蘇教版-6.7-用相似三角形解決問題-同步練習

6.7用相似三角形解決問題一．選擇題（共12小題）1．如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝12.8m，則建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m2．數(shù)學興趣小組的同學們來到寶安區(qū)海淀廣場，設計用手電來測量廣場附近某大廈CD的高度，如圖，點P處放一水平的平面鏡．光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到大廈CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么該大廈的高度約為（）A．32米 B．28米 C．24米 D．16米3．如圖，某同學拿著一把12cm長的尺子，站在距電線桿30m的位置，把手臂向前伸直，將尺子豎直，看到尺子恰好遮住電線桿，已知臂長60cm，則電線桿的高度是（）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m4．如圖為一座房屋屋架結(jié)構(gòu)示意圖，已知屋檐AB＝BC，橫梁EF∥AC，點E為AB的中點，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，橫梁AC＝12m，則支架DF長為（）A．210 B．25 C．13 D．2135．如圖，在一塊斜邊長30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一個正方形CDEF，點D在邊BC上，點E在斜邊AB上，點F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（）A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm26．小亮利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是他剪裁出的空心等邊三角形、正方形、矩形、正五邊形，若每個圖案花邊的寬度都相等，那么每個圖案中花邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）A．B．C．D．7．如圖，AB和CD表示兩根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的兩根鋼筋，AC與BD相交于點M，已知AB＝8m，CD＝12m，則點M離地面的高度MH為（）A．4m B．245m C．5m D．168．如圖，有一塊三角形土地，它的底邊BC＝100米，高AH＝80米，某單位要沿著底邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，則這座大樓的地基面積最大值是（）A．1000米2 B．2000米2 C．3000米2 D．4000米29．如圖，有一塊三角形余料ABC，BC＝120mm，高線AD＝80mm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，點P，M分別在AB，AC上，若滿足PM：PQ＝3：2，則PM的長為（）A．60mm B．16013mm C．20mm D．24010．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．其中第九卷《勾股》章，主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求的關(guān)系．其中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”譯文：“今有一座長方形小城，東西向城墻長7里，南北向城墻長9里，各城墻正中均開一城門．走出東門15里處有棵大樹，問走出南門多少步恰好能望見這棵樹？”（注：1里＝300步）你的計算結(jié)果是：出南門幾何步而見木（）A．300步 B．315步 C．400步 D．415步11．相鄰兩根電桿都用鋼索在地面上固定，如圖，一根電桿鋼索系在離地面4米處，另一根電桿鋼索系在離地面6米處，則中間兩根鋼索相交處點P離地面（）A．2.4米 B．8米 C．3米 D．必須知道兩根電線桿的距離才能求出點P離地面距離12．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的是（）①△CMP∽△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；④線段AM的最小值為25；⑤當△ABP≌△ADN時，BP＝42-A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤二．填空題（共12小題）13．如圖，身高1.5m的小波站在操場上，測得其影長B′C′＝1.8m；同時測得旗桿AB的影長BC＝18m，則旗桿AB的高度為m．14．如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，要使矩形EGHF的面積最大，EF的長應為cm．15．如圖，在一塊斜邊長30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一個正方形CDEF，點D在邊BC上，點E在斜邊AB上，點F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為．16．用杠桿撬石頭的示意圖如圖所示，P是支點，當用力壓杠桿的A端時，杠桿繞P點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起8cm，已知杠桿的動力臂AP與阻力臂BP之比為4：1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓cm．17．如圖，兩根豎直的電線桿AB長為12，CD長為4，AD交BC于點E，則點E到地面的距離EF的長是．18．我國古代數(shù)學著作中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門二十步有木，出西門四十五步見木，問：邑方幾何？”其大意是：一座正方形城池，西、北邊正中各開一道門，從北門往正北方向走20步后剛好有一樹木，若從西門往正西方向走45步后正好看到樹木，則正方形城池的邊長為步．19．利用標桿CD測量建筑物的高度的示意圖如圖所示，使標桿頂端的影子與建筑物頂端的影子恰好落在地面的同一點E．若標桿CD的高為1.5米，測得DE＝2米，BD＝16米，則建筑物的高AB為米．