4.3一元二次不等式的應(yīng)用教案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

4.3一元二次不等式的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)利用一元二次不等式結(jié)合二次函數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)際問題中的一元二次不等式解法．教學(xué)難點(diǎn)：從實(shí)際問題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系中抽象出一元二次不等式．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件教學(xué)過程教學(xué)過程一、知識(shí)回顧問題1：二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)你完成下面的表格.師生活動(dòng)：學(xué)生默寫，完成之后教師展示，學(xué)生互相檢查糾錯(cuò).預(yù)設(shè)的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0的圖象的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根的解集的解集教師講解：（1）函數(shù)的角度：一元二次不等式表示二次函數(shù)的函數(shù)值大于0，圖象在軸的上方；一元二次不等式的解集即二次函數(shù)圖象在軸上方部分的自變量的取值范圍.（2）方程的角度：一元二次不等式的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程的根.設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)舊知識(shí)，并通過默寫的形式讓師生都了解是否掌握了，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)掃清知識(shí)障礙.問題2：求解一元二次不等式的步驟是怎樣的？師生活動(dòng)：學(xué)生寫出步驟，教師用如下的程序框圖呈現(xiàn).預(yù)設(shè)的答案：設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課重點(diǎn)依然是一元二次不等式的解法，學(xué)生需要借助三個(gè)“二次”的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的一般性解法，從整體上把握所學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生明確不等式解法，有助于學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立和完善，并為后面知識(shí)的學(xué)習(xí)提供幫助.二、新知探究例1：某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為80元，每天都客滿，該農(nóng)家院欲提高檔次，并提高租金，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，每間客房日租金每增加10元，客房出租數(shù)就會(huì)減少1間.，每間客房日租金不得超過130元，要使每天客房的租金總收入不低于1800元，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大？問題3：這個(gè)實(shí)際問題中蘊(yùn)含的不等關(guān)系是什么？求解不等式的步驟是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生分析題目，得出一元二次不等式，并求解，完成之后展示交流，師生點(diǎn)評(píng)修改，教師給出解答示范.預(yù)設(shè)的答案：（1）設(shè)每間客房日租金提高個(gè)10元；（2）列出關(guān)于未知數(shù)的不等式；（3）解不等式，確定的范圍；（4）考慮到所以x只能取整數(shù)，即當(dāng)每間客房日租金提高20元，30元，......，50元時(shí)，每天客房的租金總收入不低于1800元.解答：設(shè)每間客房日租金提高x個(gè)10元，即每間客房日租金提高到(80+10x)元，則客房出租數(shù)減少x間，此時(shí)客房的租金總收入為元.又因?yàn)槊刻炜头康淖饨鹂偸杖氩坏陀?800元，所以化簡(jiǎn)，得 解得 .所以 .由題意可知：每間客房日租金不得超過130元，即，所以.因此，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是20元，30元，40元，50元.設(shè)計(jì)意圖：對(duì)實(shí)際問題深入分析，確定不等關(guān)系，解不等式，感受到由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換過程．通過問題體會(huì)二次函數(shù)與一元二次不等式、一元二次方程的關(guān)系，體會(huì)用一元二次不等式解決實(shí)際問題的意義，掌握利用一元二次不等式解決實(shí)際問題的基本步驟.例2：為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān).袁陽(yáng)按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月的銷售量單位：件)與銷售單價(jià)(單位：元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：.設(shè)袁陽(yáng)每月獲得的利潤(rùn)為(單位：元)，寫出每月獲得的利潤(rùn)與銷售單價(jià)的函數(shù)關(guān)系.物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元，如果袁陽(yáng)想要每月獲得的利潤(rùn)不小于3000元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少？問題4：該問題中的不等關(guān)系是什么？求解不等式的步驟是什么？師生活動(dòng)：教師給學(xué)生充足的時(shí)間獨(dú)立思考并作答，再做課堂展示，教師巡視，對(duì)有困難的同學(xué)進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo).預(yù)設(shè)的答案：（1）列出每月獲得的利潤(rùn)與銷售單價(jià)的關(guān)系式；（2）列出關(guān)于未知數(shù)的不等式；（3）求解所列出的不等式；（4）考慮到這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元，從而確定答案.解：(1)依題意可知每件的銷售利潤(rùn)為元，每月的銷售量為件，所以每月獲得的利潤(rùn)與銷售單價(jià)(的函數(shù)關(guān)系為(2)由每月獲得的利潤(rùn)不小于3000元，得.化簡(jiǎn)，得 .解得 .又因?yàn)檫@種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25．.設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為元，則.由.得.故政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍為.設(shè)計(jì)意圖：提升學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.初步應(yīng)用公園要建造一個(gè)圓形噴水池.在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如下左圖所示.為使水流形狀較為漂亮，設(shè)計(jì)成水流在到OA距離為1米處達(dá)到距水平最大高度為2.25米，如果不計(jì)其他因素，那么水池半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外?分析

