大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)函數(shù)的單調(diào)性(課堂講義)

大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)函數(shù)的單調(diào)性(課堂講義)匯報(bào)人：AA2024-01-25函數(shù)的單調(diào)性概述一元函數(shù)的單調(diào)性多元函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性反函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性與微積分的關(guān)系contents目錄函數(shù)的單調(diào)性概述01CATALOGUE03單調(diào)函數(shù)單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。01單調(diào)增函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間I上，對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)x1和x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)。02單調(diào)減函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間I上，對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)x1和x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)≥f(x2)，則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)。單調(diào)性的定義局部性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性是一種局部性質(zhì)，即只需考慮函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的行為?？杉有匀魞蓚€(gè)函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)性相同（同為增函數(shù)或同為減函數(shù)），則它們的和在該區(qū)間上保持相同的單調(diào)性。可乘性若兩個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)性相同，且函數(shù)值均大于零，則它們的積在該區(qū)間上保持相同的單調(diào)性。單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的極值和最值函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值和最值密切相關(guān)。在閉區(qū)間上，單調(diào)函數(shù)的最大值和最小值分別出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)上。簡(jiǎn)化函數(shù)的計(jì)算在某些情況下，利用函數(shù)的單調(diào)性可以簡(jiǎn)化函數(shù)的計(jì)算過(guò)程，提高計(jì)算效率。描述函數(shù)的變化趨勢(shì)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，我們可以了解函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變化趨勢(shì)，從而更好地理解函數(shù)的性質(zhì)。單調(diào)性的意義一元函數(shù)的單調(diào)性02CATALOGUE若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上，對(duì)任意$x_1,x_2inI$，當(dāng)$x_1<x_2$時(shí)，都有$f(x_1)leqf(x_2)$，則稱$f(x)$在區(qū)間$I$上是單調(diào)增函數(shù)。單調(diào)增函數(shù)若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上，對(duì)任意$x_1,x_2inI$，當(dāng)$x_1<x_2$時(shí)，都有$f(x_1)geqf(x_2)$，則稱$f(x)$在區(qū)間$I$上是單調(diào)減函數(shù)。單調(diào)減函數(shù)單調(diào)函數(shù)在其定義域內(nèi)具有保號(hào)性，即若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)增（或減），則函數(shù)值在該區(qū)間內(nèi)保持同號(hào)（或異號(hào)）。單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)一元函數(shù)單調(diào)性的定義若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上可導(dǎo)，且$f'(x)>0$（或$f'(x)<0$），則$f(x)$在區(qū)間$I$上是單調(diào)增（或減）函數(shù)。導(dǎo)數(shù)法差分法圖像法對(duì)于離散函數(shù)或不易求導(dǎo)的函數(shù)，可以通過(guò)比較相鄰兩點(diǎn)間函數(shù)值的大小來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。通過(guò)觀察函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，可以直觀地判斷函數(shù)的單調(diào)性。一元函數(shù)單調(diào)性的判斷方法一元函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用舉例對(duì)于單調(diào)函數(shù)，其最大值或最小值出現(xiàn)在定義域的端點(diǎn)處。因此，可以通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解最值問(wèn)題。利用單調(diào)性證明不等式通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)膯握{(diào)函數(shù)，并利用其單調(diào)性來(lái)證明不等式。利用單調(diào)性研究函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，可以進(jìn)一步了解函數(shù)的圖像、變化趨勢(shì)以及與其他函數(shù)的關(guān)系等。利用單調(diào)性求最值多元函數(shù)的單調(diào)性03CATALOGUE若在某區(qū)域內(nèi)，多元函數(shù)對(duì)某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)大于0，則該函數(shù)在此區(qū)域內(nèi)關(guān)于該自變量單調(diào)增加；若偏導(dǎo)數(shù)小于0，則單調(diào)減少。偏導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性方向?qū)?shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)沿某一方向的變化率。若在某點(diǎn)處，函數(shù)沿某一方向的方向?qū)?shù)大于0，則函數(shù)在該方向上單調(diào)增加；若方向?qū)?shù)小于0，則單調(diào)減少。方向?qū)?shù)與函數(shù)單調(diào)性多元函數(shù)單調(diào)性的定義偏導(dǎo)數(shù)判斷法通過(guò)求解多元函數(shù)在各自變量方向上的偏導(dǎo)數(shù)，判斷其正負(fù)性來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性。方向?qū)?shù)判斷法通過(guò)求解函數(shù)在某一點(diǎn)處沿不同方向的方向?qū)?shù)，觀察其變化情況來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。復(fù)合函數(shù)判斷法將多元函數(shù)視為復(fù)合函數(shù)，通過(guò)分析內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷整個(gè)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。