20．如圖，一位同學通過調(diào)整自己的位置，設法使三角板DEF的斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知兩條邊DE＝0.4m，EF＝0.2m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB為m．21．如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，使用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短，它是由長度相等的兩腳AD和BC交叉構(gòu)成的，如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使OA＝3OD，OB＝3OC），然后張開兩腳，使A、B兩個尖端分別在線段l的兩端上，若CD＝2，則AB的長是．22．如圖，電線桿上的路燈距離地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距離電線桿的底部（點O）20m的A處，則小明的影子AM長為m．23．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以點A為原點建立平面直角坐標系，使AB在x軸正半軸上，點D是AC邊上的一個動點，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下結(jié)論：①△AFD∽△DCE∽△EGB；②當D為AC的中點時，△AFD≌△DCE；③點C的坐標為（3.2，2.4）；④將△ABC沿AC所在的直線翻折到原來的平面，點B的對應點B1的坐標為（1.6，4.8）；⑤矩形DEGF的最大面積為3．在這些結(jié)論中正確的有（只填序號）24．如圖，點P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F，連接AP并延長，交射線BC于點H，交射線DC于點M，連接EF交AH于點G，當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點），以下結(jié)論：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM?PH；④EF的最小值是2．其中正確的是．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）三．解答題（共6小題）25．某班在學習《利用相似三角形測高》時開展了“測量學校操場上旗桿的高度”的活動．小明將鏡子放在離旗桿32m的點C處（即AC＝32m），然后沿直線AC后退，在點D處恰好看到旗桿頂端B在鏡子中的像與鏡子上的標記重合（如圖），根據(jù)物理學知識可知：法線l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛離地面的高度DE為1.5m，CD＝3m，求旗桿AB的高度．（要有證明過程，再求值）26．如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC長13cm，BC邊上的高AD為6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個正方形零件的邊長．27．如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，DE＝40cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求樹高AB．28．AD是△ABC的中線，G是AD上任意一點時（點G不與A重合），過點G的直線交邊AB于E，交射線AC于點F，設AE＝xAB，AF＝y(tǒng)AC（x、y≠0）．（1）如圖1，若點G與D重合，△ABC為等邊三角形，且∠BDE＝30°，證明：△AEF∽△DEA；（2）如圖2，若點G與D重合，證明：1x（3）如圖3，若AG＝nAD，x=12，y=329．已知不等臂蹺蹺板AB長為3米．蹺蹺板AB的支撐點O到地面的點H的距離OH＝0.6米．當蹺蹺板AB的一個端點A碰到地面時（如圖1），AB與直線AH的夾角∠OAH的度數(shù)為30°．（1）當AB的另一個端點B碰到地面時（如圖2），蹺蹺板AB與直線BH的夾角∠ABH的正弦值是多少？（2）當AB的另一個端點B碰到地面時（如圖2），點A到直線BH的距離是多少米？30．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，點P是直線AB上任意一點，聯(lián)結(jié)PC．在∠PCD內(nèi)部作射線CQ與對角線BD交于點Q（與B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如圖，當點P在邊AB上時，如果BP＝3，求線段PC的長；（2）當點P在射線BA上時，設BP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；（3）聯(lián)結(jié)PQ，直線PQ與直線BC交于點E，如果△QCE與△BCP相似，求線段BP的長．一．選擇題（共12小題）1．如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝12.8m，則建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計算出CD的長，從而可以解答本題．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴1.214解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故選：A．【點評】本題考查相似三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．數(shù)學興趣小組的同學們來到寶安區(qū)海淀廣場，設計用手電來測量廣場附近某大廈CD的高度，如圖，點P處放一水平的平面鏡．光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到大廈CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么該大廈的高度約為（）A．32米 B．28米 C．24米 D．16米【分析】因同學和大廈均和地面垂直，且光線的入射角等于反射角，因此構(gòu)成一組相似三角形，利用對應邊成比例即可解答．