2024屆福建泉州市泉港區(qū)第一中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆福建泉州市泉港區(qū)第一中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數(shù)學歸納法證明“…”時，由到時，不等試左邊應添加的項是()A． B．C． D．2．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數(shù)學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．3．設橢機變量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，則P(2＜X＜4)＝A．＋p B．1－p C．1－2p D．－p4．某產(chǎn)品的廣告費用萬元與銷售額萬元的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，其中，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時，銷售額為65.5萬元，則，的值為（）A．， B．，C．， D．，5．如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若A．12aC．12a6．一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.8047．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．8．已知，，且，則向量在方向上的正射影的數(shù)量為A．1 B．C． D．9．已知變量x，y滿足約束條件則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．410．若函數(shù)f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則g(x)＝的圖象是()A． B． C． D．11．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件“第一次取到的是偶數(shù)”，“第二次取到的是偶數(shù)”，則（）A． B． C． D．12．設是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在函數(shù)的圖象上，點，在函數(shù)的圖象上，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，且點，的縱坐標相同，則點的橫坐標的值為______.14．已知向量，，若與垂直，則實數(shù)__________．15．已知定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).若存在實數(shù)，對任意的，都有，則正整數(shù)的最大值為__________．16．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．若P∪Q＝Q，求實數(shù)a的取值范圍__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某羽絨服賣場為了解氣溫對營業(yè)額的影響，隨機記錄了該店3月份上旬中某5天的日營業(yè)額y(單元：千元)與該地當日最低氣溫x(單位：°C)的數(shù)據(jù)，如表：x258911y1210887(1)求y關于x的回歸直線方程；(2)設該地3月份的日最低氣溫，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，求參考公式：，計算參考值：..18．（12分）已知函數(shù)的最小值為M.（1）求M；（2）若正實數(shù)，，滿足，求：的最小值.19．（12分）已知函數(shù)f(x)=2ln（1）當a=2時，求f(x)的圖像在x=1處的切線方程；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在[1e,e]20．（12分）已知：在中，，，分別是角，，所對的邊長，是和的等差中項．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的面積，且，求的周長．21．（12分）在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點P是曲線上的動點，點Q在OP的延長線上，且，點Q的軌跡為．（1）求直線l及曲線的極坐標方程；（2）若射線與直線l交于點M，與曲線交于點（與原點不重合），求的最大值.22．（10分）如圖，三棱柱中，平面平面，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

分別代入，兩式作差可得左邊應添加項?！绢}目詳解】由n=k時，左邊為，當n=k+1時，左邊為所以增加項為兩式作差得：，選C.【題目點撥】運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可．2、B【解題分析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現(xiàn)，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結論．【題目詳解】由題意，若，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而，能體現(xiàn)糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．【題目點撥】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、C【解題分析】分析：根據(jù)題目中：“正態(tài)分布N（3，1）”，畫出其正態(tài)密度曲線圖：根據(jù)對稱性，由P（X＞4）=p的概率可求出P（2＜X＜4）．詳解：∵隨機變量X～N（3，1），觀察圖得，P（2＜X＜4）=1﹣2P（X＞4）=1﹣2p．故選：C．點睛：本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性解決問題．4、C【解題分析】分析：根據(jù)回歸直線過樣本中心和條件中給出的預測值得到關于，的方程組，解方程組可得所求．詳解：由題意得，又回歸方程為，由題意得，解得．故選C．點睛：線性回歸方程過樣本中心是一個重要的結論，利用此結論可求回歸方程中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)．根據(jù)回歸方程進行預測時，得到的數(shù)值只是一個估計值，解題時要注意這一點．5、D【解題分析】

由題意可得B1M【題目詳解】由題意可得B1=c+1【題目點撥】本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于基礎題．6、C【解題分析】試題分析：由題意可知發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故選C．考點：二項分布的期望與方差．7、A【解題分析】

先利用定積分計算陰影部分面積，再用陰影部分面積除以總面積得到答案.【題目詳解】曲線分別是，的一部分則陰影部分面積為：總面積為：【題目點撥】本題考查了定積分，幾何概型，意在考查學生的計算能力.8、D【解題分析】

