2024屆甘肅省武威市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆甘肅省武威市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C．1 D．22．己知復(fù)數(shù)z滿足，則A． B． C．5 D．253．已知集合，，若圖中的陰影部分為空集，則構(gòu)成的集合為（）A． B．C． D．4．若函數(shù)是奇函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)的圖象如圖所示，若，且，則的值為（）A． B． C．1 D．06．已知直線的傾斜角為，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，且都垂直于軸（其中分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（）A． B． C． D．8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．10．直線：，，所得到的不同直線條數(shù)是（）A．22 B．23 C．24 D．2511．已知原命題：已知，若，則，則其逆命題、否命題、逆否命題和原命題這四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為()A． B． C． D．12．若離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下表所示，則的值為()1A． B． C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，其中，是與無關(guān)的實(shí)數(shù)，且，的最小值為1.則的最小值______.14．已知復(fù)數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________．15．已知m＞0,函數(shù).若存在實(shí)數(shù)n，使得關(guān)于x的方程f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0有6個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________．16．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項(xiàng)和（結(jié)果需化簡）18．（12分）小陳同學(xué)進(jìn)行三次定點(diǎn)投籃測試，已知第一次投籃命中的概率為，第二次投籃命中的概率為，前兩次投籃是否命中相互之間沒有影響.第三次投籃受到前兩次結(jié)果的影響，如果前兩次投籃至少命中一次，則第三次投籃命中的概率為，否則為.（1）求小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率；（2）記小陳同學(xué)三次投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，矩形和等邊三角形中，，平面平面．（1）在上找一點(diǎn)，使，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．20．（12分）進(jìn)入春天，大氣流動(dòng)性變好，空氣質(zhì)量隨之提高，自然風(fēng)光越來越美，自駕游鄉(xiāng)村游也就越來越熱．某旅游景區(qū)試圖探究車流量與景區(qū)接待能力的相關(guān)性，確保服務(wù)質(zhì)量和游客安全，以便于確定是否對(duì)進(jìn)入景區(qū)車輛實(shí)施限行．為此，該景區(qū)采集到過去一周內(nèi)某時(shí)段車流量與接待能力指數(shù)的數(shù)據(jù)如表：時(shí)間周一周二周三周四周五周六周日車流量（x千輛）1099.510.51188.5接待能力指數(shù)y78767779807375（I）根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程．（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2，則認(rèn)為該線性回歸方程是可靠的．請(qǐng)根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù)，判定所得的線性回歸方程是否可靠？附參考公式及參考數(shù)據(jù)：線性回歸方程，其中；21．（12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線與軸平行.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.22．（10分）隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財(cái)富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況，隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民，按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)（單位：名）使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.（1）求頻數(shù)分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機(jī)選取2人，假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元，這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?，求的分布列及?shù)學(xué)期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品，一年可以獲得3元利息.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先對(duì)進(jìn)行化簡，然后得出，即可算出【題目詳解】所以，所以故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查的是復(fù)數(shù)的運(yùn)算，較簡單.2、B【解題分析】

先計(jì)算復(fù)數(shù)再計(jì)算.【題目詳解】故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題型.3、D【解題分析】

先化簡集合，注意，由題意可知，，確定即可【題目詳解】或，圖中的陰影部分為空集，或，即或又，，故選D【題目點(diǎn)撥】考查維恩圖的識(shí)別、對(duì)數(shù)計(jì)算、列舉法及集合的關(guān)系4、C【解題分析】的定義域?yàn)?，它?yīng)該關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，又時(shí)，，，為奇函數(shù).又原不等式可以化為，所以，所以，選C.點(diǎn)睛：如果一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么它的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，我們可以利用這個(gè)性質(zhì)去求奇函數(shù)或偶函數(shù)中的參數(shù)的值.5、C【解題分析】由題意得，，則，又，即，解得，所以，令，即，，解得該函數(shù)的對(duì)稱軸為，則，即，所以，故選C.6、D【解題分析】

根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，，則，又由直線的傾斜角為，得，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，即可求出離心率.【題目詳解】直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，且、都垂直于軸，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)點(diǎn)，，則，即，且，又直線的傾斜角為，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，，，整理得，即，解方程得，（舍）故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線離心率的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.圓錐曲線離心率的計(jì)算，常采用兩種方法：1、通過已知條件構(gòu)建關(guān)于的齊次方程，解出.根據(jù)題設(shè)條件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面幾何相似，直角三角形性質(zhì)等）借助之間的關(guān)系，得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率.2、通過已知條件確定圓錐曲線上某點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程中，解出.根據(jù)題設(shè)條件，借助表示曲線某點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元方程，從而解得離心率.7、B【解題分析】

由虛數(shù)的定義求解．【題目詳解】復(fù)數(shù)的虛部是－1．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的概念是解題基礎(chǔ)．8、D【解題分析】

由三視圖還原出原幾何體，然后計(jì)算其表面積．【題目詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)圓錐里面挖去一個(gè)圓柱，尺寸見三視圖．圓錐的母線長為，．故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合體的表面積，解題關(guān)鍵是由三視圖還原出原幾何體，確定幾何體的結(jié)構(gòu)．9、D【解題分析】