【解答】解：根據(jù)題意，易得到△ABP∽△PDC．即CD故CD=PDBP×那么該大廈的高度是32米．故選：A．【點評】本題考查相似三角形性質(zhì)的應用．解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．3．如圖，某同學拿著一把12cm長的尺子，站在距電線桿30m的位置，把手臂向前伸直，將尺子豎直，看到尺子恰好遮住電線桿，已知臂長60cm，則電線桿的高度是（）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根據(jù)三角形對應高的比等于對應邊的比，這樣就可以求出電線桿EF的高．【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴BCEF∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，∴EF=BC?ANAM=故選：D．【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，解答時利用了相似三角形對應高的比等于對應邊的比解題．4．如圖為一座房屋屋架結(jié)構(gòu)示意圖，已知屋檐AB＝BC，橫梁EF∥AC，點E為AB的中點，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，橫梁AC＝12m，則支架DF長為（）A．210 B．25 C．13 D．213【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出AD＝DC，再利用勾股定理得出AB的長，進而利用三角形中位線的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6m，∴AB=AD2+BD∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴BEAB∵點E為AB的中點，∴F是BC的中點，∴FD是△ABC的中位線，∴DF=12AB=13故選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的應用以及等腰三角形的性質(zhì)，正確得出AB的長是解題關(guān)鍵．5．如圖，在一塊斜邊長30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一個正方形CDEF，點D在邊BC上，點E在斜邊AB上，點F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（）A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2【分析】設AF＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)用x表示出EF、CF，證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)勾股定理列式求出x，根據(jù)三角形的面積公式、正方形的面積公式計算即可．【解答】解：設AF＝x，則AC＝3x，∵四邊形CDEF為正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面積=12×125×65-45×故選：A．【點評】本題考查的是相似三角形的應用、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．小亮利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是他剪裁出的空心等邊三角形、正方形、矩形、正五邊形，若每個圖案花邊的寬度都相等，那么每個圖案中花邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：兩個等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故A選項不符合要求；B：兩個正方形形狀相同，符合相似形的定義，故B選項不符合要求；C：兩個矩形，雖然四個角對應相等，但對應邊不成比例，故C選項符合要求；D：兩個正五邊形形狀相同，符合相似形的定義，故D選項不符合要求；故選：C．【點評】本題考查的是相似圖形的概念，把形狀相同的圖形稱為相似形．7．如圖，AB和CD表示兩根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的兩根鋼筋，AC與BD相交于點M，已知AB＝8m，CD＝12m，則點M離地面的高度MH為（）A．4m B．245m C．5m D．16【分析】根據(jù)已知易得△ABM∽△DCM，可得對應高BH與HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用對應邊成比例可得比例式，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴BHHC∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴MHAB∴MH8解得MH=24故選：B．【點評】此題主要考查了相似三角形的應用；用到的知識點為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對應邊成比例；對應高的比等于相似比；解決本題的突破點是得到BH與HD的比．8．如圖，有一塊三角形土地，它的底邊BC＝100米，高AH＝80米，某單位要沿著底邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，則這座大樓的地基面積最大值是（）A．1000米2 B．2000米2 C．3000米2 D．4000米2【分析】兩三角形相似，對應高之比等于相似比．利用此性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵DG∥BC∴△ADG∽△ABC它們的對應高線比等于對應線段的比，即AMAH=DGBC，設AM＝x，那么DE＝MH＝AH﹣∴x80∴DG=5∴S四邊形DEFG＝DG?DE＝（80﹣x）?54x=54（﹣x2+80x﹣1600）=-54當x＝40時，S取最大值，最大值為2000，故選：B．【點評】本題考查相似三角形的應用、二次函數(shù)的應用、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．9．