2024屆江蘇省南通市如東高級中學數(shù)學高二下期末達標測試試題含解析

2024屆江蘇省南通市如東高級中學數(shù)學高二下期末達標測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是虛數(shù)單位，則的虛部是（）A．-2 B．-1 C． D．2．已知，設的展開式的各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，若，則展開式中的系數(shù)為（）A．-250 B．250 C．-500 D．5003．設關于的不等式組表示的平面區(qū)域內存在點滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為A． B． C． D．5．用數(shù)學歸納法證明：，第二步證明由到時，左邊應加（）A． B． C． D．6．若，則實數(shù)的值為（）A．1 B．-2 C．2 D．-2或17．若=（4，2，3）是直線l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關系是A．垂直 B．平行C．直線l在平面α內 D．相交但不垂直8．計算的值是（）A．72 B．102 C．5070 D．51009．若是離散型隨機變量，，，又已知，，則的值為（）A． B． C．3 D．110．已知，，則()A． B． C． D．11．如下圖，在同一直角坐標系中表示直線y＝ax與y＝x＋a，正確的是()A． B． C． D．12．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．超速行駛已成為馬路上最大殺手之一,已知某路段屬于限速路段,規(guī)定通過該路段的汽車時速不超過60,否則視為違規(guī).某天,有1000輛汽車經(jīng)過了該路段，經(jīng)過雷達測速得到這些汽車運行時速的頻率分布直方圖如圖,則違規(guī)的汽車大約為___________．14．下圖所示的算法流程圖中，輸出的表達式為__________．15．的展開式中的常數(shù)項為______。16．設函數(shù)，已知，則_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù).（1）求的單調區(qū)間；（2）若對任意的都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）近日，某地普降暴雨，當?shù)匾淮笮吞釅伟l(fā)生了滲水現(xiàn)象，當發(fā)現(xiàn)時已有的壩面滲水，經(jīng)測算，壩而每平方米發(fā)生滲水現(xiàn)象的直接經(jīng)濟損失約為元，且滲水面積以每天的速度擴散．當?shù)赜嘘P部門在發(fā)現(xiàn)的同時立即組織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積，該部門需支出服裝補貼費為每人元，勞務費及耗材費為每人每天元．若安排名人員參與搶修，需要天完成搶修工作．寫出關于的函數(shù)關系式；應安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小．（總損失＝因滲水造成的直接損失+部門的各項支出費用）19．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線被圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標和的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是．（Ⅰ）求展開式中各項二項式系數(shù)的和；（Ⅱ）求展開式中中間項．21．（12分）為了讓觀賞游玩更便捷舒適，常州恐龍園推出了代步工具租用服務.已知有腳踏自行車與電動自行車兩種車型，采用分段計費的方式租用.型車每分鐘收費元（不足分鐘的部分按分鐘計算），型車每分鐘收費元（不足分鐘的部分按分鐘計算），現(xiàn)有甲乙丙丁四人，分別相互獨立地到租車點租車騎行（各租一車一次），設甲乙丙丁不超過分鐘還車的概率分別為，并且四個人每人租車都不會超過分鐘，甲乙丙均租用型車，丁租用型車．（1）求甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的費用之和等于丁所付的費用的概率；（3）設甲乙丙丁四人所付費用之和為隨機變量，求的概率分布和數(shù)學期望．22．（10分）設,函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)單調區(qū)間(3)若有兩個零點,求證:.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算把復數(shù)化為代數(shù)形式后可得其虛部．【題目詳解】由題意得，所以復數(shù)的虛部是．故選B．【題目點撥】本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的基本概念，解答本題時容易出現(xiàn)的錯誤是認為復數(shù)的虛部為，對此要強化對基本概念的理解和掌握，屬于基礎題．2、A【解題分析】

分別計算各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，代入等式得到，再計算的系數(shù).【題目詳解】的展開式取得到二項式系數(shù)之和為取值為-250故答案選A【題目點撥】本題考查了二項式定理，計算出的值是解題的關鍵.3、D【解題分析】

