2023-2024學年湘教版必修第二冊 4-4-2平面與平面垂直第2課時平面與平面垂直的性質 學案

第2課時平面與平面垂直的性質教材要點要點平面與平面垂直的性質文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的，那么這條直線與另一個平面垂直．符號語言圖形語言作用①面面垂直?線面垂直；②作面的垂線狀元隨筆對面面垂直的性質定理的理解（1）定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．（2）已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直．基礎自測1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩個平面垂直，則經過第一個平面內的點作第二個平面的垂線必在第一個平面內．（）（2）若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.（）（3）若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，則a⊥α.（）（4）三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．（）2.若兩個平面互相垂直，在第一個平面內的一條直線a垂直于第二個平面內的一條直線b，那么（）A．直線a垂直于第二個平面B．直線b垂直于第一個平面C．直線a不一定垂直于第二個平面D．過a的平面必垂直于過b的平面3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（）A．α∥γB．α⊥γC．α與γ相交但不垂直D．以上都有可能4.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關系是．題型1平面與平面垂直的性質定理的應用例1如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD.方法歸納（1）證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質定理．（2）利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：①兩個平面垂直；②直線必須在其中一個平面內；③直線必須垂直于它們的交線．跟蹤訓練1已知：如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥平面PAB.題型2垂直關系的綜合應用例2如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．（1）求證：PA⊥平面ABC；（2）當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．方法歸納（1）熟練垂直關系的轉化，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉化是解題的常規(guī)思路．（2）垂直關系證明的核心是線面垂直，準確確定要證明的直線是關鍵，再利用線線垂直證明．跟蹤訓練2如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為l.（1）求證：平面PBC⊥平面PAC.（2）求證：直線l⊥AC.eq\a\vs4\al(易錯辨析)平面與平面垂直的條件把握不準確致誤例3（多選）已知兩個平面垂直，則下列說法中正確的有（）A．一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線B．一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數條直線C．經過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直D．過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面解析：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，對于A，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1與BD是異面直線，且夾角為60°，故A錯誤；B正確；對于C，A1A⊥平面ABCD，A1A?平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正確；對于D，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，過交線AD上的點作交線的垂線l，則l可能與另一平面垂直，也可能與另一平面不垂直，故D錯誤．故選BC.答案：BC易錯警示易錯原因糾錯心得對平面與平面垂直的條件把握不準確，很容易認為D正確，導致錯選為BCD.D選項其實與平面與平面垂直的性質定理是不同的，即“兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直”與“兩個平面垂直，則過一個平面內任意一點作交線的垂線，此垂線與另一個平面垂直”是不同的，關鍵是過點作的直線不一定在平面內．課堂十分鐘1.已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應增加的條件是（）A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α2.已知平面α，β及直線a滿足α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，則（）A．a?βB．a⊥βC．a∥βD．a與β相交但不垂直3.已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β4.如圖，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O為AB中點，則圖中直角三角形的個數為Ｗ．5.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，側面SDC⊥底面ABCD，求證：平面SCD⊥平面SBC.第2課時平面與平面垂直的性質新知初探·課前預習要點交線AB?αAB⊥CD[基礎自測]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：直線a與直線b均不一定垂直兩面的交線．答案：C3．解析：兩個平面都垂直于同一個平面，則這兩個平面可能平行，也可能相交，故A、B、C都有可能．答案：D4．解析：由題意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.答案：平行題型探究·課堂解透例1證明：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∵G為AD中點，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.跟蹤訓練1證明：過點A作AE⊥PB，垂足為E.∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC?平面PBC，∴BC⊥AE.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA.又PA∩AE＝A，PA，AE?平面PAB∴BC⊥平面PAB.例2證明：(1)在平面ABC內任取一點D，作DF⊥AC于點F，作DG⊥AB于點G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.同理可證DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC(2)連接BE并延長交PC于點H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，AB?平面ABE，∴PC⊥AB又PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．跟蹤訓練2證明：(1)因為AB是⊙O的直徑，所以AB所對的圓周角∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，又因為平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAC，又因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)因為E，F(xiàn)分別為PC，PB的中點，所以EF為△PCB的中位線，所以EF∥BC，又因為EF?平面ACB，BC?平面ACB，所以EF∥平面ABC，又因為EF?平面AEF，且平面AEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l，故l∥BC，由(1)知，BC⊥AC，所以l⊥AC.[課堂十分鐘]1．解析：根據平面與平面垂直的性質定理判斷．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，應增加條件n⊥m，才能使n⊥β答案：B2．解析：由題意，α中存在直線b，b∥a，因為a⊥AB，所以b⊥AB，因為α⊥β，α∩β＝AB，所以b⊥β，因為b∥a，所以a⊥β答案：B3．解析：選項A缺少了條件l?α；選項B缺少了條件α⊥β；選項C缺少了條件α∩β＝m，l⊥m答案：D4．解析：∵CA＝CB，O為AB的中點，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交線為AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD?平