如圖，有一塊三角形余料ABC，BC＝120mm，高線AD＝80mm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，點P，M分別在AB，AC上，若滿足PM：PQ＝3：2，則PM的長為（）A．60mm B．16013mm C．20mm D．240【分析】利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：如圖，設AD交PN于點K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假設MP＝3k，PQ＝2k．∵四邊形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PM，∴PMBC∴3k120解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故選：A．【點評】本題考查相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．10．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．其中第九卷《勾股》章，主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求的關(guān)系．其中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”譯文：“今有一座長方形小城，東西向城墻長7里，南北向城墻長9里，各城墻正中均開一城門．走出東門15里處有棵大樹，問走出南門多少步恰好能望見這棵樹？”（注：1里＝300步）你的計算結(jié)果是：出南門幾何步而見木（）A．300步 B．315步 C．400步 D．415步【分析】根據(jù)題意寫出AB、AC、CD的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算即可．【解答】解：由題意得，AB＝15里，AC＝4.5里，CD＝3.5里，△ACB∽△DEC，∴DEAC=DC解得，DE＝1.05里＝315步，∴走出南門315步恰好能望見這棵樹，故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形三邊關(guān)系，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．相鄰兩根電桿都用鋼索在地面上固定，如圖，一根電桿鋼索系在離地面4米處，另一根電桿鋼索系在離地面6米處，則中間兩根鋼索相交處點P離地面（）A．2.4米 B．8米 C．3米 D．必須知道兩根電線桿的距離才能求出點P離地面距離【分析】作PE⊥BNC于E，易得△APB∽△CDP，可得對應高CE與BE之比，易得CD∥PE可得△BPE∽△BDC，利用對應邊成比例可得比例式，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可．【解答】解：作PE⊥BC于E．∵CD∥AB，∴△APB∽△CDP，∴ABCD∵CD∥PE，∴△BPE∽△BDC，∴PECD∴PE4解得PE＝2.4．故選：A．【點評】考查相似三角形的應用；用到的知識點為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對應邊成比例；對應高的比等于相似比；解決本題的突破點是得到CE與BE的比．12．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的是（）①△CMP∽△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；④線段AM的最小值為25；⑤當△ABP≌△ADN時，BP＝42-A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤【分析】①正確，只要證明∠APM＝90°即可解決問題．②正確，設PB＝x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可．③錯誤，設ND＝NE＝y(tǒng)，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題．④錯誤，作MG⊥AB于G，因為AM=MG2+AG2=16+AG2，所以AG⑤正確，在AB上取一點K使得AK＝PK，設PB＝z，列出方程即可解決問題．【解答】解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，∴∠APM＝90°，∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠PAB＝90°，∴∠CPM＝∠PAB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BPA．故①正確，設PB＝x，則CP＝4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴PBCM∴CM=14x（4﹣∴S四邊形AMCB=12[4+14x（4﹣x）]×4=-12x2+2x+8∴x＝2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，當PB＝PC＝PE＝2時，設ND＝NE＝y(tǒng)，在RT△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y=4∴NE≠EP，故③錯誤，作MG⊥AB于G，∵AM=MG∴AG最小時AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4-14x（4﹣x）=14（x∴x＝2時，AG最小值＝3，∴AM的最小值=16+9=5，故∵△ABP≌△ADN時，∴∠PAB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一點K使得AK＝PK，設PB＝z，∴∠KPA＝∠KAP＝22.5°∵∠PKB＝∠KPA+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK=2z∴z+2z∴z＝42-∴PB＝42-4，故⑤故選：B．【點評】本題考查相似形綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．二．填空題（共12小題）13．如圖，身高1.5m的小波站在操場上，測得其影長B′C′＝1.8m；同時測得旗桿AB的影長BC＝18m，則旗桿AB的高度為15m．