2024屆北京市第四十三中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆北京市第四十三中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).現(xiàn)擬把這4部著作分給甲、乙、丙3位同學(xué)閱讀，每人至少1本，則甲沒(méi)分到《周髀算經(jīng)》的分配方法共有（）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種2．已知函數(shù)，則函數(shù)g（x）＝xf（x）﹣1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（）A． B． C． D．4．已知，且，則a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣25．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）．A． B．C． D．6．已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．7．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A． B． C． D．8．已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，，都有，且對(duì)于任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知l、m、n是空間三條直線，則下列命題正確的是（）A．若l//m，l//n，則m//nB．若l⊥m，l⊥n，則m//nC．若點(diǎn)A、B不在直線l上，且到l的距離相等，則直線AB//lD．若三條直線l、m、n兩兩相交，則直線l、m、n共面10．設(shè)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則到該雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為（）A．4 B． C． D．11．在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是（）A． B． C． D．12．下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．將一個(gè)總體分為A、B、C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5：3：2，若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取_________個(gè)個(gè)體．15．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下圖，則___________．123416．某超市國(guó)慶大酬賓，購(gòu)物滿100元可參加一次游戲抽獎(jiǎng)活動(dòng)，游戲抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：顧客將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器正上方的入口處，小球自由落下過(guò)程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得獎(jiǎng)金4元，落入B袋得獎(jiǎng)金8元，已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左向右下落的概率都為.已知李女士當(dāng)天在該超市購(gòu)物消費(fèi)128元，按照活動(dòng)要求，李女士的活動(dòng)獎(jiǎng)金期望值為_(kāi)____元.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）函數(shù)令，．（1）求并猜想的表達(dá)式（不需要證明）；（2）與相切，求的值．18．（12分）已知曲線y=x3+x－2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線4x－y－1=0，且點(diǎn)P0在第三象限,⑴求P0的坐標(biāo);⑵若直線,且l也過(guò)切點(diǎn)P0,求直線l的方程.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.20．（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)（用數(shù)字作答）．（1）全體排成一行，其中男生甲不在最左邊；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰.21．（12分）已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)求展開(kāi)式中含的項(xiàng).22．（10分）設(shè)λ是正實(shí)數(shù)，（1+λx）20的二項(xiàng)展開(kāi)式為a0+a1x+a2x2+…+a20x20，其中a0，a1，…，a20，…，均為常數(shù)（1）若a3＝12a2，求λ的值；（2）若a5≥an對(duì)一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先不考慮限制條件，則共有種方法，若甲分到《周髀算經(jīng)》，有兩種情況：甲分到一本（只有《周髀算經(jīng)》），甲分到2本（包括《周髀算經(jīng)》），減去即可.詳解：先不考慮限制條件，則共有種方法，若甲分到《周髀算經(jīng)》，有兩種情況：甲分到一本（只有《周髀算經(jīng)》），此時(shí)共有種方法；甲分到2本（包括《周髀算經(jīng)》），此時(shí)共有種方法，則分配方法共有種.點(diǎn)睛：本題考查了分組分配的問(wèn)題，關(guān)鍵在于除去不符合條件的情況，屬于基礎(chǔ)題2、B【解題分析】

由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）與h（x）的圖象，研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到結(jié)論．【題目詳解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，則等價(jià)為f（x）＝，當(dāng)2＜x≤4時(shí)，0＜x﹣2≤2，此時(shí)f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，當(dāng)4＜x≤6時(shí)，2＜x﹣2≤4，此時(shí)f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的圖象如圖，則f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，設(shè)h（x）＝，則h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．3、A【解題分析】

由二項(xiàng)分布的公式即可求得時(shí)概率值.【題目詳解】由二項(xiàng)分布公式：.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的公式，由題意代入公式即可求出.4、B【解題分析】

根據(jù)，可得，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，，且，則，解得或，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了共線向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用，其中解答中熟記共線向量的概念以及坐標(biāo)表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

根據(jù)最值計(jì)算，利用周期計(jì)算，當(dāng)時(shí)取得最大值2，計(jì)算，得到函數(shù)解析式.【題目詳解】由題意可知，因?yàn)?當(dāng)時(shí)取得最大值2，所以:，所以:，解得:，因?yàn)?，所以:可得，可得函數(shù)的解析式:．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)分別為和(s，t)，再由導(dǎo)數(shù)求得斜率相等，得到構(gòu)造函數(shù)由導(dǎo)數(shù)求得參數(shù)的范圍?！绢}目詳解】的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為與曲線相切的切點(diǎn)為(s，t)，則有公共切線斜率為又，即有，即為，即有則有即為令則，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得a的取值范圍是，故選B．【題目點(diǎn)撥】可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在處的切線斜率,這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線切線方程時(shí),要注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線”與“過(guò)某點(diǎn)的切線”,已知y=f(x)在處的切線是,若求曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)(m,n)的切線,應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn),把(m,n)代入,求出切點(diǎn)，然后再確定切線方程.而對(duì)于切線相同，則分別設(shè)切點(diǎn)求出切線方程，再兩直線方程系數(shù)成比例。7、B【解題分析】

求導(dǎo)后代入即可得出答案?！绢}目詳解】故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求切線斜率。屬于基礎(chǔ)題。8、B【解題分析】