多元函數(shù)單調(diào)性的判斷方法最值問(wèn)題利用多元函數(shù)的單調(diào)性，可以求解多元函數(shù)的最值問(wèn)題。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通過(guò)分析成本函數(shù)或收益函數(shù)的單調(diào)性，可以確定最優(yōu)的產(chǎn)量或價(jià)格。不等式證明利用多元函數(shù)的單調(diào)性，可以證明一些不等式。例如，在證明某些數(shù)學(xué)定理時(shí)，可以通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)亩嘣瘮?shù)，并分析其單調(diào)性來(lái)證明所需的不等式。優(yōu)化問(wèn)題在優(yōu)化問(wèn)題中，經(jīng)常需要研究目標(biāo)函數(shù)或約束條件的單調(diào)性。例如，在機(jī)器學(xué)習(xí)中，通過(guò)分析損失函數(shù)的單調(diào)性，可以選擇合適的優(yōu)化算法來(lái)訓(xùn)練模型。多元函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用舉例復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性04CATALOGUE復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)$y=f(u)$的定義域?yàn)?D_f$，值域?yàn)?M_f$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域?yàn)?D_g$，值域?yàn)?M_g$，如果$M_gcapD_fneqvarnothing$，那么對(duì)于$xinD_gcapD_{fcircg}$，有$y=f(g(x))$，則稱函數(shù)$f$與函數(shù)$g$可以復(fù)合，$y=f(g(x))$稱為由函數(shù)$y=f(u)$與函數(shù)$u=g(x)$復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。單調(diào)性設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，如果對(duì)于任意$x_1,x_2inI$，當(dāng)$x_1<x_2$時(shí)，都有$f(x_1)leqf(x_2)$（或$f(x_1)geqf(x_2)$），則稱函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$上是單調(diào)增加的（或單調(diào)減少的）。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的定義復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法同增異減內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相反時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。求導(dǎo)判斷先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。01通過(guò)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可以確定函數(shù)的最大值和最小值。利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求最值02通過(guò)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可以將不等式轉(zhuǎn)化為等式進(jìn)行求解。利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式03通過(guò)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可以構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來(lái)證明不等式。利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明不等式復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用舉例反函數(shù)的單調(diào)性05CATALOGUEVS如果函數(shù)$y=f(x)$在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（或減少），則其反函數(shù)$x=f^{-1}(y)$在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)也單調(diào)增加（或減少）。嚴(yán)格單調(diào)與非嚴(yán)格單調(diào)嚴(yán)格單調(diào)指函數(shù)值隨自變量嚴(yán)格增加或減少，非嚴(yán)格單調(diào)則允許有相等的函數(shù)值。反函數(shù)單調(diào)性的定義反函數(shù)單調(diào)性的定義求導(dǎo)判斷法通過(guò)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而推斷反函數(shù)的單調(diào)性。圖像判斷法畫出原函數(shù)的圖像，通過(guò)觀察圖像上點(diǎn)的升降來(lái)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)反函數(shù)的定義判斷反函數(shù)的單調(diào)性。觀察原函數(shù)的單調(diào)性首先確定原函數(shù)$y=f(x)$的單調(diào)性，如果原函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則反函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)也具有相同的單調(diào)性。反函數(shù)單調(diào)性的判斷方法123利用反函數(shù)的單調(diào)性，可以將一些復(fù)雜的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等式問(wèn)題進(jìn)行求解。解不等式在某些優(yōu)化問(wèn)題中，需要找到某個(gè)函數(shù)的最大值或最小值。通過(guò)利用反函數(shù)的單調(diào)性，可以簡(jiǎn)化求最值的過(guò)程。求最值對(duì)于某些方程，可以通過(guò)分析原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷方程解的個(gè)數(shù)及分布情況。判斷方程解的個(gè)數(shù)反函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用舉例單調(diào)性與微積分的關(guān)系06CATALOGUE單調(diào)增加函數(shù)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)大于等于零，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加。單調(diào)減少函數(shù)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)小于等于零，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系定理若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則其在此區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)密切相關(guān)。單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系030201定積分的性質(zhì)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則其在此區(qū)間內(nèi)的定積分具有一些特殊性質(zhì)，如可加性、保號(hào)性等。單調(diào)函數(shù)與定積分的聯(lián)系單調(diào)函數(shù)的定積分可以通過(guò)其原函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，且原函數(shù)也具有相應(yīng)的單調(diào)性。單調(diào)性與定積分的關(guān)系微分中值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，