2024屆山西省朔州市李林中學數(shù)學高二第二學期期末調研模擬試題含解析

2024屆山西省朔州市李林中學數(shù)學高二第二學期期末調研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中，，且，點滿足，則A． B． C． D．2．函數(shù)在上的最大值為（）A． B． C． D．3．設向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．04．若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．5．如圖，在正方形內任取一點，則點恰好取自陰影部分內的概率為（）A． B．C． D．6．已知直線（為參數(shù)）與曲線的相交弦中點坐標為，則等于（）A． B． C． D．7．設，，若，則的最小值為A． B．8 C．9 D．108．設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（）A． B． C． D．9．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．在5張撲克牌中有3張“紅心”和2張“方塊”，如果不放回地依次抽取2張牌，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為A．625 B．310 C．311．某錐體的正視圖和側視圖均為如圖所示的等腰三角形，則該幾何體的體積最小值為（）A． B． C．1 D．212．復數(shù)z滿足，則復數(shù)的虛部是（）A．1 B．－1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為，則________．14．若z是關于x的方程的一個虛數(shù)根，則的取值范圍是________.15．在半徑為2的圓內任取一點，則該點到圓心的距離不大于1的概率為________.16．設函數(shù),，則函數(shù)的遞減區(qū)間是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設相互垂直的直線，分別過橢圓的左、右焦點，，且與橢圓的交點分別為、和、.（1）當?shù)膬A斜角為時，求以為直徑的圓的標準方程；（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）在二項式的展開式中.（1）若展開式后三項的二項式系數(shù)的和等于67，求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）若為滿足的整數(shù)，且展開式中有常數(shù)項，試求的值和常數(shù)項.19．（12分）伴隨著智能手機的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統(tǒng)支付的局限性和壁壘，有研究表明手機支付的使用比例與人的年齡存在一定的關系，某調研機構隨機抽取了50人，對他們一個月內使用手機支付的情況進行了統(tǒng)計，如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人數(shù)510151055使用手機支付人數(shù)31012721（1）若以“年齡55歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用手機支付”與人的年齡有關；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計使用不適用合計（2）若從年齡在[55，65），[65，75）內的被調查人中各隨機選取2人進行追蹤調查，記選中的4人中“使用手機支付”的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望；參考數(shù)據(jù)如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考格式：，其中20．（12分）已知在中，角、、的對邊分別是、、，且．（1）求角的大??；（2）若的面積，，，求的值．21．（12分）給定橢圓，稱圓為橢圓的“伴隨圓”.已知點是橢圓上的點（1）若過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，求被橢圓的伴隨圓所截得的弦長：（2）是橢圓上的兩點，設是直線的斜率，且滿足，試問：直線是否過定點，如果過定點，求出定點坐標，如果不過定點，試說明理由。22．（10分）已知函數(shù)，M為不等式的解集.（1）求M；（2）證明：當，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用向量的坐標運算即可求解．詳解：由題意，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設點，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點睛：本題主要考查了向量的坐標表示與向量的坐標運算問題，其中恰當?shù)慕⒅苯亲鴺讼担蟮孟蛄康淖鴺?，利用向量的?shù)量積的運算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力．2、A【解題分析】

對函數(shù)求導，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，求出極值，再結合端點函數(shù)值得出函數(shù)的最大值．【題目詳解】，，令，由于，得.當時，；當時，．因此，函數(shù)在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的最值，一般而言，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的基本步驟如下：（1）求導，利用導數(shù)分析函數(shù)在閉區(qū)間上的單調性；（2）求出函數(shù)的極值；（3）將函數(shù)的極值與端點函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)的最大值和最小值．3、A【解題分析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗證與同向即可得解【題目詳解】由與平行得，所以，又因為同向平行，所以.故選A【題目點撥】本題考查向量共線（平行）的概念，考查計算求解的能力，屬基礎題．4、C【解題分析】