【分析】根據(jù)同一時刻物高和影長成正比列出比例式即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：A'B'AB即：1.5AB解得：AB＝15，故答案為：15．【點評】本題考查的是相似三角形的應用，解答此題的關(guān)鍵是找出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例進行解答．14．如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，要使矩形EGHF的面積最大，EF的長應為15cm．【分析】此題為二次函數(shù)的應用類試題，設EG＝xcm，先根據(jù)相似求出EF，然后根據(jù)矩形面積公式求出S與x之間的解析式，運用公式求拋物線頂點的橫坐標即可．【解答】解：設EG＝xcm，∵四邊形EFHG是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AMAD∴20-x20解得EF=32（20﹣∴S矩形EFHG＝EG?EF=32（20﹣x）?即S=-32x2∴當x=-b2a此時EF=32（20﹣x）＝15故答案為15．【點評】本題由相似三角形的實際問題，矩形EGHF的面積的表達，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決題目的問題．具有一定的綜合性．15．如圖，在一塊斜邊長30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一個正方形CDEF，點D在邊BC上，點E在斜邊AB上，點F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為100cm2．【分析】設AF＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)用x表示出EF、CF，證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)勾股定理列式求出x，根據(jù)三角形的面積公式、正方形的面積公式計算即可．【解答】解：設AF＝x，則AC＝3x，∵四邊形CDEF為正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面積=12×125×65-45×故答案為：100cm2．【點評】本題考查的是相似三角形的應用、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．用杠桿撬石頭的示意圖如圖所示，P是支點，當用力壓杠桿的A端時，杠桿繞P點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起8cm，已知杠桿的動力臂AP與阻力臂BP之比為4：1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓32cm．【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得端點A向下壓的長度．【解答】解：如圖：AM、BN都與水平線垂直，即AM∥BN；易知：△APM∽△BPN；∴ACBC∵杠桿的動力臂AP與阻力臂BP之比為4：1，∴AMBN=41，即∴當BN≥8cm時，AM≥32cm；故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓32cm．故答案為：32．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．17．如圖，兩根豎直的電線桿AB長為12，CD長為4，AD交BC于點E，則點E到地面的距離EF的長是3．【分析】根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得DFBD=EF【解答】解：∵兩根電線桿AB、CD都豎直，EF垂直于地面，∴△ABD∽△EFD，△BCD∽△BEF，∴DFBD=EF∴DFBD即EF12解得EF＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，利用EF1218．我國古代數(shù)學著作中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門二十步有木，出西門四十五步見木，問：邑方幾何？”其大意是：一座正方形城池，西、北邊正中各開一道門，從北門往正北方向走20步后剛好有一樹木，若從西門往正西方向走45步后正好看到樹木，則正方形城池的邊長為60步．【分析】根據(jù)題意，可知Rt△ABE∽Rt△CED，從而可以得到對應邊的比相等，從而可以求得正方形城池的邊長．【解答】解：設正方形城池的邊長為x步，由題意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，∴ABCE即201解得，x1＝60，x2＝﹣60（不合題意，舍去），答：正方形城池的邊長為60步，故答案為：60．【點評】本題考查相似三角形的應用、數(shù)學常識、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意．利用相似三角形的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．19．利用標桿CD測量建筑物的高度的示意圖如圖所示，使標桿頂端的影子與建筑物頂端的影子恰好落在地面的同一點E．若標桿CD的高為1.5米，測得DE＝2米，BD＝16米，則建筑物的高AB為13.5米．【分析】根據(jù)同一時刻同一地點物高與影長成正比列式求得CD的長即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴CDAB=ED∴AB＝13.5（米）．故答案為：13.5【點評】本題考查了相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形，難度不大．20．如圖，一位同學通過調(diào)整自己的位置，設法使三角板DEF的斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知兩條邊DE＝0.4m，EF＝0.2m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB為5.5m．