北京工業(yè)大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

北京工業(yè)大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)匯報(bào)人：AA2024-01-202023AAREPORTING引言正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)方法正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)方法假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤與功效實(shí)例分析與軟件實(shí)現(xiàn)目錄CATALOGUE2023PART01引言2023REPORTING課程背景與目的課程背景北京工業(yè)大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)的核心課程，正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)是該課程的重要組成部分。課程目的通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法，能夠針對(duì)實(shí)際問題建立假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，并?yīng)用相關(guān)理論和方法進(jìn)行推斷和決策。假設(shè)檢驗(yàn)的定義假設(shè)檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)推斷方法，用于判斷總體參數(shù)是否等于某個(gè)特定值或?qū)儆谀硞€(gè)特定區(qū)間。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟包括建立假設(shè)、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、計(jì)算p值或臨界值、作出決策等。兩類錯(cuò)誤在假設(shè)檢驗(yàn)中，可能會(huì)犯兩類錯(cuò)誤，即棄真錯(cuò)誤和取偽錯(cuò)誤。需要合理控制這兩類錯(cuò)誤的概率。假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念123正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗(yàn)在實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用，如質(zhì)量控制、醫(yī)學(xué)研究、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。應(yīng)用廣泛性正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要內(nèi)容，對(duì)于理解和掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法具有重要意義。理論重要性通過學(xué)習(xí)和實(shí)踐正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗(yàn)，可以提高學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維能力和解決實(shí)際問題的能力。實(shí)踐價(jià)值正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗(yàn)的意義PART02正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)方法2023REPORTING根據(jù)實(shí)際問題，提出原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$，通常原假設(shè)是總體均值等于某個(gè)特定值。建立假設(shè)在原假設(shè)下，利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)服從已知分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如$t$統(tǒng)計(jì)量。構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量根據(jù)顯著性水平$alpha$和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，確定拒絕原假設(shè)的臨界值，從而得到拒絕域。確定拒絕域根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，若該值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。作出決策單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)實(shí)際問題，提出原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$，通常原假設(shè)是兩個(gè)總體均值相等。建立假設(shè)根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，若該值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。作出決策在原假設(shè)下，利用兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)服從已知分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如$t$統(tǒng)計(jì)量或$z$統(tǒng)計(jì)量。構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量根據(jù)顯著性水平$alpha$和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，確定拒絕原假設(shè)的臨界值，從而得到拒絕域。確定拒絕域兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)實(shí)際問題，提出原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$，通常原假設(shè)是配對(duì)樣本的差值均值等于零。建立假設(shè)根據(jù)配對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，若該值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。作出決策在原假設(shè)下，利用配對(duì)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)服從已知分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如$t$統(tǒng)計(jì)量。構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量根據(jù)顯著性水平$alpha$和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，確定拒絕原假設(shè)的臨界值，從而得到拒絕域。確定拒絕域配對(duì)樣本均值的假設(shè)檢驗(yàn)PART03正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)2023REPORTING假設(shè)條件01單個(gè)正態(tài)總體方差σ2的假設(shè)檢驗(yàn)通常建立在總體均值μ已知的基礎(chǔ)上。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量02采用卡方分布作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即χ2=(n-1)S2/σ2，其中S2為樣本方差，n為樣本容量。檢驗(yàn)步驟03首先根據(jù)給定的顯著性水平α和自由度n-1查找卡方分布表，得到臨界值χ2α(n-1)；然后計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，并與臨界值進(jìn)行比較；最后根據(jù)比較結(jié)果作出拒絕或接受原假設(shè)的決策。單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)通常建立在兩個(gè)總體均值μ1和μ2已知的基礎(chǔ)上。采用F分布作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即F=S21/S22，其中S21和S22分別為兩個(gè)樣本的方差。首先根據(jù)給定的顯著性水平α和兩個(gè)樣本容量n1、n2查找F分布表，得到臨界值Fα(n1-1,n2-1)；然后計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，并與臨界值進(jìn)行比較；最后根據(jù)比較結(jié)果作出拒絕或接受原假設(shè)的決策。