先假設函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調遞減，利用的導數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個取值范圍的補集，求得題目所求實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調遞減，此時在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)的取值范圍為．故選C.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.5、B【解題分析】

由定積分的運算得：S陰（1）dx＝（x），由幾何概型中的面積型得：P（A），得解．【題目詳解】由圖可知曲線與正方形在第一象限的交點坐標為（1，1），由定積分的定義可得：S陰（1）dx＝（x），設“點M恰好取自陰影部分內”為事件A，由幾何概型中的面積型可得：P（A），故選B．【題目點撥】本題考查了定積分的運算及幾何概型中的面積型，考查基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬基礎題6、A【解題分析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化，得直線的普通方程為，由極坐標與直角坐標的互化，得曲線普通方程為，再利用“平方差”法，即可求解．【題目詳解】由直線（為參數(shù)），可得直線的普通方程為，由曲線，可得曲線普通方程為，設直線與橢圓的交點為，，則，，兩式相減，可得.所以，即直線的斜率為，所以，故選A．【題目點撥】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及中點弦問題的應用，其中解答中熟記互化公式，合理應用中點弦的“平方差”法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、C【解題分析】

根據(jù)題意可知，利用“1”的代換，將化為，展開再利用基本不等式，即可求解出答案?！绢}目詳解】由題意知，，，且，則當且僅當時，等號成立，的最小值為9，故答案選C?！绢}目點撥】本題主要考查了利用基本不等式的性質求最值的問題，若不滿足基本不等式條件，則需要創(chuàng)造條件對式子進行恒等變形，如構造“1”的代換等。8、B【解題分析】

由題意知函數(shù)y＝ex與y＝ln(2x)互為反函數(shù)，其圖象關于直線y＝x對稱，兩曲線上點之間的最小距離就是y＝x與y＝ex上點的最小距離的2倍．設y＝ex上點(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行．則，∴x0＝ln2，y0＝1，∴點(x0，y0)到y(tǒng)＝x的距離為＝(1－ln2)，則|PQ|的最小值為(1－ln2)×2＝(1－ln2)．9、C【解題分析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的．10、D【解題分析】

因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”時，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，根據(jù)隨機事件的概率計算公式，即可計算第二次抽到“紅心”的概率．【題目詳解】因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”的條件下，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，第二次抽取時，所有的基本事件有4個，符合“抽到紅心”的基本事件有2個，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為12故答案選D【題目點撥】本題給出無放回抽樣模型，著重考查抽樣方法的理解和隨機事件的概率等知識，屬于基礎題．11、B【解題分析】

錐體高一定，底面積最小時體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小，計算得到答案.【題目詳解】錐體高一定，底面積最小時體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小故答案選B【題目點撥】本題考查了錐體的體積，判斷底面是等腰直角三角形是解題的關鍵.12、C【解題分析】

由已知條件計算出復數(shù)的表達式，得到虛部【題目詳解】由題意可得則則復數(shù)的虛部是故選C【題目點撥】本題考查了復數(shù)的概念及復數(shù)的四則運算，按照除法法則求出復數(shù)的表達式即可得到結果，較為簡單二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由曲線與直線聯(lián)立，求出交點，以確定定積分中的取值范圍，最后根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式即可得到答案?！绢}目詳解】聯(lián)立，得到交點為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為【題目點撥】本題考查利用定積分求面積，確定被積區(qū)間與被積函數(shù)是解題的關鍵，屬于基礎題。14、【解題分析】

由判別式小于0求得m的范圍，設z＝a+bi（a，b∈R），利用根與系數(shù)的關系求得a值及b與m的關系，進一步求|z+1|，則答案可求．【題目詳解】解：由△＝4﹣4（m2﹣8）＜0，解得m2＞1．設z＝a+bi（a，b∈R），則2a＝2，a＝1，a2+b2＝m2﹣8，即b2＝m2﹣1．∴|z+1|＝|（a+1）+bi|＝|2+bi|∈（2，+∞）．故答案為：（2，+∞）．【題目點撥】本題考查實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理，考查復數(shù)模的求法，是基礎題．15、【解題分析】