由題意可知，本題可借助拋物線這一數(shù)學(xué)模型求解.關(guān)鍵是要根據(jù)題設(shè)條件求出所需的具體拋物線方程，為此，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為y軸，水面中垂直O(jiān)A的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如上右圖所示，則水流所呈現(xiàn)的拋物線方程為由題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，把代入方程解得，于是拋物線方程為令，得，解得，(不合題意，舍去)所以水池半徑至少要2.5米，才能使水流不落到池外.師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，小組討論展示.預(yù)設(shè)的答案：設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生進(jìn)一步掌握一元二次不等式解決實(shí)際問題的基本步驟，并再次體會(huì)相關(guān)變量所具有的“實(shí)際含義”，避免今后做題過程中在此處出錯(cuò).需要注意的是問題中的變量所具備的“實(shí)際意義”，須結(jié)合實(shí)際將一元二次不等式的解集轉(zhuǎn)化成最終問題答案.設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課由學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實(shí)生活問題或具體情景，抽象出數(shù)學(xué)問題，并利用一元二不等式表示出數(shù)量關(guān)系，求其結(jié)果并討論結(jié)果的意義，經(jīng)歷“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)問題—不等式—求出結(jié)果并討論實(shí)際意義”的模式，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過程，通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確如何利用一元二次不等式解決生活中的實(shí)際問題，并牢記此類問題的易錯(cuò)點(diǎn)：忽略變量的實(shí)際意義，體會(huì)解決實(shí)際問題的方法，形成解決實(shí)際問題的一般思路.【課堂練習(xí)一】1．某種雜志原以每本元的價(jià)格銷售，可以售出萬本.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高元，銷售量就減少本.設(shè)每本雜志的定價(jià)為元，要使得提價(jià)后的銷售總收入不低于萬元，則應(yīng)滿足（）A． B． C． D．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，學(xué)生代表做出解答.預(yù)設(shè)的答案：A設(shè)提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為元，則提價(jià)后的銷售量為：萬本．因?yàn)殇N售的總收入不低于萬元．列不等式為：．即，即，故選：A.【課堂練習(xí)二】2．商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售．每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤(rùn)．已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上，銷售價(jià)每件可定為（）A．11元 B．16元C．12元到16元之間 D．13元到15元之間預(yù)設(shè)的答案：C設(shè)銷售價(jià)定為每件元，利潤(rùn)為元．則．由題意可得：．即，所以．解得：．所以每件銷售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間，故選：C設(shè)計(jì)意圖：鞏固一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用.四、歸納小結(jié)、布置作業(yè)問題5：利用一元二次不等式解決生活中實(shí)際問題要經(jīng)歷哪些步驟？需要注意什么？師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，教師幫助梳理.預(yù)設(shè)的答案：利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟如下：1.選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；2.由題中給出的不等關(guān)系冽出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；3.求解所列出的不等式(組)；4.結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.作業(yè)布置：教材第39頁(yè)，練習(xí)1，2，課本第40頁(yè)A組第5題，B組第3題.五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．已知關(guān)于的不等式．若時(shí)，不等式對(duì)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．設(shè)計(jì)意圖：考查一元二次函數(shù)圖象在一元二次不等式中的應(yīng)用能力.2．設(shè)二次函數(shù)，其中，，.（1）若，，且關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍；（2）若，，，方程有兩個(gè)大于1的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.設(shè)計(jì)意圖：考查一元二次不等式恒成立問題.某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元？4．國(guó)家原計(jì)劃以2400元/噸的價(jià)格收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國(guó)家納稅為：每收入100元納稅8元（稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%）．為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購(gòu)政策．根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律，稅率降低個(gè)百分點(diǎn)，收購(gòu)量能增加個(gè)百分點(diǎn)．試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國(guó)家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%．5．某校園內(nèi)有一塊長(zhǎng)為800m，寬為600m的長(zhǎng)方形地面，現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．設(shè)計(jì)意圖：3，4，5均考查學(xué)生利用一元二次不等式解決實(shí)際問題的能力．參考答案：1．.令．∵，且不等式對(duì)都成立．則，即，解得．又，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是.2．（1）；（2）.（1）若，，則．因?yàn)椋缘慕饧癁榈葍r(jià)于的解集