2024屆山西省應(yīng)一中數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆山西省應(yīng)一中數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足,則=A．-2i B．2i C．-2 D．22．已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．3．給出一個(gè)命題p：若，且，則a，b，c，d中至少有一個(gè)小于零，在用反證法證明p時(shí)，應(yīng)該假設(shè)（）A．a(chǎn)，b，c，d中至少有一個(gè)正數(shù) B．a(chǎn)，b，c，d全為正數(shù)C．a(chǎn)，b，c，d全都大于或等于0 D．a(chǎn)，b，c，d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù)4．兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是A． B． C． D．5．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中，．由右橢圓的焦點(diǎn)和左橢圓的焦點(diǎn)，確定叫做“果圓”的焦點(diǎn)三角形，若“果圓”的焦點(diǎn)為直角三角形．則右橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有成立，則的最小值為（）A．4 B．1 C． D．28．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則等于（）A．B．C．D．9．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的圖形是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．線段10．命題“任意”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．11．設(shè)是函數(shù)的定義域，若存在，使，則稱是的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間I上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”.若函數(shù)在上存在三個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中的系數(shù)是__________．14．若交大附中共有名教職工，那么其中至少有兩人生日在同一天的概率為_(kāi)_________．15．已知變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．16．已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，，O是AC的中點(diǎn)，，，．（1）證明：平面平面ABC；（2）若，，D是AB的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．18．（12分）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知過(guò)點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C：x2（1）若直線l的斜率為k，求k的取值范圍；（2）若以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（1，0），求直線l的方程．20．（12分）在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，高OP=6，E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PA上的點(diǎn)且PF=12(1)求平面EFG的一個(gè)法向量n；(2)求直線AG與平面EFG所成角θ的大??；(3)求點(diǎn)A到平面EFG的距離d．21．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，(0，)，求的值；（2）若＝，＝，(0，)，求的值．22．（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】由得,即,所以,故選A.【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化.注意下面結(jié)論的靈活運(yùn)用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.2、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值進(jìn)行排除可得結(jié)果．【題目詳解】由題意，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除D；又，所以排除B,C．故選A．【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)的解析式判斷圖象的大體形狀時(shí)，可根據(jù)函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性：如奇函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，這是判斷圖象時(shí)常用的方法之一．3、C【解題分析】

由“中至少一個(gè)小于零”的否定為“全都大于等于”即可求解.【題目詳解】因?yàn)椤癮，b，c，d中至少有一個(gè)小于零”的否定為“全都大于等于”,

所以由用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法可得,應(yīng)假設(shè)“全都大于等于”,

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了反證法，反證法的證明步驟，屬于容易題.4、D【解題分析】

分別分析三個(gè)圖中的點(diǎn)的分布情況，即可得出圖是正相關(guān)關(guān)系，圖不相關(guān)的，圖是負(fù)相關(guān)關(guān)系．【題目詳解】對(duì)于，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左到右上升，是正相關(guān)關(guān)系；對(duì)于，圖中的點(diǎn)沒(méi)有明顯的帶狀分布，是不相關(guān)的；對(duì)于，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左到右是下降的，是負(fù)相關(guān)關(guān)系．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利散點(diǎn)圖判斷相關(guān)性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

先將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)，最后根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)確定象限.【題目詳解】解：∵，∴，∴復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點(diǎn)睛：首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為6、B【解題分析】

根據(jù)“果圓”關(guān)于軸對(duì)稱，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關(guān)于，，之間的關(guān)系式，求出結(jié)果.【題目詳解】解：連接，，根據(jù)“果圓”關(guān)于軸對(duì)稱，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分別是橢圓和的半焦距，，即.，.即，.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.7、D【解題分析】

由題意得出的一個(gè)最大值為，一個(gè)最小值為，于此得出的最小值為函數(shù)的半個(gè)周期，于此得出答案．【題目詳解】對(duì)任意的，成立.所以，，所以，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦型函數(shù)的周期性，根據(jù)題中條件得出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數(shù)的周期公式，考查分析問(wèn)題的能力，屬于中等題．8、C【解題分析】，故選C.9、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)P到對(duì)應(yīng)的定點(diǎn)的距離之和為定值2，且，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為線段.【題目詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為,則由知：,又，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，動(dòng)點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.10、C【解題分析】試題分析：對(duì)此任意性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)，即，，若是原命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件，那應(yīng)是的真子集，故選C.考點(diǎn)：1.集合；2.充分必要條件.11、A【解題分析】

由已知得在上有三個(gè)解。即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求出，利用導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)求解。【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在三個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，所以在上有三個(gè)解，即在上有三個(gè)解，設(shè)，則，由已知，令得，即或當(dāng)時(shí)，，；，，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則即，解得；當(dāng)時(shí)，，；，，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則即，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，以及利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于綜合體。12、B【解題分析】

