2023-2024學年湘教版必修第二冊 6-2數(shù)學建模案例一燒開水問題 課件（11張）

6.2數(shù)學建模案例(一)：燒開水問題發(fā)現(xiàn)問題節(jié)約用氣是非?，F(xiàn)實的問題，也是降低生活能耗的重要途徑．提出問題節(jié)約燃氣有很多途徑，現(xiàn)給定以下任務：取定一壺水，希望在不更換水壺，且不能對壺中的水進行其他處理的情況下，只通過控制燃氣閥門改變氣流量，使燒開這壺水所使用燃氣量最少．分析問題為使問題的研究方便，這里只考慮一次性燒開一壺水，且燒開一壺水期間不改變?nèi)細忾y門大小的情況，進行以下實驗，實驗方案如下：1．給定燃氣灶和一只水壺，選擇燃氣灶旋鈕的五個位置(當然多選一些更好，這里由于是粗略地尋找一個最佳位置，故只選擇五個位置，在要求精度較高的情況下，可以探究更多的位置)．因為關閉時，燃氣旋鈕的位置為豎直方向，我們把這個位置定為0°，燃氣開到最大時，旋鈕轉(zhuǎn)了90°.為了方便計算，將0°～90°五等分，如圖，分別以18°，36°，54°，72°，90°來確定五個位置(其他位置選取方法，同學們可以自己進行嘗試)．2．在選好的五個位置上，分別記錄燒開一壺水所需的時間和所用的燃氣量，得到了幾組實驗數(shù)據(jù)，如下表：位置項目開始時燃氣讀表數(shù)/m3水開時燃氣讀表數(shù)/m3所需燃氣量/m318°9.0809.2100.13036°8.9589.0800.12254°8.8198.9580.13972°8.6708.8190.14990°8.4988.6700.172解決問題1．作散點圖．以旋鈕角度為橫坐標(x)，燃氣用量為縱坐標(y)，將以上數(shù)據(jù)描在坐標紙上，如圖．

檢驗與改進1．取旋鈕39°的位置，燒一壺開水，記錄所得實際用氣量是不是0.1218m3.如果基本吻合，就可以依此作結(jié)論了．如果相差太大，特別是當用氣量大于0.1218m3時，最小值點就肯定不是39°，說明上述三組數(shù)據(jù)取得不好，可以換另外的點重新計算，然后再檢驗，直到結(jié)果與實際比較接近就可以了．實際上，如果我們?nèi)?18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，求出的函數(shù)最小值點就會小于39°.2．當旋鈕旋轉(zhuǎn)的角度很小，即有一點點火時，其火力是不能夠?qū)⑺疅_的，長時間燃燒，燃氣量可以是非常大的，也就是說，散點圖中貼近縱軸的點的位置會非常高，那么這個圖象就不是一元二次函數(shù)的圖象了，因此，前面說“用一元二次函數(shù)近似地表示這種變化”是有局限性的，也只能說18°～90°這個局部比較適用，而燃氣最少用量恰在這個局部取得，于是選用一元二次函數(shù)模型是可行的．3．在做實驗時，每次燒水時的水壺溫度并不是真的完全一樣，并且由于燒水的過程中有熱量散失，這都會影響實驗結(jié)果．另外每次的讀數(shù)也可能會不夠準確，我們在建立函數(shù)模型之前做了這樣的假設：實驗足夠精確的，所得實驗數(shù)據(jù)是準確的．4.盡管假設每次實驗是準確的，但是實驗都受客觀環(huán)境的影響，不能保證環(huán)境是穩(wěn)定的．僅根據(jù)一組實驗數(shù)據(jù)就建立數(shù)學模型可能與實際有較大的差距，可以重復多做幾次實驗，取幾次實驗數(shù)據(jù)的平均值，就可以減少誤差．評價與推廣該模型建立過程中的假設條件太強．該模型只考慮通過改變閥門位置來達到節(jié)約燃氣用量的目的，有一定的局限性，實際過程中也可以考慮通過控制