山西省忻州一中、臨汾一中、精英中學(xué)、鄂爾多斯一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

山西省忻州一中、臨汾一中、精英中學(xué)、鄂爾多斯一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，則（）A． B． C． D．2．直線（為參數(shù)）上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B．C．或 D．或3．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．34．己知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______.A． B． C． D．5．已知，且，.若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為（）A． B． C．1 D．6．若曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且,當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪8．設(shè)集合,，則（）A． B． C． D．9．以下四個(gè)命題中，真命題的是（）A．B．“對(duì)任意的”的否定是“存在”C．，函數(shù)都不是偶函數(shù)D．中，“”是“”的充要條件10．如圖，在楊輝三角中，虛線所對(duì)應(yīng)的斜行的各數(shù)之和構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的第10項(xiàng)為（）A．55 B．89 C．120 D．14411．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象有可能是（）A． B．C． D．12．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則_____14．的不同正約數(shù)共有______個(gè)．15．引入隨機(jī)變量后，下列說(shuō)法正確的有：__________（填寫出所有正確的序號(hào)）.①隨機(jī)事件個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)；②隨機(jī)變量與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)；③隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù).16．的平方根是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（12分）（1）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為，求復(fù)數(shù)；（2）求曲線、直線及兩坐標(biāo)軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積.20．（12分）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.21．（12分）學(xué)校某社團(tuán)參加某項(xiàng)比賽，需用木料制作如圖所示框架，框架下部是邊長(zhǎng)分別為的矩形，上部是一個(gè)半圓，要求框架圍成總面積為.（1）試寫出用料（即周長(zhǎng)）關(guān)于寬的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）求用料（即周長(zhǎng)）的最小值，并求出相應(yīng)的的值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)純虛數(shù)定義，可求得的值；代入后可得復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求得的值.【題目詳解】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，所以，則，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求出t的值，再求出點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】由，得，則，則所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線的參數(shù)方程和兩點(diǎn)間的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

本題考查期望與方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得結(jié)論．【題目詳解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故選C.考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望方差.4、B【解題分析】

首先解出集合,若滿足，則當(dāng)時(shí)，和恒成立，求的取值范圍.【題目詳解】，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)恒成立，即，而是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得：綜上：.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)給定區(qū)間不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，恒成立問(wèn)題可以參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，如果函數(shù)是二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為根的分布問(wèn)題，列不等式組求解.5、C【解題分析】

求出，可得，若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，，令，即，易知此方程最多有兩根，所以，，必有兩個(gè)相等，畫出的圖像，可得，根據(jù)圖像必有，可得，，可得答案.【題目詳解】解：由，可得，設(shè)，可得：，可得，由，可得，，可得，若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，，令，且，，則有，易知此方程最多有兩根，所以，，必有兩個(gè)相等，由，易得在上單調(diào)遞增，此時(shí)；在，此時(shí)，其大致圖像如圖所示，可得，根據(jù)圖像必有，又為的兩根，即為的兩根即又，故，，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查微分方程，函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等，綜合性大，屬于難題.6、A【解題分析】分析：設(shè)公共點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，建立方程組，即可求出a的值.詳解：設(shè)公共點(diǎn)，，，曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，，解得.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.7、B【解題分析】試題分析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有恒成立，所以恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因?yàn)椴坏仁降慕饧?，即不等式的解集，由上分析可得，其解集為∪，故?yīng)選．考點(diǎn)：1、函數(shù)的基本性質(zhì)；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則可知化為；然后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；再由可得函數(shù)在內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖像特征可得，函數(shù)在內(nèi)的正負(fù)性，即可得出所求的解集．8、C【解題分析】

先求出集合、，再利用交集的運(yùn)算律可得出集合.【題目詳解】，，因此，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)于集合運(yùn)算律的理解應(yīng)用，對(duì)于無(wú)限集之間的運(yùn)算，還可以結(jié)合數(shù)軸來(lái)理解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

