山東省泰安市第一中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

山東省泰安市第一中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若、、，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．2．在的二項展開式中，二項式系數(shù)的最大值為，含項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．3．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是（）A． B． C． D．4．由①安夢怡是高二（1）班的學生，②安夢怡是獨生子女，③高二（1）班的學生都是獨生子女，寫一個“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結(jié)論分別為（）A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②5．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，則（）A．- B．1或2 C．1 D．26．二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).則由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四維測度（）A． B． C． D．7．的展開式中的系數(shù)為（）A．100 B．80 C．60 D．408．已知函數(shù)f(x)=2x3+ax+a.過點M(-1,0)引曲線C:y=f(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若|MA|=|MB|，則f(x)A．-324 B．-39．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．310．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，若，則（）A． B． C． D．11．設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知函數(shù)，若恰有兩個不同的零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，，若直線上存在點，使得，則稱該直線為“型直線”.給出下列直線：（1）；（2）；（3）；（4）其中所有是“型直線”的序號為______.14．某中學開設A類選修課4門，B類選修課5門，C類選修課2門，每位同學從中共選4門課，若每類課程至少選一門，則不同的選法共有_______種.15．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實數(shù)的取值范圍．16．4名學生被中大、華工、華師錄取，若每所大學至少要錄取1名，則共有不同的錄取方法__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，斜率為k的動直線l過點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）若直線l與曲線C有兩個交點，求這兩個交點的中點P的軌跡關(guān)于參數(shù)k的參數(shù)方程；（2）在條件（1）下，求曲線的長度.18．（12分）已知函數(shù)，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若時，，求的取值范圍．19．（12分）若，解關(guān)于的不等式.20．（12分）小王每天自己開車上班，他在路上所用的時間（分鐘）與道路的擁堵情況有關(guān).小王在一年中隨機記錄了200次上班在路上所用的時間，其頻數(shù)統(tǒng)計如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數(shù)（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時間的數(shù)學期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨立，設一周內(nèi)上班在路上所用時間不超過的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.21．（12分）為了響應黨的十九大所提出的教育教學改革，某校啟動了數(shù)學教學方法的探索,學校將髙一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班，每班40人，甲班按原有傳統(tǒng)模式教學，乙班實施自主學習模式.經(jīng)過一年的教學實驗，將甲、乙兩個班學生一年來的數(shù)學成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個班學生的平均成績均在[50，100]，按照區(qū)間[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]進行分組,繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制）為優(yōu)秀，，(I)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學改革有關(guān)”〔Ⅱ）從乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分數(shù)段中,按分層抽樣隨機抽取7名學生座談，從中選三位同學發(fā)言,記來自[80，90)發(fā)言的人數(shù)為隨機變量x，求x的分布列和期望.22．（10分）某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動,消費每超過600元(含600元),均可抽獎一次,抽獎方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種.方案一:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,一次性摸出3個球,其中獎規(guī)則為:若摸到3個紅球,享受免單優(yōu)惠；若摸到2個紅球,則打6折；若摸到1個紅球,則打7折；若沒摸到紅球,則不打折.方案二:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.(1)若兩個顧客均分別消費了600元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受6折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費恰好滿1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

對，利用分析法證明；對，不式等兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等式的方向不變，乘以0再根據(jù)不等式是否取等進行考慮；對，考慮的情況；對，利用同向不等式的可乘性.【題目詳解】對，，因為大小無法確定，故不一定成立；對，當時，才能成立，故也不一定成立；對，當時不成立，故也不一定成立；對，，故一定成立.故選：D.【題目點撥】本題考查不等式性質(zhì)的運用，考查不等式在特殊情況下能否成立的問題，考查思維的嚴謹性.2、B【解題分析】

