福建省莆田市八中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

福建省莆田市八中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）.A．1 B．2 C．3 D．2．的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．143．在底面為正方形的四棱錐中，平面，，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．4．在10個(gè)籃球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品.從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為A． B． C． D．5．長(zhǎng)方體中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，是底面上一點(diǎn)，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．6．已知,,,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是()A． B． C． D．7．在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．（2，4]8．“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù).某數(shù)是9的倍數(shù)，故該數(shù)為3的倍數(shù)，”上述推理A．完全正確 B．推理形式不正確C．錯(cuò)誤，因?yàn)榇笮∏疤岵灰恢?D．錯(cuò)誤，因?yàn)榇笄疤徨e(cuò)誤9．已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為()A． B． C． D．11．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（）A．3 B．4 C．5 D．612．兩個(gè)線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是，則相對(duì)應(yīng)于點(diǎn)（11，5）的殘差為（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓：的離心率為，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊、、的中點(diǎn)分別為、、，且三條邊所在直線的斜率分別、、，且、、均不為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線、、的斜率之和為，則______.14．某高中有高一學(xué)生320人，高二學(xué)生400人，高三學(xué)生360人.現(xiàn)采用分層抽樣調(diào)查學(xué)生的視力情況.已知從高一學(xué)生中抽取了8人，則三個(gè)年級(jí)一共抽取了__________人。15．有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”則乙的卡片上的數(shù)字是______.16．設(shè)集合,,則____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知與之間的數(shù)據(jù)如下表：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）完成下面的殘差表：并判斷（1）中線性回歸方程的回歸效果是否良好（若，則認(rèn)為回歸效果良好）.附：，，，.18．（12分）某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上，高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為160人、120人、人.為了活躍氣氛，大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表隊(duì)有6人.（1）求的值；（2）把到前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為，，，，，，現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng).求或沒有上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率.（3）抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：代表通過操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)之間的均勻隨機(jī)數(shù)，，并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該代表中獎(jiǎng)；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求該代表中獎(jiǎng)的概率.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.20．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)（）.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知集合=，集合=.（1）若，求；（2）若AB，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在是減函數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求模即可．【題目詳解】解：，，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

化簡(jiǎn)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【題目詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為7.故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查與正整數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點(diǎn)作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因?yàn)镻B∥CM，所以就是異面直線PB與AC所成的角.【題目詳解】解：由題意：底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點(diǎn)作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四邊形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設(shè)PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等邊三角形.

所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°.

故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩條異面直線所成的角的證明及求法.屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品兩種情況，根據(jù)情況寫出所有的組合數(shù)計(jì)算即可.【題目詳解】正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品這兩種情況為，總數(shù)為，所以概率為．選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率問題，解題的關(guān)鍵是正確的求出所有可能的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面和平面在同一平面內(nèi)，則到平面的距離即為的最小值，利用勾股定理解出即可．【題目詳解】將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面和平面在同一平面內(nèi)，過點(diǎn)作平面，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，則為的最小值．，，，，，，，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間距離的計(jì)算，將兩折線段長(zhǎng)度和的計(jì)算轉(zhuǎn)化為同一平面上是解決最小值問題的一般思路，考查空間想象能力，屬于中等題．6、A【解題分析】

容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，從而可得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；∴a＞b＞c．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，熟記單調(diào)性是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7、A【解題分析】

由，取的中點(diǎn)E，翻折前，連接，則，，翻折后，在圖2中，此時(shí)，及，進(jìn)而得到，由此可求解得取值范圍，得到答案.【題目詳解】由題意得，取的中點(diǎn)E，翻折前，在圖1中，連接，則，翻折后，在圖2中，此時(shí)，因?yàn)?，所以平面，所以，又為的中點(diǎn)，所以，所以，在中，可得①；②；③，由①②③，可得.如圖3，翻折后，當(dāng)與在一個(gè)平面上，與交于，且，又，所以，所以，此時(shí)，綜上可得的取值范圍是，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面圖形的翻折問題，以及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用折疊前后圖形的線面位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.8、A【解題分析】

根據(jù)三段論定義即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，符合邏輯推理三段論，于是完全正確，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查邏輯推理，難度不大.9、A【解題分析】

由題意可轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)分別研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)最小值，求解即可.【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，由得，=，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，是函數(shù)的最小值，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，是函數(shù)的最小值，又因?yàn)椋?，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得：，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性問題的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】分析：設(shè)拋物線上點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式，得點(diǎn)A到直線的距離，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可求最小距離.詳解：設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)點(diǎn)A到直線的距離易得由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，最小距離.故選B.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的基本性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.11、C【解題分析】分析：根據(jù)方差的定義計(jì)算即可.詳解：隨機(jī)變量的分布列為，則則、故選D點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用．12、B【解題分析】

