2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊 6-3數(shù)學(xué)建模案例二距離問題 課件（11張）

6.3數(shù)學(xué)建模案例(二)：距離問題發(fā)現(xiàn)問題某生產(chǎn)車間有一批工作效率相同的機(jī)器位于一條直線上，它們所生產(chǎn)的零件必須送到一個(gè)檢驗(yàn)臺(tái)上，經(jīng)檢驗(yàn)合格后才能送往下一道工序繼續(xù)加工，檢驗(yàn)是需要成本的，那么，提高檢驗(yàn)臺(tái)的工作效率，減少生產(chǎn)成本，是我們必須考慮的一個(gè)問題．提出問題如圖，設(shè)這批機(jī)器為A1，A2，A3，…，An，假設(shè)移動(dòng)零件所需費(fèi)用與所移動(dòng)的距離成正比．問檢驗(yàn)臺(tái)放在哪里，可以使所有零件移動(dòng)所花總費(fèi)用最少？分析問題這是來源于實(shí)際生活中的問題．可以將機(jī)器所在直線設(shè)為一條數(shù)軸，n臺(tái)機(jī)器所在位置記為A1，A2，A3，…，An，設(shè)檢驗(yàn)臺(tái)位置為x，總距離為y，則y＝|x－A1|＋|x－A2|＋…＋|x－An|.在解答問題之前，先看看下面兩個(gè)函數(shù)的圖象．思考下列問題：(1)這兩個(gè)函數(shù)是否有最值？若有，當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)有最值？(2)你能畫出函數(shù)y＝|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－202|的圖象嗎？(3)你能將這些結(jié)論繼續(xù)推廣嗎？(4)這些結(jié)論是否有實(shí)際用途？(5)你還想到了什么？解決問題結(jié)合圖象不難回答問題(1)，通過研究函數(shù)y＝|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－202|的圖象和最值情況，可以得到以下結(jié)論：形如y＝|x－A1|＋|x－A2|＋…＋|x－An|的函數(shù)，假設(shè)A1，A2，A3，…，An是這n個(gè)不同的常數(shù)從小到大的排列，若n為奇數(shù)，設(shè)這一列數(shù)中間一個(gè)數(shù)為p，則當(dāng)x＝p時(shí)，函數(shù)有最小值；若n是偶數(shù)，設(shè)這一列數(shù)中間兩個(gè)數(shù)依次為m，n，則當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)有最小值．評價(jià)與推廣1．根據(jù)上述問題的思路，繼續(xù)研究下列問題：如圖，一條鐵路線上AB段長100km，工廠C到鐵路的垂直距離CA為20km.現(xiàn)要在AB上某一點(diǎn)D處，向C修一條公路，已知鐵路運(yùn)送相同量物資的速度與公路運(yùn)送相同量物資的速度之比為5∶3.為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的時(shí)間最短，D應(yīng)選在何處？

從上述解答過程不難看出，數(shù)學(xué)中的很多問題來源于實(shí)際，而且數(shù)學(xué)和物理是不可分割的，這就要求我們在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的時(shí)候必須要有豐富的知識(shí)面，同時(shí)，也要對一個(gè)問題進(jìn)行發(fā)散思考，不斷開拓思路，發(fā)掘方法．2．有了本問題的研究結(jié)論后，形如y＝|x－A1|＋|x－A2|＋…＋|x－An|的函數(shù)圖象也就可以畫出來了，這個(gè)結(jié)論有很多的應(yīng)用，如(1)關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x－2|>a的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)求函數(shù)y＝3|x＋1|＋|5x－2|＋2|x－3|的最值．3．本節(jié)的問題還可以改為：有M1，M2，M3，…，Mn等n臺(tái)機(jī)器位于一條直線上，它們的工作效率分別為N1，N2，N3，…，Nn.它們所生產(chǎn)的零件必須送到同一個(gè)