山西省大同市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月檢測(cè)試題數(shù)學(xué)

2023～2024-1高二年級(jí)12月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．雙曲線的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)，，則（）A．直線AB∥坐標(biāo)平面xOy B．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOyC．直線AB∥坐標(biāo)平面xOy D．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOy3．九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，在某種玩法中，用表示解下n（，）個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，滿足，且，則解下4個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A．7 B．10 C．12 D．224．已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，且焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．或 C． D．或5．已知，則圓與直線的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定6．過(guò)雙曲線（，）的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．或27．已知雙曲線C：（，），拋物線E：的焦點(diǎn)為F，拋物線E的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若△ABF為正三角形，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．8．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在橢圓C上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍為（）A． B． C． D．二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．已知、，則下列命題中正確的是（）A．平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓B．平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支C．平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線D．平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓10．若正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A．當(dāng)時(shí)， B．的取值范圍是C．當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29 D．公差d的取值范圍是11．圓F：，拋物線C：，過(guò)圓心F的直線l與兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)自下向上依次記為P，M，N，Q，若，，構(gòu)成等差數(shù)列，則直線l的方程可能是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線E過(guò)點(diǎn)且與雙曲線共漸近線，直線l與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B且與雙曲線E相切的兩條直線交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是B．若AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為C．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則直線AP的方程為D．若點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，則直線l恒過(guò)點(diǎn)三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．）13．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．14．設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．15．已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，總有，則橢圓C離心率的取值范圍為．16．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)E在正方體內(nèi)切球的球面上，則的取值范圍是．四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．（本題10分）求適合下列條件的曲線方程：（1）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）漸近線方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，18．（本題12分）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值．19．（本題12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．（1）求到平面BDM的距離；（2）求證：平面MBD⊥平面．20．（本題12分）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和．21．（本題12分）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．（1）若，求l的方程；（2）若，求．22．（本題12分）已知橢圓C：（）的離心率，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓C交于B，D兩點(diǎn)，B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，求證：直線AD與x軸交于定點(diǎn)Q．

參考答案一、單項(xiàng)選擇題1．【雙曲線的焦點(diǎn)】A2．【空間向量】C3．【數(shù)列遞推公式】A4．【拋物線方程】D5．【直線與圓的位置關(guān)系】B6．【雙曲線的離心率】B7．【雙曲線的幾何性質(zhì)】C8．【橢圓的幾何性質(zhì)】D二、多項(xiàng)選擇題9．【圓錐曲線的定義】AD10．【等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】ABC11．【直線與拋物線位置關(guān)系】CD12．【直線與雙曲線位置關(guān)系】BC三、填空題13．【數(shù)列】14．【拋物最值】515．【橢圓的離心率】16．【空間向量運(yùn)算】四、解答題17．【圓錐曲線基本量運(yùn)算】【詳解】（1）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)為，所以，設(shè)橢圓的方程為，將代入可得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由漸近線方程為，設(shè)雙曲線的方程為，，代入點(diǎn)可得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．【等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和最值】【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，，解得：，所以．（2）[方法1]：鄰項(xiàng)變號(hào)法由可得．當(dāng)，即，解得，所以的最小值為，所以的最小值為．[方法2]：函數(shù)法由題意知，即，所以的最小值為，所以的最小值為．19．【利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題】【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，為x，y，Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以，，，．所以，，．設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以．令，則，，所以．設(shè)到平面BDM的距離為d，所以．（2）因?yàn)?，，，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，令，則，，所以．又因?yàn)槠矫鍹BD的一個(gè)法向量，所以，所以，所以平面MBD⊥平面．20．【數(shù)列分組求和】【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】顯然2n為偶數(shù)，則，，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是，，．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，，，所以，．由（n為奇數(shù)）及（n為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若n為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若n為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以（），則．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，，，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．21．【直線與拋物線的位置關(guān)系】【詳解】（1）設(shè)直線l方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：∴聯(lián)立得：則∴∴，解得：直線l的方程為：，即：（2）設(shè)，則可設(shè)直線l方程為