由約束條件，作出可行域如上圖所示陰影部分，要使可行域存在，必有，可行域包括上的點，只要邊界點在直線的上方，且在直線的下方，故有，解得，選D.點睛：平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃的一類重要題型，在解答本題時，關鍵是畫好可行域，分析目標函數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結合的思想，找出點的坐標，即可求出答案．4、C【解題分析】試題分析：由三角形面積為，，所以陰影部分面積為，所求概率為考點：定積分及幾何概型概率5、D【解題分析】

當成立，當時，寫出對應的關系式，觀察計算即可得答案.【題目詳解】在第二步證明時，假設時成立，即左側，則成立時，左側，左邊增加的項數(shù)是，故選：D．【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法，考查到成立時左邊項數(shù)的變化情況，考查理解與應用的能力，屬于中檔題．6、A【解題分析】分析：據(jù)積分的定義計算即可．詳解：解得或（舍）.故選A點睛：本題考查的知識點是定積分，根據(jù)已知確定原函數(shù)是解答的關鍵．7、D【解題分析】

判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，從而得直線與平面的位置關系．【題目詳解】顯然與不平行，因此直線與平面不垂直，又，即與不垂直，從而直線與平面不平行，故直線與平面相交但不垂直．故選D．【題目點撥】本題考查用向量法判斷直線與平面的位置關系，方法是由直線的方向向量與平面的法向量的關系判斷，利用向量的共線定理和數(shù)量積運算判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直線與平面的位置關系．8、B【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)計算公式，計算出表達式的值.【題目詳解】依題意，原式，故選B.【題目點撥】本小題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)的計算，屬于基礎題.9、D【解題分析】分析：由期望公式和方差公式列出的關系式，然后變形求解．詳解：∵，∴隨機變量的值只能為，∴，解得或，∴．故選D．點睛：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解題關鍵是確定隨機變量只能取兩個值，從而再根據(jù)其期望與方差公式列出方程組，以便求解．10、C【解題分析】

將兩邊同時平方，利用商數(shù)關系將正弦和余弦化為正切，通過解方程求出，再利用二倍角的正切公式即可求出.【題目詳解】再同時除以，整理得故或，代入，得.故選C.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方關系，商數(shù)關系，屬于基礎題.11、A【解題分析】

由題意逐一考查所給的函數(shù)圖像是否符合題意即可.【題目詳解】逐一考查所給的函數(shù)圖像：對于選項A，過坐標原點，則，直線在軸的截距應該小于零，題中圖像符合題意；對于選項C，過坐標原點，則，直線在軸的截距應該大于零，題中圖像不合題意；過坐標原點，直線的傾斜角為銳角，題中BD選項中圖像不合題意；本題選擇A選項.【題目點撥】本題主要考查分類討論的數(shù)學思想，一次函數(shù)的性質等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.12、B【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義或性質求出，然后可求出導函數(shù)，得切線斜率，從而得切線方程【題目詳解】∵是奇函數(shù)，∴，∴，，是奇函數(shù)，，，，切線方程為，即．故選B．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的奇偶性，本題難度一般．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、800【解題分析】

先通過頻率分布直方圖，得出速度大于對應矩形的面積和，再乘以可得出結果.【題目詳解】由圖象可知，速度大于的汽車的頻率為，因此，違規(guī)的汽車數(shù)為，故答案為：.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖的應用，計算頻率時要找出符合條件的矩形的面積之和，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

根據(jù)流程圖知當，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，依此類推，當，不滿足條件，退出循環(huán)體，從而得到結論．【題目詳解】，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，…依此類推，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，退出循環(huán)體，輸出，故答案為．【題目點撥】本題主要考查了循環(huán)結構應用問題，此循環(huán)是先判斷后循環(huán)，屬于中檔題．15、240【解題分析】

根據(jù)二項式展開式通項公式確定常數(shù)項對應項數(shù)，再代入得結果【題目詳解】，令得，，所以的展開式中的常數(shù)項為.【題目點撥】本題考查求二項式展開式中常數(shù)項，考查基本分析求解能力，屬基礎題.16、【解題分析】