由題意，先寫出二項展開式的通項，由此得出二項式系數(shù)的最大值，以及含項的系數(shù)，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】因為的二項展開式的通項為：，因此二項式系數(shù)的最大值為：，令得，所以，含項的系數(shù)為，因此.故選：B.【題目點撥】本題主要考查求二項式系數(shù)的最大值，以及求指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型.3、C【解題分析】試題分析：由題可先算出10個元素中取出3個的所有基本事件為；種情況；而三種粽子各取到1個有種情況，則可由古典概率得；考點：古典概率的算法．4、D【解題分析】

根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結(jié)論”，根據(jù)大前提、小前提和結(jié)論的關(guān)系，即可求解.【題目詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過程是：大前提：③高二（1）班的學生都是獨生子女；小前提：①安夢怡是高二（1）班的學生；結(jié)論：②安夢怡是獨生子女，故選D.【題目點撥】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】分析：由為偶數(shù)，且，即可得結(jié)果.詳解：冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，為偶數(shù)，且，解得，故選C.點睛：本題考查冪函數(shù)的定義、冪函數(shù)性質(zhì)及其應用，意在考查綜合利用所學知識解決問題的能力.6、A【解題分析】

因為，，由此類比可得，，從而可得到結(jié)果.【題目詳解】因為二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).所以由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四為測度W，應滿足，又因為，所以，故選A.【題目點撥】本題主要考查類比推理以及導數(shù)的計算.7、D【解題分析】

由二項式項的公式，直接得出x2的系數(shù)等于多少的表達式，由組合數(shù)公式計算出結(jié)果選出正確選項．【題目詳解】因為的展開式中含的項為,故的系數(shù)為40.故選：D【題目點撥】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)項的公式正確寫出x2的系數(shù)是解題的關(guān)鍵，對于基本公式一定要記憶熟練．8、A【解題分析】

設切點的橫坐標為t，利用切點與點M連線的斜率等于曲線C在切點處切線的斜率，利用導數(shù)建立有關(guān)t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出兩切線的斜率之和為零，于此得出a的值，再利用導數(shù)求出函數(shù)【題目詳解】設切點坐標為(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'則a=-274，f'(x)=6x2-274.當x<-324或x>【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點，在處理過點作函數(shù)的切線時，一般要設切點坐標，利用切線與點連線的斜率等于切線的斜率，考查計算能力，屬于中等題。9、B【解題分析】可行域為一個三角形及其內(nèi)部,其中，所以直線過點時取最小值，選B.10、C【解題分析】

根據(jù)切線方程計算，，再計算的導數(shù)，將2代入得到答案.【題目詳解】函數(shù)的圖像在點處的切線方程是故答案選C【題目點撥】本題考查了切線方程，求函數(shù)的導數(shù)，意在考查學生的計算能力.11、D【解題分析】D試題分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案選D．考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．12、B【解題分析】分析：求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到的取值范圍詳解：令，則，令，在單調(diào)增，在單調(diào)減的取值范圍為故選點睛：本題主要考查的是函數(shù)的零點問題，解決問題的關(guān)鍵是導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后通過數(shù)形結(jié)合的方法得到關(guān)于的范圍二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(1)(3)(4)【解題分析】

由題可得若則是在以,為焦點,的橢圓上.故“型直線”必與橢圓相交,再判斷直線與橢圓是否相交即可.【題目詳解】由題可得若則是在以,為焦點,的橢圓上.故“型直線”需與橢圓相交即可.易得.左右頂點為,上下頂點為對(1),過,滿足條件對(2),設橢圓上的點,則到直線的距離,.若,則無解.故橢圓與直線不相交.故直線不滿足.對(3),與橢圓顯然相交,故滿足.對(4),因為過,故與橢圓相交.故滿足.故答案為：(1)(3)(4)【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義與新定義的問題,判斷直線與橢圓的位置關(guān)系可設橢圓上的點求點與直線的距離,分析是否可以等于0即可.屬于中等題型.14、160【解題分析】