法一：考查四個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)特殊值區(qū)分開了四個(gè)選項(xiàng)，0出現(xiàn)在了A，B兩個(gè)選項(xiàng)的范圍中，出現(xiàn)在了B，C兩個(gè)選項(xiàng)的范圍中，故通過驗(yàn)證參數(shù)為0與時(shí)是否符合題意判斷出正確選項(xiàng)。法二：根據(jù)題意可將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，分離參數(shù)得到，，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域，即可得到參數(shù)的范圍?！绢}目詳解】法一：由題意可得，，而由可知，當(dāng)時(shí)，＝為增函數(shù)，∴時(shí)，．∴不存在使成立，故A，B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，＝，當(dāng)時(shí)，只有時(shí)才有意義，而，故C錯(cuò)．故選D．法二：顯然，函數(shù)是增函數(shù)，，由題意可得，，而由可知，于是，問題轉(zhuǎn)化為在上有解．由，得，分離變量，得，因?yàn)椋?，所以，函?shù)在上是增函數(shù)，于是有，即，應(yīng)選D．【題目點(diǎn)撥】本題是一個(gè)函數(shù)綜合題，方法一的切入點(diǎn)是觀察四個(gè)選項(xiàng)中與不同，結(jié)合排除法以及函數(shù)性質(zhì)判斷出正確選項(xiàng)，方法二是把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，屬于中檔題。10、B【解題分析】

根據(jù)排列知識(shí)求解，關(guān)鍵要減去重復(fù)的直線.【題目詳解】當(dāng)m,n相等時(shí)，有1種情況；當(dāng)m,n不相等時(shí)，有種情況，但重復(fù)了8條直線，因此共有條直線.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問題，關(guān)鍵在于減去斜率相同的直線，屬于中檔題.11、D【解題分析】

判斷原命題的真假即可知逆否命題的真假，由原命題得出逆命題并判斷真假，即可得否命題的真假。【題目詳解】由題原命題：已知，若，則，為真命題，所以逆否命題也是真命題；逆命題為：已知，若，則，為真命題，所以否命題也是真命題。故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查四種命題之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握互為逆否的命題同真假，屬于基礎(chǔ)題。12、A【解題分析】由離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布表知：.解得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

化簡，結(jié)合單調(diào)性及題意計(jì)算出，的表達(dá)式，由的最小值為1計(jì)算出結(jié)果【題目詳解】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，又關(guān)于的不等式在上恒成立，所以，，因?yàn)榈淖钚?，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，即的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了計(jì)算最值問題，題目較為復(fù)雜，理清題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出最值，運(yùn)用基本不等式計(jì)算出結(jié)果，緊扣題意是解題關(guān)鍵，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化能力14、【解題分析】試題分析：因?yàn)?，所以所以本題也可利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進(jìn)行求解，即考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模15、.【解題分析】分析：作出的圖象，依題意可得4m－m2+1＜m，解之即可.詳解：作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x＞m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0，[f(x)-n][f(x)-(n+1)]=0。f(x)=n或f(x)=n+1∴要使方程f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0有6個(gè)不同的根，則4m－m2+1＜m，即m2－3m－1＞0.又m＞0，解得m＞.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析到4m－m2+1＜m是難點(diǎn).16、【解題分析】

根據(jù)模長公式求出，即可求解.【題目詳解】，復(fù)數(shù)的實(shí)部為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念以及模長公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；【解題分析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式得時(shí)，，時(shí)，，化簡計(jì)算可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．【題目詳解】（1）可得時(shí)，則（2）數(shù)列滿足，可得，即，前項(xiàng)和兩式相減可得化簡可得【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先求小陳同學(xué)三次投籃都沒有命中的概率，再用1減得結(jié)果，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再利用組合數(shù)求對(duì)應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.詳解：（1）小陳同學(xué)三次投籃都沒有命中的概率為(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率為1－＝.（2）ξ可能的取值為0，1，2，1．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝1)＝××＝；故隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ0121P所以數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋1×＝．點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.19、（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【解題分析】試題分析：(1)分別取的中點(diǎn)，利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可證明面，進(jìn)而得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面法向量成的角去求解.試題解析：（1）為線段的中點(diǎn)，理由如下：分別取的中點(diǎn)，連接，在等邊三角形中，，又為矩形的中位線，，而，所以面，所以；（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，三角形為等邊三角形，．于是，設(shè)面的法向量，所以，得，則面的一個(gè)法向量，又是線段的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，于是，且，又設(shè)面的法向量，由，得，取，則，平面的一個(gè)法向量，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20、（I）（Ⅱ）是可靠的，詳見解析【解題分析】

（I）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用公式求得的值，即可求得回歸直線的方程.（Ⅱ）由（I）中的回歸直線的方程，分別代入和進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論.【題目詳解】（I）由表中的數(shù)據(jù)，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，（78+76+77+79+80）＝78，又由5，2.5，則，78﹣2×10＝1．所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，滿足|74﹣73|＝1＜2，當(dāng)時(shí)，，滿足|75﹣75|＝0＜2，所以是可靠的．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及回歸分析的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，利用公式準(zhǔn)確求解回歸直線方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能