對分離常數(shù)后，通過對比和的表達式，求得的值.【題目詳解】依題意，，.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)求值，考查運算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的增區(qū)間為；的減區(qū)間為，（2）【解題分析】

（1）求導，根據(jù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調區(qū)間.（2）對任意的都有恒成立轉化為：求得答案.【題目詳解】（1）的定義域為.，當時，，單調遞增；當時，或，單調遞減；所以的增區(qū)間為；的減區(qū)間為，.（2）由（1）知在單調遞減，單調遞增；知的最小值為，又，，，所以在上的值域為.所以實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調性，恒成立問題，將恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題是解題的關鍵.18、（1）（2）應安排名民工參與搶修，才能使總損失最小【解題分析】

（1）由題意得要搶修完成必須使得搶修的面積等于滲水的面積，即可得，所以；（2）損失包＝滲水直接經(jīng)濟損失+搶修服裝補貼費+勞務費耗材費，即可得到函數(shù)解析式，再利用基本不等式，即可得到結果．【題目詳解】由題意，可得，所以．設總損失為元，則當且僅當，即時，等號成立，所以應安排名民工參與搶修，才能使總損失最小．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的實際應用問題，以及基本不等式求最值的應用，其中解答中認真審題是關鍵，以及合理運用函數(shù)與不等式方程思想的有機結合，及基本不等式的應用是解答的關鍵，屬于中檔題，著重考查了分析問題和解答問題的能力．19、（1）；（2），.【解題分析】

（1）由橢圓的離心率為，求得,再由圓的性質和圓的弦長公式，求得，進而可求解橢圓的標準方程；（2）設的方程：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，求得，再利用向量的數(shù)量積的運算和代數(shù)式的性質，即可得到結論．【題目詳解】（1）∵橢圓的離心率為，∴,∵圓的圓心到直線的距離為,∴直線被圓截得的弦長為.解得，故，∴橢圓的方程為.（2）設，，，當直線與軸不重合時，設的方程：.由得，，∴，，，當，即時，的值與無關，此時.當直線與軸重合且時，.∴存在點，使得為定值.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．20、（Ⅰ）64；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是求出的值，然后可求各項二項式系數(shù)的和；（Ⅱ）根據(jù)的值確定中間項，利用通項公式可求.【題目詳解】解：由題意知，展開式的通項為：，且，則第五項的系數(shù)為，第三項的系數(shù)為，則有，化簡，得，解得，展開式中各項二項式系數(shù)的和；由（1）知，展開式共有7項，中間項為第4項，令，得．【題目點撥】本題主要考查二項展開式的系數(shù)及特定項求解，通項公式是求解這類問題的鑰匙，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元”，即4人均不超過30分鐘。（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10，其余2人付5，分3種情況。用相互獨立事件同時發(fā)生概率公式與互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根據(jù)分類可知隨機變量的所有取值為25，30，35，40，45，50,求出概率及期望?！绢}目詳解】（1）記“甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元”為事件，即4人均不超過30分鐘，則.答：求甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元的概率是（2）由題意，甲乙丙丁在分鐘以上且不超過分鐘還車的概率分別為，設“甲乙丙三人所付費用之和等于丁所付費用”為事件，則答：甲乙丙三人所付的費用之和等于丁所付的費用的概率是．（3）①若“4人均不超過30分鐘”此時隨機變量的值為25，即為事件，由（1）所以.②記“4人中僅有一人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的這一人是甲乙丙中的一個”和“超過30分鐘的這一人是丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對應的的值為30，此時；ii.事件對應的的值為35，此時.③記“4人中僅有兩人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的兩個”和“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的一個和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對應的的值為35，此時；i.事件對應的的值為40，此時④記“4人中僅有三人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的三人是甲乙丙”和“超過30分鐘的三人是甲乙丙中的兩個和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對應的的值為40，此時；i.事件對應的的值為45，此時.⑤記“4人均超過30分鐘”為事件，則隨機變量的值為50，此時；綜上：隨機變量的所有取值為25，30，35，40，45，50，且；；；；；；所以甲乙丙丁四人所付費