每位同學共選4門課，每類課程至少選一門，則必有某類課程選2門，另外兩類課程各選1門，對選2門的這類課程進行分類，可能是A類，可能是B類，可能是C類.【題目詳解】（1）當選2門的為A類，N1（2）當選2門的為B類，N2（3）當選2門的為C類，N3∴選法共有N1【題目點撥】分類與分步計數(shù)原理，要確定好分類與分步的標準，本題對選2門課程的課程類進行分類，再對每一類情況分3步考慮.15、（1）；（2）.【解題分析】

（1）討論范圍去掉絕對值符號，再解不等式.（2）將函數(shù)代入不等式化簡，再利用絕對值三角不等式得到不等式右邊的最小值，轉(zhuǎn)化為存在問題求得答案.【題目詳解】解：（1），∴或或，解得：或或無解，綜上，不等式的解集是（，）．（2）（當時等號成立），因為不等式解集非空，∴，∴，∴或，即或，∴實數(shù)的取值范圍是．【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，存在問題，題型比較綜合，意在考查學生的計算能力.16、36種【解題分析】先從名學生中任意選個人作為一組，方法種；再把這一組和其它個人分配到所大學，方法有種，再根據(jù)分步計數(shù)原理可得不同的錄取方法種，故答案為種.故答案為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）把兩邊同時乘以，然后結(jié)合極坐標與直角坐標的互化公式可得曲線的直角坐標方程，設直線的方程為，與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩個交點的中點的軌跡關(guān)于參數(shù)的參數(shù)方程；（2）化參數(shù)方程為普通方程，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求得曲線的長度．【題目詳解】解：（1）曲線C的直角坐標方程為.設直線l的方程為，設直線l與曲線C的交點為，，聯(lián)立直線l與曲線C的方程得解得，，，，設P的坐標為，則，代入l的方程得.故的參數(shù)方程為.（2）由的參數(shù)方程得即.如圖，圓C：圓心為，半徑為2，圓D：圓心為，半徑為2，曲線為劣弧，顯然，所以的長度為.【題目點撥】本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查圓與圓位置關(guān)系的應用，考查計算能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ），（Ⅱ）的取值范圍是．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）設，則，故只需證即可．由題意得，即，又由，得，，分，，三種情況分別討論判斷是否恒成立即可得到結(jié)論．試題解析：（I）∵，∴，，由題意得，，解得，．∴，．（II）由（I）知，，設，則，由題設可得，即，令，得，．（i）若，則，從而當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故在的最小值為，而，故當時，，即恒成立．（ii）若，則，從而當時，，即在單調(diào)遞增，而，故當時，，即恒成立．（iii）若，，則在上單調(diào)遞增，而，從而當時，不可能恒成立，綜上可得的取值范圍是．19、見解析【解題分析】

本題是含有參數(shù)的解不等式，可以先將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，再通過分類討論參數(shù)得出解．【題目詳解】時，且；時，等價于因為，所以，所以不等式可化簡為當時，或．當時，，或綜上所述，時，且；0時或時，或}【題目點撥】在解含有參數(shù)的不等式的時候，一定要注意參數(shù)的取值范圍并進行分類討論．20、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）先由題得到x=15,20,25,30，再求出其對應的概率，最后得到X的分布列和期望.（Ⅱ）利用二項分布求的分布列及數(shù)學期望.詳解：（Ⅰ），，，，的分布列為15202530所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用時間不超過的概率為，依題意，，分布列為，，012345.點睛：（1）本題主要考查隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查二項分布，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)若～則利用該公式可以提高計算效率.21、(1)列聯(lián)表見解析，有90%以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學改革有關(guān)”.(2)分布列見解析，【解題分析】分析：（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)填表，再代入卡方公式求，最后與參考數(shù)據(jù)作比較得結(jié)論，（2）先根據(jù)分層抽樣得抽取人數(shù)，再確定隨機變量取法，利用組合數(shù)確定對應概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求期望.詳解：（1