通過計算對應面積，即可求得概率.【題目詳解】該點取自圓內，占有面積為，而該點到圓心的距離不大于1占有面積為：，故所求概率為：.【題目點撥】本題主要考查幾何概型的相關計算，難度不大.16、【解題分析】,如圖所示，其遞減區(qū)間是．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，詳見解析【解題分析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，計算出線段的中點坐標，利用弦長公式計算出，于此得出圓心坐標和半徑長，再寫出圓的標準式方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，分別計算出和，可計算出的值，在直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及韋達定理計算出，同理計算出，代入題中等式計算出的值，從而說明實數(shù)存在．【題目詳解】（1）由題意可設的方程為，代入可得．所以，的中點坐標為．又，所以，以為直徑的圓的方程為．（2）假設存在常數(shù)，使得恒成立．①當與軸垂直或與軸垂直時，；②設直線的方程為，則直線的方程為．將的方程代入得：．由韋達定理得：，，所以．同理可得．所以．因此，存在，使得恒成立．【題目點撥】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查弦長公式、圓的標準方程，計算量大，解題的易錯點就是計算，計算時可充分利用因式分解等一些常規(guī)步驟來操作，另外在設直線方程時也可以掌握一些技巧，降低運算量．18、（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6和第7項，，（2），常數(shù)項為【解題分析】

（1）根據(jù)條件求出的值，然后判斷第幾項二項式系數(shù)最大，并求之；（2）常數(shù)項其實說明的指數(shù)為，根據(jù)這一特點，利用項數(shù)與第幾項的關系求解出的值.【題目詳解】解：（1）由已知整理得，顯然則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6和第7項（2）設第項為常數(shù)項，為整數(shù)，則有，所以，或當時，；時，（不合題意舍去），所以常數(shù)項為【題目點撥】對于形如的展開式，展開后一共有項，若為奇數(shù)，則二項式系數(shù)最大的項有項，分別為項，為若為偶數(shù)，則二項式系數(shù)最大的項有項，即為項（也可借助楊輝三角的圖分析）.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)題中的數(shù)據(jù)補充列聯(lián)表，計算出的值，根據(jù)臨界值表找出犯錯誤的概率，于此可對題中的問題下結論；（2）先確定年齡在和的人數(shù)，可得知的取值有、、、，然后利用超幾何分布列的概率公式計算概率，列出隨機變量的分布列，并計算出的數(shù)學期望?！绢}目詳解】（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，如下；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計使用33235不適用7815合計104050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算K2的觀測值，所以有99%的把握認為“使用手機支付”與人的年齡有關；（2）由題意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；，，，.所以ξ的分布列是：0123pξ的數(shù)學期望是．【題目點撥】本題第（1）問考查獨立性檢驗，關鍵在于列出列聯(lián)表并計算出的觀測值，第（2）問考查離散型隨機分布列與數(shù)學期望，這類問題首先要弄清楚隨機變量所服從的分布列，并利用相關公式進行計算，屬于?？碱}型，考查計算能力，屬于中等題。20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關系得到2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解出角A的余弦值，進而得到角A；（2）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理得到a=，再結合正弦定理得到最終結果.【題目詳解】（1）∵在△ABC中2sin2A+3cos（B+C）=0，∴2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解得cosA=，或cosA=﹣2（舍去），∵0＜A＜π，∴A=；（2）∵△ABC的面積S=bcsinA=bc=5，∴bc=20，再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=21，∴a=，∴sinB+sinC∴sinB+sinC的值是.【題目點撥】這個題目考查了同角三角函數(shù)的化簡求值，考查了三角形面積公式和正余弦定理的應用，解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結合和、差、倍角的正余弦公