云南省廣南縣第三中學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

云南省廣南縣第三中學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是（）①2018能被2整除；②一切偶數(shù)都能被2整除；③2018是偶數(shù)；A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．已知點P為雙曲線右支上一點，點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右焦點，點I是△PF1F2的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A．（1，） B．（1，2）C．（1，2] D．（1，]3．“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．定義：復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”．設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在曲線上，則的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對應(yīng)的點的軌跡方程為（）．A． B．C． D．5．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立.則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（）A． B． C． D．6．某公司在年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）支出y（億元）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此名計，如果年該公司的收入為億元時，它的支出為（）A．億元 B．億元 C．億元 D．億元7．已知向量，，若，則（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－18．下列結(jié)論中正確的是（）A．導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點B．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極大值C．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極小值D．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極大值9．一個三棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示(均為真角三角形),則該三棱錐的體積為（）A．4 B．8 C．16 D．2410．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且滿足，其中為的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是A． B． C． D．11．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．12．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)a+i1+i為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為A．-1B．1C．-2D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)滿足條件，則的最大值為_________．14．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)、分別對應(yīng)點、，為坐標(biāo)原點，則______．15．若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y?x的最小值是__________．16．若是函數(shù)的極值點，則在上的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國，緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽．從參加競賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將其成績分為六段，，，，，，到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù)；（2）若從競賽成績在與兩個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，設(shè)這兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.（3）為了激勵同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,現(xiàn)評出一二三等獎,得分在內(nèi)的為一等獎,得分在內(nèi)的為二等獎,得分在內(nèi)的為三等獎.若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機(jī)抽取三名,設(shè)為獲得三等獎的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，證明對于任意的成立．19．（12分）現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機(jī)抽取了七位醫(yī)護(hù)人員的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)（患者考核：10分制），用相關(guān)的特征量表示；醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)（試卷考試：100分制），用相關(guān)的特征量表示，數(shù)據(jù)如下表：（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程（計算結(jié)果精確到0.01）；（Ⅱ）利用（I）中的線性回歸方程，分析醫(yī)護(hù)專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)的影響，并估計某醫(yī)護(hù)人員的醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)為95分時，他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)（精確到0.1）；（Ⅲ）現(xiàn)要從醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)95分以下的醫(yī)護(hù)人員中選派2人參加組建的“九寨溝災(zāi)后醫(yī)護(hù)小分隊”培訓(xùn)，求這兩人中至少有一人考核分?jǐn)?shù)在90分以下的概率.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為20．（12分）已知點是雙曲線上的點．（1）記雙曲線的兩個焦點為，若，求點到軸的距離；（2）已知點的坐標(biāo)為，是點關(guān)于原點的對稱點，記，求的取值范圍．21．（12分）袋中有紅、黃、白色球各1個，每次任取1個，有放回地抽三次，求基本事件的個數(shù)，寫出所有基本事件的全集，并計算下列事件的概率：（1）三次顏色各不相同；（2）三次顏色不全相同；（3）三次取出的球無紅色或黃色．22．（10分）如圖，是正方形，是該正方體的中心，是平面外一點，平面，是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據(jù)三段論的一般模式進(jìn)行排序即可．詳解：由題意知，“一切偶數(shù)都能被2整除”是大前提，“2018是偶數(shù)”是小前提，“2018能被2整除”是結(jié)論．故這三句話按三段論的模式排列順序為②③①．故選C．點睛：“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理對特殊情況做出的判斷．2、D【解題分析】

根據(jù)條件和三角形的面積公式，求得的關(guān)系式，從而得出離心率的取值范圍，得到答案．【題目詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，因為，所以,由雙曲線的定義可知，所以，即，又由，所以雙曲線的離心率的取值范圍是，故選D．【題目點撥】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．3、B【解題分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【題目詳解】由可得或，所以若可得，反之不成立，是的必要不充分條件故選B【題目點撥】命題：若則是真命題，則是的充分條件，是的必要條件4、C【解題分析】