求出樣本中心，代入回歸直線的方程，求得，得出回歸直線的方程，令，解得，進(jìn)而求解相應(yīng)點(diǎn)的殘差，得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，把樣本中心代入回歸方程，即，解得，即回歸直線的方程為，令，解得，所以相應(yīng)點(diǎn)的殘差為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及應(yīng)用，其中解答中正確求解回歸直線的方程，利用回歸直線的方程得出預(yù)測(cè)值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求出橢圓方程，設(shè)出的坐標(biāo)，利用橢圓中的結(jié)論：，，，結(jié)合直線的斜率之和為進(jìn)行運(yùn)算.【題目詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，又，，，所以，，，所以.故答案為：-2【題目點(diǎn)撥】解析幾何小題若能靈活利用一些二級(jí)結(jié)論，能使問題的求解更簡(jiǎn)便，計(jì)算量更小，本題等三個(gè)結(jié)論均可利用設(shè)而不求點(diǎn)差法證出.14、27【解題分析】分析：根據(jù)分層抽樣的概念得按比例抽樣:.詳解：因?yàn)榉謱映闃?，所以三個(gè)年級(jí)一共抽取.點(diǎn)睛：在分層抽樣的過程中，為了保證每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個(gè)體數(shù)與該層所包含的個(gè)體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比，即ni∶Ni＝n∶N.15、1和2【解題分析】

由題意分析可知甲的卡片上的數(shù)字為1和2，乙的卡片上的數(shù)字為1和2，丙的卡片上的數(shù)字為1和1．【題目詳解】由題意可知丙不拿1和2．

若丙拿1和1，則乙拿1和2，甲拿1和2，滿足題意；

若丙拿1和2，則乙拿1和2，甲拿1和1，不滿足題意．

故乙的卡片上的數(shù)字是1和2．故答案為：1和2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查推理，考查學(xué)生邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16、{2,4,6,8}【解題分析】分析：詳解：因?yàn)?,表示A集合和B集合“加”起來的元素，重復(fù)的元素只寫一個(gè)，所以點(diǎn)睛：在求集合并集時(shí)要注意集合的互異性.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）良好.【解題分析】

（1）由題意求出，，代入公式求值，從而得到回歸直線方程；（2）根據(jù)公式計(jì)算并填寫殘差表；由公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)，結(jié)合題意得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．【題目詳解】（1）由已知圖表可得，，，，則，，故.（2）∵，∴，，，，，則殘差表如下表所示，∵，∴，∴該線性回歸方程的回歸效果良好.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸直線方程與相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用問題，是中檔題．18、（1）160；（2）；（3）【解題分析】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，考查分層抽樣，考查概率的計(jì)算，確定概率的類型是關(guān)鍵．（1）根據(jù)分層抽樣可得故可求n的值；（2）求出高二代表隊(duì)6人，從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件，確定a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率（3）確定滿足0≤x≤1，0≤y≤1點(diǎn)的區(qū)域，由條件得到的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，計(jì)算面積，可求該代表中獎(jiǎng)的概率．解：（Ⅰ）由題意得，解得.…………4分（Ⅱ）從高二代表隊(duì)6人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件如下：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15種………6分設(shè)“高二代表隊(duì)中a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)”為事件，其中事件的基本事件有9種.則.…………9分（Ⅲ）由已知，可得，點(diǎn)在如圖所示的正方形OABC內(nèi)，由條件，得到區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分.由，令得，令得.∴設(shè)“該運(yùn)動(dòng)員獲得獎(jiǎng)品”為事件則該運(yùn)動(dòng)員獲得獎(jiǎng)品的概率……………14分19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由代入曲線C的極坐標(biāo)方程，即可求出普通方程，消去直線l的參數(shù)方程中的未知量t，即可得到直線的普通方程；（2）因?yàn)橹本€和曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以根據(jù)直線的參數(shù)方程，建立一元二次方程根與系數(shù)，得出結(jié)果．【題目詳解】（1）由得曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為.(2)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為代入，整理得：,設(shè)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則,所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的距離問題，是常考題型．20、（1）（2）單調(diào)遞增，見解析（3）【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由求得的值.（2）由（1）求得的解析式，利用單調(diào)性的定義，任取，計(jì)算，由此證得在上遞增.（3）根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性化簡(jiǎn)不等式，得到對(duì)任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立則其判別式為負(fù)數(shù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】（1）∵是奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義：∴，∴；經(jīng)驗(yàn)證滿足題意（2）在上單調(diào)