解：A．若sinx＝tanx，則sinx＝tanx，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，則1，即cosx＝1，∵x∈（0，π），∴cosx＝1不成立，故?x∈（0，π），使sinx＝tanx錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤，B．“對(duì)任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1≤0”，故B錯(cuò)誤，C．當(dāng)θ時(shí)，f（x）＝sin（2x+θ）＝sin（2x）＝cos2x為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D．在△ABC中，C，則A+B，則由sinA+sinB＝sin（B）+sin（A）＝cosB+cosA，則必要性成立；∵sinA+sinB＝cosA+cosB，∴sinA﹣cosA＝cosB﹣sinB，兩邊平方得sin2A﹣2sinAcosA+cos2A＝sin2B﹣2sinBcosB+cos2B，∴1﹣2sinAcosA＝1﹣2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，則2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B，當(dāng)A＝B時(shí)，sinA+sinB＝cosA+cosB等價(jià)為2sinA＝2cosA，∴tanA＝1，即A＝B，此時(shí)C，綜上恒有C，即充分性成立，綜上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C”的充要條件，故D正確，故選D．考點(diǎn)：全稱命題的否定，充要條件等10、A【解題分析】

根據(jù)楊輝三角中，虛線所對(duì)應(yīng)的斜行的各數(shù)之和構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，找出規(guī)律，即可求出數(shù)列的第10項(xiàng)，得到答案.【題目詳解】由題意，可知，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，其中解答中讀懂題意，理清前后項(xiàng)的關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．詳解：由的圖象易得當(dāng)時(shí)

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．12、A【解題分析】本題考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性由函數(shù)的奇偶性定義易得，，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為時(shí)，變形為，由于2>1,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，變形為，可看成的復(fù)合，易知為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)故選擇A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，求得，令，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

將進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解為，然后利用約數(shù)和定理可得出的不同正約數(shù)個(gè)數(shù).【題目詳解】將進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解為，因此，的不同正約數(shù)共有.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查合數(shù)的正約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算，一般將合數(shù)質(zhì)因數(shù)分解，并利用約數(shù)和定理進(jìn)行計(jì)算，也可以采用列舉法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、③【解題分析】

要判斷各項(xiàng)中對(duì)隨機(jī)變量描述的正誤，需要牢記隨機(jī)變量的定義.【題目詳解】引入隨機(jī)變量,使我們可以研究一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的所有可能結(jié)果，所以隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù)，故③正確.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查隨機(jī)變量的相關(guān)定義，難度不大.16、【解題分析】

設(shè)的平方根為，由列方程組，解方程組求得.【題目詳解】設(shè)的平方根為（為實(shí)數(shù)），故，所以，解得，或，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查負(fù)數(shù)的平方根，考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點(diǎn)，連接DM,通過(guò)線面垂直證明平面，可推出，又，可證(2)通過(guò)作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過(guò)幾何法求出長(zhǎng)度，分別表示出線面角各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值【題目詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連接，，有，因?yàn)椋?，又因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所?（2）設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，由（1）可知，，所以，故，，，，，對(duì)平面，，，所以其法向量可表示為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【題目點(diǎn)撥】證線線垂直一般是通過(guò)線面垂直進(jìn)行證明，本題其實(shí)還可以采用射影逆定理進(jìn)行證明，通過(guò)證明與斜線垂直即，推出與射影垂直，，不妨一試；對(duì)于像本題中第二問(wèn)不太好確定線面關(guān)系而又發(fā)覺(jué)立體圖形比較規(guī)整的，比如說(shuō)正方體、長(zhǎng)方體、正三棱錐，直棱柱等，都可直接考慮建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行求解18、（1）；（2）【解題分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用通項(xiàng)公式，可得，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可得到數(shù)列和．【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，所以，又由，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由題意知，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的分組求和，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）或；（2）．【解題分析】分析：（1）設(shè)，由已知條件得，，再結(jié)合的虛部為，即可求出；（2）本題要求的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積，看清組成圖形的最主要的曲線，和組成圖形的兩個(gè)端點(diǎn)處的數(shù)據(jù)，用定積分寫出體積的表示形式，得到結(jié)果.詳解：（1）設(shè)，由已知條件得，，∵的虛部為，∴，∴或，即或.（2）.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了用定積分求幾何體的體積.20、（1）（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）猜想不等式左邊最后一個(gè)數(shù)分母，對(duì)應(yīng)各式右端為，即得解；（2）遞推部分，利用時(shí)結(jié)論，替換括號(hào)內(nèi)部分即得證.【題目詳解】解：（1）觀察不等式左邊最后一個(gè)數(shù)分母的特點(diǎn)：，，，，猜想不等式左邊最后一個(gè)數(shù)分母，對(duì)應(yīng)各式右端為，所以，不等式的一般結(jié)論為：（2）證明：①當(dāng)時(shí)顯然成立；②假設(shè)時(shí)