設(shè)可得:.因為復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù),可得,的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對應(yīng)的點,由坐標(biāo)變換,即可得的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對應(yīng)的點的軌跡方程.【題目詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在曲線上設(shè)可得:復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)┄①設(shè)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對應(yīng)的點可得:即┄②將②代入①得:即:故選:C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的運算,考查復(fù)平面和考查坐標(biāo)變換,掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)是解本題的關(guān)鍵.5、A【解題分析】

記事件甲獲得冠軍，事件比賽進(jìn)行三局，計算出事件的概率和事件的概率，然后由條件概率公式可得所求事件的概率為.【題目詳解】記事件甲獲得冠軍，事件比賽進(jìn)行三局，事件甲獲得冠軍，且比賽進(jìn)行了三局，則第三局甲勝，前三局甲勝了兩局，由獨立事件的概率乘法公式得，對于事件，甲獲得冠軍，包含兩種情況：前兩局甲勝和事件，，，故選A.【題目點撥】本題考查利用條件概率公式計算事件的概率，解題時要理解所求事件的之間的關(guān)系，確定兩事件之間的相對關(guān)系，并利用條件概率公式進(jìn)行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.6、B【解題分析】，，代入回歸直線方程，，解得：，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時，支出為億元，故選B.7、C【解題分析】

根據(jù)題意得到的坐標(biāo)，由可得的值.【題目詳解】由題，，，或，故選C【題目點撥】本題考查利用坐標(biāo)法求向量差及根據(jù)向量垂直的數(shù)量積關(guān)系求參數(shù)8、B【解題分析】

根據(jù)極值點的判斷方法進(jìn)行判斷.【題目詳解】若，則，，但是上的增函數(shù)，故不是函數(shù)的極值點.因為在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，故的左側(cè)附近，有為增函數(shù)，在的右側(cè)附近，有為減函數(shù)，故是極大值.故選B.【題目點撥】函數(shù)的極值刻畫了函數(shù)局部性質(zhì)，它可以理解為函數(shù)圖像具有“局部最低（高）”的特性，用數(shù)學(xué)語言描述則是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可導(dǎo)且的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號發(fā)生變化，則必為函數(shù)的極值點，具體如下．（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極大值點；（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極小值點；9、B【解題分析】

根據(jù)三視圖知，三棱錐的一條長為6的側(cè)棱與底面垂直，底面是直角邊為2、4的直角三角形，利用棱錐的體積公式計算即可.【題目詳解】由三視圖知三棱錐的側(cè)棱與底垂直，其直觀圖如圖，可得其俯視圖是直角三角形，直角邊長為2，4，，棱錐的體積，故選B.【題目點撥】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.10、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【題目詳解】解：令，則，在上單調(diào)遞增，又，，即，即故選：．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．11、A【解題分析】因為，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是-1，選A.12、A【解題分析】a+i1+i=(a+i)(1-i)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

作出平面區(qū)域，則表示過（0，1）和平面區(qū)域內(nèi)一點的直線斜率．求解最大值即可．【題目詳解】作出實數(shù)x，y滿足條件的平面區(qū)域如圖所示：由平面區(qū)域可知當(dāng)直線過A點時，斜率最大．解方程組得A（1，2）．∴z的最大值為=1．故答案為：1．【題目點撥】點睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。注意解答本題時不要忽視斜率不存在的情形.14、【解題分析】

由復(fù)數(shù)、分別對應(yīng)點,,可得,即可計算.【題目詳解】復(fù)數(shù)、分別對應(yīng)點,,可得:,故答案為:.【題目點撥】本題考查復(fù)平面和數(shù)量積,主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)是解本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15、3【解題分析】

分析：作可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法.詳解：作可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線過點A(1,2)時，取最小值3.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.16、【解題分析】

