
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