2024屆湖南省長沙市明達中學高二數學第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆湖南省長沙市明達中學高二數學第二學期期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若1-2x2019=a0+A．2017 B．2018 C．2019 D．20202．下列說法正確的是()A．“f(0)”是“函數

f（x）是奇函數”的充要條件B．若

p：，，則：，C．“若，則”的否命題是“若，則”D．若為假命題，則p，q均為假命題3．設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（）A． B． C． D．4．的展開式中的系數是（）A．16 B．70 C．560 D．11205．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．6．設函數為自然對數的底數）在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知函數的圖象如圖所示，若，且，則的值為（）A． B． C．1 D．08．有10名學生和2名老師共12人,從這12人選出3人參加一項實踐活動則恰有1名老師被選中的概率為（）A．922 B．716 C．99．的展開式中的系數為A． B． C． D．10．已知函數，則不等式的解集是（）A． B． C． D．11．定義在上的偶函數滿足，且在上單調遞增，設，，，則，，大小關系是（）A． B．C． D．12．隨機變量的分布列如下表，其中，，成等差數列，且，246則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，則在處的切線方程為_______________.14．5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為______.15．已知函數，若正實數滿足，則的最小值是__________．16．下圖所示的算法流程圖中，輸出的表達式為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數的最小值為M.（1）求M；（2）若正實數，，滿足，求：的最小值.18．（12分）已知函數的定義域為，且對任意實數恒有（且）成立.（1）求函數的解析式；（2）討論在上的單調性，并用定義加以證明.19．（12分）某公司生產一種產品，每年投入固定成本萬元.此外，每生產件這種產品還需要增加投入萬元.經測算，市場對該產品的年需求量為件，且當出售的這種產品的數量為（單位：百件）時，銷售所得的收入約為（萬元）.（1）若該公司這種產品的年產量為（單位：百件），試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為年產量的函數；（2）當該公司的年產量為多少時，當年所得利潤最大？最大為多少？20．（12分）某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在某學院大一年級名學生中進行了抽樣調查，發(fā)現喜歡甜品的占.這名學生中南方學生共人。南方學生中有人不喜歡甜品.（1）完成下列列聯表：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生北方學生合計（2）根據表中數據，問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（3）已知在被調查的南方學生中有名數學系的學生，其中名不喜歡甜品；有名物理系的學生，其中名不喜歡甜品.現從這兩個系的學生中，各隨機抽取人，記抽出的人中不喜歡甜品的人數為，求的分布列和數學期望.附：.0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521．（12分）設命題函數的值域為；命題對一切實數恒成立，若命題“”為假命題，求實數的取值范圍.22．（10分）若正數滿足，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

通過對等式中的x分別賦0，1，求出常數項和各項系數和得到要求的值.【題目詳解】令x=0，得a0令x=1，得-1=a所以a0故選A.【題目點撥】該題考查的是有二項展開式中系數和的有關運算問題，涉及到的知識點有應用賦值法求二項式系數和與常數項，屬于簡單題目.2、C【解題分析】

根據四種命題之間的關系，對選項中的命題分析、判斷即可．【題目詳解】對于A，f（0）＝0時，函數f（x）不一定是奇函數，如f（x）＝x2，x∈R；函數f（x）是奇函數時，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；是即不充分也不必要條件，A錯誤；對于B，命題p：，則￢p：?x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B錯誤；對于C，若α，則sinα的否命題是“若α，則sinα”，∴Ｃ正確．對于D，若p∧q為假命題，則p，q至少有一假命題，∴Ｄ錯誤；故選C．【題目點撥】本題考查了命題真假的判斷問題，涉及到奇函數的性質，特稱命題的否定，原命題的否命題，復合命題與簡單命題的關系等知識，是基礎題．3、B【解題分析】

由題意知函數y＝ex與y＝ln(2x)互為反函數，其圖象關于直線y＝x對稱，兩曲線上點之間的最小距離就是y＝x與y＝ex上點的最小距離的2倍．設y＝ex上點(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行．則，∴x0＝ln2，y0＝1，∴點(x0，y0)到y(tǒng)＝x的距離為＝(1－ln2)，則|PQ|的最小值為(1－ln2)×2＝(1－ln2)．4、D【解題分析】

設含的為第，所以，故系數為：，選D．5、C【解題分析】

求出雙曲線的漸近線方程，再由兩直線垂直的條件，可得，b=2a，再由a，b，c的關系和離心率公式，即可得到所求．【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，由題意有，所以，，故離心率.故選：C．【題目點撥】本題考查雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程和離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎題．6、D【解題分析】

根據單調性與導數的關系，有在上恒成立，將恒成立問題轉化成最值問題，利用導數，研究的單調性，求出最小值，即可得到實數的取值范圍。【題目詳解】依題意得，在上恒成立，即在上恒成立，設，令，，，所以，，，故選D。【題目點撥】本題主要考查函數單調性與導數的關系，將函數在某區(qū)間單調轉化為導數或者的恒成立問題，再將其轉化為最值問題，是解決此類問題的常規(guī)思路。7、C【解題分析】由題意得，，則，又，即，解得，所以，令，即，，解得該函數的對稱軸為，則，即，所以，故選C.8、A【解題分析】