先對f(x)求導(dǎo)，根據(jù)可解得a的值，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出區(qū)間上的最小值．【題目詳解】，則，解得，所以，則.令，得或；令，得.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以.【題目點撥】本題考查由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最小值，解題關(guān)鍵是由求出未知量a．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0.06；87.5；87.5；(2)；(3)詳見解析【解題分析】

（1）根據(jù)小矩形的面積之和等于1，列出方程，求得的值，根據(jù)中位數(shù)定義估計中位數(shù)的范圍，在列出方程求解中位數(shù)，再根據(jù)眾數(shù)的定義，即可求解.（2）計算兩組的人數(shù)，再計算抽取的兩人在同一組的概率，即可求解；（3）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量服從二項分布，再利用二項分布的期望公式，即可求解.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，可知樣本的中位數(shù)在第4組中，不妨設(shè)為，則，解得，即樣本的中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可知，樣本的眾數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，在與兩個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)分別為和，設(shè)中兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于5分為事件M，則事件M發(fā)生的概率為，即事件M發(fā)生的概率為.（3）從考生中隨機(jī)抽取三名,則隨機(jī)變量為獲得三等獎的人數(shù),則，由頻率分布直方圖知，從考升中任抽取1人，此生獲得三等獎的概率為，所以隨機(jī)變量服從二項分布，則，，所以隨機(jī)變量的分布列為01230.3430.4410.1890.027所以.【題目點撥】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，熟練頻率分布直方圖的性質(zhì)，正確確定隨機(jī)變量的取值，求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）求的導(dǎo)函數(shù)，對a進(jìn)行分類討論，求的單調(diào)性；（Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解.試題解析：（Ⅰ）的定義域為；.當(dāng)，時，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當(dāng)時，.（1），，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；（2）時，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增；（3）時，，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，，，令，.則，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，因為，所以在上存在使得時，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，所以，即對于任意的恒成立?！究键c】利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想.【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯誤百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.19、(1).(2)隨著醫(yī)護(hù)專業(yè)知識的提高，個人的關(guān)愛患者的心態(tài)會變得更溫和，耐心，因此關(guān)愛患者的考核分?jǐn)?shù)也會穩(wěn)步提高.(3).【解題分析】分析：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算、，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；（2）根據(jù)（Ⅰ）中的線性回歸方程知x與y是正相關(guān)，計算x=95時y的值即可；（3）從中任選連個的所有情況有共六種，至少有一個分?jǐn)?shù)在90分以下的情況有3種，根據(jù)古典概型的計算公式進(jìn)行計算即可.詳解：（Ⅰ）由題得，所以所以線性回歸方程為（Ⅱ）由于.所以隨著醫(yī)護(hù)專業(yè)知識的提高，個人的關(guān)愛患者的心態(tài)會變得更溫和，耐心，因此關(guān)愛患者的考核分?jǐn)?shù)也會穩(wěn)步提高當(dāng)時，（Ⅲ）由于95分以下的分?jǐn)?shù)有88,90,90,92，共4個，則從中任選連個的所有情況有，，，，，，共六種.兩人中至少有一個分?jǐn)?shù)在90分以下的情況有，，，共3種.故選派的這兩個人中至少有一人考核分?jǐn)?shù)在90分以下的概率.點睛：本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可.20、（1）（2）【解題分析】

(1)利用，結(jié)合向量知識，可得的軌跡方程，結(jié)合雙曲線方程，即可得到點到軸的距離．(2)用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)雙曲線的范圍，可求得的取值范圍．【題目詳解】(1)設(shè)點為，，而，，則，，，．，，即，整理，得①又，在雙曲線上，②聯(lián)立①②，得，即因此點到軸的距離為.(2)設(shè)的坐標(biāo)為，，則的坐標(biāo)為，，．的取值范圍是，．【題目點撥】本題主要考查向量的運算，考查雙曲線中點的坐標(biāo)的求法和范圍問題的解法，意在考查