由可判斷函數(shù)為減函數(shù)，將變形為，再將函數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題即可【題目詳解】，又是定義在上的奇函數(shù)，為R上減函數(shù)，故可變形為，即，根據(jù)函數(shù)在R上為減函數(shù)可得，整理后得，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，為減函數(shù)在恒成立，即，當(dāng)時(shí)，有最小值所以答案選B【題目點(diǎn)撥】奇偶性與增減性結(jié)合考查函數(shù)性質(zhì)的題型重在根據(jù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化函數(shù)，學(xué)會(huì)去“”；本題還涉及恒成立問(wèn)題，一般通過(guò)分離參數(shù)，處理函數(shù)在某一區(qū)間恒成立問(wèn)題9、A【解題分析】分析：由公理4可判斷A，利用空間直線之間的位置關(guān)系可判斷B，C，D的正誤，從而得到答案．詳解：由公理4可知A正確；若l⊥m，l⊥n，則m∥n或m與n相交或異面，故B錯(cuò)誤；若點(diǎn)A、B不在直線l上，且到l的距離相等，則直線AB∥l或AB與l異面，故C錯(cuò)誤；若三條直線l，m，n兩兩相交，且不共點(diǎn)，則直線l，m，n共面，故D錯(cuò)誤．故選A．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，掌握空間直線的位置關(guān)系是判斷的基礎(chǔ)，對(duì)于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷．還可以畫出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見(jiàn)的立體圖形，將點(diǎn)線面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷．10、A【解題分析】

直接利用雙曲線的定義分析解答得解.【題目詳解】由題得.由雙曲線的定義可知到該雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.11、B【解題分析】

先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，確定其圓心的直角坐標(biāo)再化成極坐標(biāo)即可．【題目詳解】圓化為,，配方為，因此圓心直角坐標(biāo)為，可得圓心的極坐標(biāo)為故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，比較基礎(chǔ)．12、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù).對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)圖像沒(méi)有對(duì)稱性，故為非奇非偶函數(shù).對(duì)于D選項(xiàng)，在上有增有減.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意可得有兩個(gè)不等實(shí)根，作出，，，的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得極值，考慮極小值與的關(guān)系，計(jì)算可得所求范圍．【題目詳解】函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，

可得有兩個(gè)不等實(shí)根，

由的導(dǎo)數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

可得處取得極大值，取得極小值，

且過(guò)，，作出，，，的圖象，

以及直線，如圖，此時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn),只需滿足，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，取得極大值a，如圖，

只需滿足，解得，又，所以時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，顯然與有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，綜上可得a的范圍是，故答案為：.

【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值，考查圖象變換，屬于難題．14、1．【解題分析】解：∵A、B、C三層，個(gè)體數(shù)之比為5：3：2．又有總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，∴分層抽樣應(yīng)從C中抽取100×=1．故答案為1．15、【解題分析】

依題意可知，根據(jù)分布列計(jì)算可得；【題目詳解】解：依題意可得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與和概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、5【解題分析】

先記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，分別求出其對(duì)應(yīng)概率，再由題意得到抽取活動(dòng)獎(jiǎng)金的可能取值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，由題意可得，所以.因?yàn)槔钆慨?dāng)天在該超市購(gòu)物消費(fèi)128元，按照活動(dòng)要求，李女士可參加一次抽獎(jiǎng)，抽取活動(dòng)獎(jiǎng)金的可能取值為，所以期望為.故答案為5【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，熟記概念即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）4【解題分析】

（1）分別求出和的解析式，結(jié)合函數(shù)的解析式歸納出函數(shù)的解析式；（2）設(shè)切點(diǎn)，由函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率等于直線，以及點(diǎn)為直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)，利用這兩個(gè)條件列方程組求出的值?！绢}目詳解】（1），.猜想.（2）設(shè)切點(diǎn)為，，,切線斜率，解得.所以.所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在處理直線與函數(shù)相切的問(wèn)題時(shí)，抓住以下兩個(gè)基本點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；（2）切點(diǎn)為切線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)。另外，在處理直線與二次曲線或反比例型函數(shù)圖象相切的問(wèn)題，也可以將直線與曲線方程聯(lián)立，利用判別式為零處理。18、（1）（2）【解題分析】

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩條直線的位置關(guān)系，平行和垂直的運(yùn)用．以及直線方程的求解的綜合運(yùn)用．首先根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)定義，得到點(diǎn)P3的坐標(biāo)，然后利用，設(shè)出方程為x+2y+c=3,根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)P3得到結(jié)論．解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=2，解之得x=±1．當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2．又∵點(diǎn)P3在第三象限，∴切點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-1，-2）；（2）∵直線l⊥l1，l1的斜率為2，∴直線l的斜率為-1/2，∵l過(guò)切點(diǎn)P3，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-1，-2）∴直線l的方程為y+2=（x+1）即x+2y+17=3．19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點(diǎn)，等價(jià)研究的零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2，當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.20、（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種；【解題分析】

（1）特殊位置用優(yōu)先法，先排最左邊，再排余下位置。（2）相鄰問(wèn)題用捆綁法，將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列。（3）不相鄰問(wèn)題用插空法，先排好女生，然后將男生插入其中的五個(gè)空位。【題目詳解】（1）先排最左邊，除去甲外有種，余下的6個(gè)位置全排有種，則符合條件的排法共有種.（2）將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有576種；（3）先排好女生，然后將男生插入其中的五個(gè)空位，共有種.答：（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；