先求出從12人中選3人的方法數，再計算3人中有1人是老師的方法數，最后根據概率公式計算．【題目詳解】從12人中選3人的方法數為n=C123=220，3人中愉有∴所求概率為P=m故選A．【題目點撥】本題考查古典概型，解題關鍵是求出完成事件的方法數．9、D【解題分析】分析：先求出二項式展開式的通項，再令x的指數為4得到r的值，即得的展開式中的系數.詳解：由題得二項展開式的通項為,令10-3r=4,所以r=2,所以的展開式中的系數為.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查二項式展開式中某項的系數的求法，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)的展開式中的系數為,不是,要把二項式系數和某一項的系數兩個不同的概念區(qū)分開.10、C【解題分析】

先判斷出函數為奇函數且在定義域內單調遞增，然后把不等式變形為，再利用單調性求解即可．【題目詳解】由題意得，函數的定義域為R．∵，∴函數為奇函數．又根據復合函數的單調性可得，函數在定義域上單調遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．【題目點撥】解答本題的關鍵是挖掘題意、由條件得到函數的奇偶性和單調性，最后根據函數的單調性求解，這是解答抽象不等式（即不知表達式的不等式）問題的常用方法，考查理解和應用能力，具有一定的難度和靈活性．11、C【解題分析】

試題分析：可知函數周期為，所以在上單調遞增，則在單調遞減，故有.選C考點：函數的奇偶性與單調性．【題目詳解】請在此輸入詳解！12、A【解題分析】

根據a,b,c成等差數列，a+b+c=1，可解得a,b,c，進而求出.【題目詳解】由，得.則，故選A.【題目點撥】本題考查根據隨機變量X的分布列求概率，分析題目條件易求出．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求導數，令，可得，求出，即可求出切線方程?！绢}目詳解】；；又；在處的切線方程為，即；故答案為：【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于基礎題。14、240.【解題分析】

先把5本書取出兩本看做一個元素，這一元素和其他的三個元素分給四個同學，相當于在四個位置全排列，根據分步乘法計數原理即可得出結果.【題目詳解】從5本書中取出兩本看做一個元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個元素分給四個同學共有種不同的分法，根據分步乘法計數原理，共有種不同的分法.故答案為：240【題目點撥】本題主要考查了排列組合的綜合應用，分步乘法計數原理，屬于中檔題.15、【解題分析】因為，所以函數為單調遞增奇函數，因此由，得因此，當且僅當時取等號.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.16、【解題分析】

根據流程圖知當，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，依此類推，當，不滿足條件，退出循環(huán)體，從而得到結論．【題目詳解】，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，…依此類推，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，退出循環(huán)體，輸出，故答案為．【題目點撥】本題主要考查了循環(huán)結構應用問題，此循環(huán)是先判斷后循環(huán)，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）3.【解題分析】

將絕對值函數寫成分段函數形式，分別求出各段的最小值，最小的即為函數的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均數算數平均數，即可解出最小值?！绢}目詳解】（1）如圖所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴當且僅當，是值最小∴的最小值為3.【題目點撥】本題考查絕對值函數及平方平均數與算數平均數的大小關系，屬于基礎題.18、（1）（2）當時，在上為單調減函數；當時，在上為單調增函數.【解題分析】試題分析：（1）①，用替換①式中的有：②，由①②消去即可得結果；（2）討論兩種情況，分別利用復合函數的單調性判斷其單調性，再利用定義意且，判定的符合，即可證明結論.試題解析：（1）∵對任意實數恒有：①，用替換①式中的有：②，①×②—②得：，（2）當時，函數為單調減函數，函數也為單調減函數，∴在上為單調減函數.當時，函數為單調增函數，函數也為單調增函數，∴在上為單調增函數.證明：設任意且，則，∵，，①當時，則，∴∴在上是減函數.②當時，則，∴∴在上是增函數.綜上：當時，在上為單調減函數；當時，在上為單調增函數.19、(1);(2)當年產量為件時，所得利潤最大.【解題分析】分析：（1）利用銷售額減去成本即可得到年利潤關于年產量的函數解析式；（2）分別利用二次函數的性質以及函數的單調性，求得兩段函數值的取值范圍，從而可得結果.詳解：（1）由題意得：；（2）當時，函數對稱軸為，故當時，；當時，函數單調遞減，故，所以當年產量為件時，所得利潤最大.點睛：本題主要考查閱讀能力及建模能力、分段函數的解析式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是構造分段函數，構造分段函數時，做到分段合理、不重不漏，分段函數的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).20、(1)列聯表見解析.(2)有的把認為“南方學生和北方學生在選甜品的飲食習慣方面有差異”.(3)分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）根據數據填寫表格，（2）根據卡方公式得，再與參考數據比較得可靠率，（3）先列隨機變量可能取法，再利用組合數求對應概率，最后根據數學期望公式求期望.詳解：（1）喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100（2）由題意，，∴有的把握認為“南方學生和北方學生在選甜品的飲食習慣方面有差異”.（3）的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，則的分布列為0123所以的數學期望.點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；