需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，還需要考慮兩個(gè)樣本是否具有獨(dú)立性等因素。假設(shè)條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)步驟兩個(gè)正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)PART04非參數(shù)檢驗(yàn)方法2023REPORTING符號(hào)檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)具有簡單易行、不受總體分布限制的優(yōu)點(diǎn)，但在處理大樣本時(shí)可能失效，且對(duì)離群值敏感。符號(hào)檢驗(yàn)的優(yōu)缺點(diǎn)通過比較樣本觀測(cè)值與總體中位數(shù)的符號(hào)，從而判斷總體分布是否存在顯著差異。符號(hào)檢驗(yàn)的基本原理首先，計(jì)算樣本觀測(cè)值與總體中位數(shù)的差值，并確定其符號(hào)；其次，統(tǒng)計(jì)正號(hào)與負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)；最后，根據(jù)符號(hào)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)的概率分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。符號(hào)檢驗(yàn)的步驟將樣本觀測(cè)值按大小排序并賦予秩次，通過比較兩組樣本的秩和來判斷它們是否來自同一總體。秩和檢驗(yàn)的基本原理首先，將兩組樣本混合并按大小排序；其次，分別計(jì)算兩組樣本的秩和；最后，根據(jù)秩和檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)的概率分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。秩和檢驗(yàn)的步驟秩和檢驗(yàn)適用于等級(jí)資料及兩獨(dú)立樣本的比較，對(duì)總體分布沒有嚴(yán)格要求，但檢驗(yàn)效率相對(duì)較低。秩和檢驗(yàn)的優(yōu)缺點(diǎn)秩和檢驗(yàn)通過計(jì)算樣本序列中游程的個(gè)數(shù)來判斷樣本是否來自同一總體。游程檢驗(yàn)的基本原理首先，確定游程的定義及計(jì)數(shù)方法；其次，計(jì)算樣本序列中的游程數(shù)；最后，根據(jù)游程檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)的概率分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。游程檢驗(yàn)的步驟游程檢驗(yàn)適用于連續(xù)型數(shù)據(jù)且對(duì)總體分布沒有嚴(yán)格要求，但在處理大樣本時(shí)可能失效。同時(shí)，游程檢驗(yàn)對(duì)隨機(jī)誤差的敏感性較高，容易受到異常值的影響。游程檢驗(yàn)的優(yōu)缺點(diǎn)游程檢驗(yàn)PART05假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤與功效2023REPORTING第一類錯(cuò)誤與第二類錯(cuò)誤原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)的錯(cuò)誤，也稱為“棄真”錯(cuò)誤。在假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類錯(cuò)誤的概率通常用顯著性水平α表示。第二類錯(cuò)誤原假設(shè)為假時(shí)接受原假設(shè)的錯(cuò)誤，也稱為“取偽”錯(cuò)誤。在假設(shè)檢驗(yàn)中，第二類錯(cuò)誤的概率通常用β表示。兩類錯(cuò)誤的關(guān)系在樣本容量固定的情況下，減小第一類錯(cuò)誤的概率α?xí)?dǎo)致第二類錯(cuò)誤的概率β增大；反之，減小β會(huì)導(dǎo)致α增大。因此，在實(shí)際應(yīng)用中需要在α和β之間進(jìn)行權(quán)衡。第一類錯(cuò)誤描述假設(shè)檢驗(yàn)在備擇假設(shè)下正確拒絕原假設(shè)的概率。功效函數(shù)與樣本容量、顯著性水平α以及備擇假設(shè)與原假設(shè)之間的差異程度有關(guān)。功效函數(shù)在給定顯著性水平α和功效1-β的情況下，可以通過求解功效函數(shù)來確定所需的樣本容量。樣本容量越大，檢驗(yàn)的效力越高，但同時(shí)也會(huì)增加試驗(yàn)的成本和時(shí)間。樣本容量的確定功效函數(shù)與樣本容量的確定多重比較當(dāng)同時(shí)進(jìn)行多個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，每個(gè)檢驗(yàn)的第一類錯(cuò)誤概率會(huì)累積，導(dǎo)致總體第一類錯(cuò)誤概率增加。為了控制總體第一類錯(cuò)誤概率，可以采用一些多重比較的方法，如Bonferroni校正、Tukey方法等。假設(shè)檢驗(yàn)的穩(wěn)健性指當(dāng)數(shù)據(jù)分布與假設(shè)檢驗(yàn)所基于的理論分布存在一定偏離時(shí)，假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果的穩(wěn)定性和可靠性。為了提高假設(shè)檢驗(yàn)的穩(wěn)健性，可以采用一些穩(wěn)健的統(tǒng)計(jì)方法，如基于秩的方法、非參數(shù)方法等。多重比較與假設(shè)檢驗(yàn)的穩(wěn)健性PART06實(shí)例分析與軟件實(shí)現(xiàn)2023REPORTINGVS某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布。為了檢驗(yàn)該廠產(chǎn)品的質(zhì)量是否穩(wěn)定，需要對(duì)其均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。數(shù)據(jù)描述從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了n個(gè)樣本，測(cè)得其質(zhì)量指標(biāo)分別為x1,x2,...,xn。實(shí)例背景實(shí)例背景與數(shù)據(jù)描述在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)之前，需要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。常用的正態(tài)性檢驗(yàn)方法有直方圖、QQ圖和Shapiro-Wilk檢驗(yàn)等。若數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則可以繼續(xù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；否則，需要考慮非參數(shù)檢驗(yàn)方法。在假設(shè)檢驗(yàn)中，需要估計(jì)正態(tài)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的有偏估計(jì)。在n較大時(shí)，可以使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的近似值。正態(tài)性檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)正態(tài)性檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的步驟2.選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布；1.提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1；假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)施與結(jié)果分析3.根據(jù)顯著性水平α和樣本量n，查找臨界值或計(jì)算p值；4.比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值或p值與α的大小，作出拒絕或接受原假設(shè)的決策。結(jié)果分析：根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果，可以得出以下結(jié)論之一假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)施與結(jié)果分析假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)施與結(jié)果分析在顯著性水平α下，拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為該廠產(chǎn)品的質(zhì)量不穩(wěn)定；在顯著性水平α下，無法拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為該廠產(chǎn)品的質(zhì)量穩(wěn)定。可以選擇SPSS、SAS、R或Python等統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。軟件實(shí)現(xiàn)