由與、可得出，向量在方向上的正射影的數(shù)量=【題目詳解】向量在方向上的正射影的數(shù)量=【題目點撥】本題考查兩向量垂直，其數(shù)量積等于0.向量在方向上的正射影的數(shù)量=.9、B【解題分析】畫出二元一次不等式所示的可行域，目標函數(shù)為截距型，，可知截距越大值越大，根據(jù)圖象得出最優(yōu)解為，則的最大值為2，選B.【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應的可行域，作圖時，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍．10、C【解題分析】本題考查指數(shù)型函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性；對數(shù)函數(shù)的圖像及圖像的平移變換.因為是奇函數(shù)，所以恒成立，整理得：恒成立，所以則又函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以于是函數(shù)的圖像是由函數(shù)性質(zhì)平移1個單位得到.故選C11、B【解題分析】分析：事件A發(fā)生后，只剩下8個數(shù)字，其中只有3個偶數(shù)字，由古典概型概率公式可得．詳解：在事件A發(fā)生后，只有8個數(shù)字，其中只有3個偶數(shù)字，∴．故選B．點睛：本題考查條件概率，由于是不放回取數(shù)，因此事件A的發(fā)生對B的概率有影響，可考慮事件A發(fā)生后基本事件的個數(shù)與事件B發(fā)生時事件的個數(shù)，從而計算概率．12、D【解題分析】

將作為基向量，其他向量用其表示，再計算得到答案.【題目詳解】設是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，故答案選D【題目點撥】本題考查了向量的乘法，將作為基向量是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，設B的坐標為，結合題意分析可得A、C的坐標，進而可得的直角邊長為2，據(jù)此可得，即，計算可得m的值，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設B的坐標為，如圖：

又由是以A為直角頂點的等腰直角三角形且點A，C的縱坐標相同，

則A、B的橫坐標相同，故A的坐標為，C的坐標為，

等腰直角三角形的直角邊長為2，

則有，即，

解可得，故答案為：【題目點撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)值的計算，屬于中檔題．14、-1【解題分析】

由題意結合向量垂直的充分必要條件得到關于k的方程，解方程即可求得實數(shù)k的值.【題目詳解】由平面向量的坐標運算可得：，與垂直，則，即：，解得：.【題目點撥】本題主要考查向量的坐標運算，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15、【解題分析】分析：先根據(jù)單調(diào)性得對任意的都成立，再根據(jù)實數(shù)存在性得，即得，解得正整數(shù)的最大值.詳解：因為偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，對任意的，都有，所以對任意的都成立，因為存在實數(shù)，所以即得，因為成立，，所以正整數(shù)的最大值為4.點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.16、【解題分析】

由題可知，，分和兩種情況分類討論，解不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】P∪Q＝Q，（1），即，解得（2），即，解得綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為.【題目點撥】本題考查集合包含關系中的參數(shù)問題，解題時要注意分類討論思想的合理運用，含參集合問題常采用數(shù)軸法，借助集合之間的包含關系得到參數(shù)的范圍，一定要注意的情況.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題，計算，，進而求出線性回歸方程。（2）由題可得，計算的值，從而得出【題目詳解】(1)由題意可得，，，∴y關于x的回歸直線方程(2)由題意，平均數(shù)為，方差為，，，【題目點撥】本題考查線性回歸方程與概率問題，屬于簡單題。18、（1）（2）3.【解題分析】

將絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，分別求出各段的最小值，最小的即為函數(shù)的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均數(shù)算數(shù)平均數(shù)，即可解出最小值。【題目詳解】（1）如圖所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴當且僅當，是值最小∴的最小值為3.【題目點撥】本題考查絕對值函數(shù)及平方平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)的大小關系，屬于基礎題.19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求的圖象在處的切線方程；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的在上的極值和最值，即可得到結論．試題解析：（1）當時，，，切點坐標為，切線的斜率，則切線方程為，即.（2），則.∵，∴當時，.當時，；當時，.故在處取得極大值.又，，，則，∴在上的最小值是．在上有兩個零點的條件是，解得，∴實數(shù)的取值范圍是．考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理得到，即，解得答案.（Ⅱ）根據(jù)面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，得到周長.【題目詳解】（Ⅰ）由已知得，由正弦定理得，即．∵，∴，∴．由于，∴．∵，∴．（Ⅱ）由得，，代入上式得．由余弦定理得，∴，∴，∴的周長為．【題目點撥】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，等差中項，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.21、（1）直線l的極坐標方程為.的極坐標方程為（2）【解題分析】

（1）消參可得直線的普通方程，再利用公式把極坐標方程與直角坐標方程進行轉(zhuǎn)化，從而得到直線的極坐標方程；利用相關點法求得曲線的極坐標方程；（2）利用極坐標中極徑的意義求得長度，再把所求變形成正弦型函數(shù)，進一步求出結果．【題目詳解】（1）消去直線l參數(shù)方程中的t，得，由，得直線l的極坐標方程為，故．由點Q在OP的延長線上，且，得，設，則，由點P是曲線上的動點，可得，即，所以的極坐標方程為．（2）因為直線l及曲線的極坐標方程分別為，，所以，，所以，所以當時，取得最大值，為．【題目點撥】本題考查的知識要點：參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，考查了點的軌跡方程的求法，涉及三角函數(shù)關系式的恒