由題意知函數(shù)y＝ex與y＝ln(2x)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是y＝x與y＝ex上點(diǎn)的最小距離的2倍．設(shè)y＝ex上點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行．則，∴x0＝ln2，y0＝1，∴點(diǎn)(x0，y0)到y(tǒng)＝x的距離為＝(1－ln2)，則|PQ|的最小值為(1－ln2)×2＝(1－ln2)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、243【解題分析】分析：先得到二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后根據(jù)組合的方式可得到所求項(xiàng)的系數(shù)．詳解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，∴展開(kāi)式中的系數(shù)為.點(diǎn)睛：對(duì)于非二項(xiàng)式的問(wèn)題，解題時(shí)可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題處理，對(duì)于無(wú)法轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題，可根據(jù)組合的方式“湊”出所求的項(xiàng)或其系數(shù)，此時(shí)要注意考慮問(wèn)題的全面性，防止漏掉部分情況．14、1【解題分析】分析：根據(jù)每年有天，可判斷名教職工，中至少有兩人生日在同一天為必然事件,從而可得結(jié)果.詳解：假設(shè)每一天只有一個(gè)人生日，則還有人，所以至少兩個(gè)人同日生為必然事件，所以至少有兩人生日在同一天的概率為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查必然事件的定義以及必然事件的概率，屬于簡(jiǎn)單題.15、4【解題分析】分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義和數(shù)形結(jié)合即可得到答案詳解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由可得：平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最小，解得，即此時(shí)故目標(biāo)函數(shù)的最小值為點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是線性規(guī)劃的應(yīng)用，畫(huà)出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，在軸的截距問(wèn)題即可解答。16、【解題分析】

利用將變?yōu)?，整理發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，進(jìn)一步可以求出，再將，代入，發(fā)現(xiàn)可以裂項(xiàng)求的前99項(xiàng)和?！绢}目詳解】當(dāng)時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，符合，【題目點(diǎn)撥】一般公式的使用是將變?yōu)椋绢}是將變?yōu)?，給后面的整理帶來(lái)方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解題分析】

（1）利用PO⊥AC，OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．可證明PO⊥面ABC，即可得平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）得PO⊥面ABC，過(guò)O作OM⊥CD于M，連接PM，則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的補(bǔ)角．解三角形POM即可．【題目詳解】（1）∵AP＝CP，O是AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC，∵PO＝1，OB＝2，．∴OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，∴PO⊥面ABC，∵PO?面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）得PO⊥面ABC，過(guò)O作OM⊥CD于M，連接PM，則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的平面角的補(bǔ)角．∵OC1，∴AC＝2，AB，∴CD．∴S△COD∴，∴OM．PM．∴∴二面角P﹣CD﹣B的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間面面垂直的證明，空間二面角的求解，作出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．18、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2）【解題分析】

(1)將參數(shù)值代入得到函數(shù)的表達(dá)式，將原函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2），因?yàn)槭堑臉O小值點(diǎn)，所以，得到；分情況討論，每種情況下是否滿足x=1是函數(shù)的極值，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）由題由，得由，得；由，得的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2），因?yàn)槭堑臉O小值點(diǎn)，所以，即，所以1°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以是的極小值點(diǎn)，符合題意；2°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以是的極小值點(diǎn)，符合題意；3°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不合題意4°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以是的極大值點(diǎn)，不符合題意；綜上知，所求的取值范圍為【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和單調(diào)性中的應(yīng)用，極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，但是必須是變號(hào)零點(diǎn)，即在零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值正負(fù)相反；極值即將極值點(diǎn)代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念，再者對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后如果出現(xiàn)二次，則極值點(diǎn)就是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根，可以結(jié)合韋達(dá)定理應(yīng)用解答．19、（1）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（2）x=0或y=-7【解題分析】試題分析：（1）由題意設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程后由判別式大于求得的取值范圍；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由EP·EQ=0求得值，則直線l方程可求.試題解析：（1）依題意，直線l的方程為y=kx+2，由x23+y2=1y=kx+2,消去y得(3k2+1)x（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0,則P(0,1),Q(0,-1),此時(shí)以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E(1,0)，滿足題意.直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2EP=(k2+1)因?yàn)橐灾睆降膱A過(guò)點(diǎn)E(1,0)，所以EP·EQ=0，即12k+143k2故直線l的方程為y=-76x+2.綜上，所求直線l的方程為x=0考點(diǎn)：1.直線與橢圓的綜合問(wèn)題；2.韋達(dá)定理.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了設(shè)而不求的解題思想方法，是中檔題，本題（1）問(wèn)主要是聯(lián)立直線與橢圓方程，化成一元二次方程的判別式大于求出的取值范圍，（2）利用EP·EQ=0求出值，進(jìn)而求出直線方程,因此解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)應(yīng)該熟練運(yùn)用韋達(dá)定理解題.20、（1）n=(0,1，2)（2）直線AG與平面EFG所成角θ=arcsin（3）6【解題分析】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，-2)，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y，z)，由n?EF(2)求出AG=(-8,2，2)，由sinθ=|cos<AG,n(3)求出EA=(6,2，-4)，由點(diǎn)A到平面EFG的距離d=【題目詳解】(1)∵在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，高OP=6E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PAG是△PBC的重心.如圖建立空間直角坐標(biāo)系．∴D(0,-6,0)，P(0,0，6)，E(0,-2,4)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(-6,0，0)，G(-2,2，2)，EF=(3,2，-1)，EG=(-2,