【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的長后加上小明同學的身高即可求得樹高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴DEDC∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴0.48∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．故答案為：5.5．【點評】本題考查了相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．21．如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，使用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短，它是由長度相等的兩腳AD和BC交叉構(gòu)成的，如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使OA＝3OD，OB＝3OC），然后張開兩腳，使A、B兩個尖端分別在線段l的兩端上，若CD＝2，則AB的長是6．【分析】根據(jù)題意可知△ABO∽△DCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長度，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意，可知：△ABO∽△DCO，∴ABDC=AO∴AB＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了相似三角形的應用，利用相似三角形的性質(zhì)求出AB的長度是解題的關(guān)鍵．22．如圖，電線桿上的路燈距離地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距離電線桿的底部（點O）20m的A處，則小明的影子AM長為5m．【分析】根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．【解答】解：由題意得，AMAM+OA即AMAM+20解得：AM＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了相似三角形的應用，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以點A為原點建立平面直角坐標系，使AB在x軸正半軸上，點D是AC邊上的一個動點，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下結(jié)論：①△AFD∽△DCE∽△EGB；②當D為AC的中點時，△AFD≌△DCE；③點C的坐標為（3.2，2.4）；④將△ABC沿AC所在的直線翻折到原來的平面，點B的對應點B1的坐標為（1.6，4.8）；⑤矩形DEGF的最大面積為3．在這些結(jié)論中正確的有①③⑤（只填序號）【分析】①正確，根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似即可判斷；②錯誤．根據(jù)斜邊不相等即可判斷；③正確．先利用面積求出CH，再利用勾股定理求出AH，即可判斷；④錯誤．先判斷出點C是BB1的中點，求出點B1即可判斷；⑤正確．首先證明四邊形DEGF是矩形，推出DF＝EG，DE＝FG，設DF＝EG＝x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；【解答】解：如圖，作CH⊥AB于H．∵DF⊥AB于F，EG⊥AB于G，∴∠AFD＝∠DCE＝∠EGB＝90°，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠DAF，∠CED＝∠EBG，∴△AFD∽△DCE∽△EGB；故①正確；當AD＝CD時，∵DE＞CD，∴DE＞AD，∴△AFD與△DCE不全等，故②錯誤，在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴CH=AC?BC∴AH=A∴C（3.2，2.4），故③正確，將△ABC沿AC所在的直線翻折到原來的平面，點B的對應點B1，設B1為（m，n），則有m+52=3.2，n+02=2.4，∴B1（1.4，4.8），故④錯誤；∵DF⊥AB于F，EG⊥AB于G，∴DF∥EG，∵DE∥AB，∴四邊形DEGF是平行四邊形，∵∠DFG＝90°，∴四邊形DEGF是矩形，∴DF＝EG，DE＝FG，設DF＝EG＝x，則AF=43x，BG=∴DE＝FG＝5-43x-34x∵S矩形DEGF＝x（5-2512x）=-2512∵-25∴S最大值=-254×(-25綜上所述，正確的有：①③⑤，故答案為①③⑤．【點評】本題考查相似三角形綜合題、全等三角形的判定、矩形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構(gòu)建二次函數(shù)，解決最值問題，屬于中考壓軸題．24．如圖，點P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F，連接AP并延長，交射線BC于點H，交射線DC于點M，連接EF交AH于點G，當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點），以下結(jié)論：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM?PH；④EF的最小值是2．其中正確的是②③④．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）【分析】由特殊值法可判斷①，由“SAS”可證△ABP≌△CBP，可得AP＝CP，由矩形的性質(zhì)可得EF＝PC＝AP，由“SSS”可證△APD≌△CPD，可得∠DAP＝∠DCP，由平行線的性質(zhì)可得∠DCP＝∠H，由“SAS”可證△PEC≌△FCE，可得∠PCE＝∠FEC，由余角的性質(zhì)可得AH⊥EF；通過證明△CPM∽△HPC，可得CPPH=PMCP，可得AP2＝PM?PH；由AP＝EF，可得【解答】解：①因為當點P與BD中點重合時，CM＝0，顯然FM≠CM，故①不合題意；②如圖，連接PC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，且BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴AP＝CP，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°，∴四邊形PECF是矩形，∴EF＝PC＝AP，∵AP＝PC，AD＝CD，PD＝PD，∴△APD≌△CPD（SSS）∴∠DAP＝∠DCP，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠DCP＝∠H，∵PE＝CF，∠PEC＝∠FCE＝90°，EC＝EC，∴△PEC≌△FCE（SAS）∴∠PCE＝∠FEC，∵∠PCF+∠PCE＝∠FCE＝90°，∴∠H+∠FEC＝90°，∴∠EGH＝90°，∴AH⊥EF，故②符合題意；③∵AD∥BH，∴∠DAP＝∠H，∵∠DAP＝∠PCM，∴∠PCM＝∠H，∵∠CPM＝∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴CPPH∴CP2＝PM?PH，且AP＝PC，∴AP2＝PM?PH；故③符合題意；④∵EF＝AP，∴AP取最小值時，EF有最小值，∴當AP⊥BD時，AP有最小值，此時：∵AB＝AD＝2，∠BAD＝90°，AP⊥BD，∴BD＝22，AP=12BD∴EF的最小值為2，故④符合題意，故答案為②③④．【點評】本題是相似綜合題，考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．三．解答題（共6小題）25．某班在學習《利用相似三角形測高》時開展了“測量學校操場上旗桿的高度”的活動．小明將鏡子放在離旗桿32m的點C處（即AC＝32m），然后沿直線AC后退，在點D處恰好看到旗桿頂端B在鏡子中的像與鏡子上的標記重合（如圖），根據(jù)物理學知識可知：法線l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛離地面的高度DE為1.5m，CD＝3m，求旗桿AB的高度．（要有證明過程，再求值）【分析】直接利用已知進而得出△ECD∽△BCA，即可得到EDAB【解答】解：∵法線l⊥AD，∠1＝∠2，∴∠ECD＝∠BCA，又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，∴△ECD∽△BCA，∴EDAB∵DE＝1.5m，CD＝3m，AC＝32m，∴1.5AB解得：AB＝16，答：旗桿AB的高度為16m．【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．26．如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC長13cm，BC邊上的高AD為6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個正方形零件的邊長．【分析】（1）根據(jù)矩形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．（2）設正方形零件的邊長為xmm，則KD＝EF＝x，AK＝6﹣x，根據(jù)EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵正方形EGHF，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，（2）設EG＝EF＝x∵△AEF∽△ABC∴EFBC∴x13∴x=78∴正方形零件的邊長為7819cm【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出△AEF∽△ABC．27．如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，DE＝40cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求樹高AB．【分析】首先利用勾股定理計算出EF長，再證明△DCB∽△DEF，由相似三角形的性質(zhì)可得CBEF=DC【解答】解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，即：402+EF2＝502，∴EF＝30，由題意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，∴CBEF∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，∴BC0.3解得：BC＝9米，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5m．【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，關(guān)鍵是掌握三角形相似對應邊成比例．28．AD是△ABC的中線，G是AD上任意一點時（點G不與A重合），過點G的直線交邊AB于E，交射線AC于點F，設AE＝xAB，AF＝y(tǒng)AC（x、y≠0）．（1）如圖1，若點G與D重合，△ABC為等邊三角形，且∠BDE＝30°，證明：△AEF∽△DEA；（2）如圖2，若點G與D重合，證明：1x（3）如圖3，若AG＝nAD，x=12，y=3【分析】（1）先判斷出∠BAD＝30°，再判斷出∠F＝30°＝∠BAD，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△DEB≌△DHC，得出CH＝BE，再判斷出△FCH∽△FAE，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出點E是AB的中點，進而得出DE是△ABC的中位線，得出DE=12AC，DE∥AC，進而得出△DGE∽△【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC，∵AD是△ABC的中線，∴∠BAD=12∠BAC＝30∵∠BDE＝30°，∴∠EF⊥AB，∴∠F＝30°＝∠BAD，∵∠AED＝∠FEA＝90°，∴△AEF∽△DEA；（2）如圖2，過C作CH∥AB交EF于H，∴∠B＝∠DCH，∠BED＝∠CHD，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴△DEB≌△DHC（AAS），∴CH＝BE，∵CH∥AB，∴△FCH∽△FAE，∴CFAF∴CFAF∵ABAE=1∴CFAF=1-ACAF=1-∴1-1∴1x（3）如圖3，∵y=3∴AF=32∴AC=23∵x=1∴AE=12∴點E是AB的中點，∵AD是△ABC的中線，∴點D是BC的中點，∴DE=12AC=12?23AF=1∴△DGE∽△AGF，∴DGAG∴DG=13∴AD＝AG+DG＝AG+13AG=∴AG=34AD＝∴n=3【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)