專題09 拋物線性質(zhì)歸類（原卷版）

專題09拋物線綜合性質(zhì)歸類一、鞏固提升練【題型一】拋物線軌跡【題型二】定義基礎(chǔ)【題型三】定義：點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離最值【題型四】定義：中點(diǎn)弦型（梯形中位線）【題型五】角度型【題型六】焦點(diǎn)弦定值【題型七】中點(diǎn)型比值最值【題型八】定比分點(diǎn)型【題型九】拋物線切線【題型十】面積最值二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)【題型一】拋物線軌跡知識點(diǎn)與技巧：求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.1.已知的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則的重心G的軌跡方程為______．2.已知的頂點(diǎn)、，若頂點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，則的重心的軌跡方程為_______3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為________．4.若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，則點(diǎn)的軌跡方程是__________．5.已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線x＝1相切，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是__．【題型二】定義基礎(chǔ)知識點(diǎn)與技巧：標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下1..已知是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，則______．2.（2020·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線E：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF為菱形OBFC的一條對角線，另一條對角線BC的長為2，且點(diǎn)B，C在拋物線E上，則p=（

）A．1 B． C．2 D．3..（江蘇省無錫市江陰市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期寒假開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題）我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)經(jīng)過拋物線這一節(jié)的學(xué)習(xí)，結(jié)合函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可求出該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).則二次函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4.（2023上·陜西漢中·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，曲線與交于點(diǎn)，軸，則.【題型三】定義：點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離最值知識點(diǎn)與技巧：拋物線定義的兩種應(yīng)用：（1）實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線的定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.1.（2012·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為A． B． C． D．2.（2023上·浙江嘉興·高二嘉興高級中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.（2023上·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，且，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．44.．（2023·全國·高二課堂例題）已知P為拋物線上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為，則的最小值為（

）A．4 B．3 C． D．5.（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于P的對稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【題型四】定義：中點(diǎn)弦型（梯形中位線）1.（2020·高二課時(shí)練習(xí)）P為拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，A，B，P三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離分別是|AA1|，|BB1|，|PP1|，則有（）A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|2.（2020上·福建莆田·高二校聯(lián)考期末）已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為（

）A． B．4 C．7 D．83.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．4.（湖南省邵陽市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若，則直線的方程為__________．【題型五】角度型1.（河南省安陽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期階段性測試（一）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)在C上，過P作l的垂線，垂足為Q，若，則F到l的距離為（

）A．2 B．4 C．6 D．82.（廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，且滿足，弦的中點(diǎn)到直線的距離記為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.（江蘇省徐州市睢寧縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．4.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．3

B．2

C．1

D．5.（安徽省安慶市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【題型六】焦點(diǎn)弦定值：1.（四川省攀枝花市第三高級中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖所示，已知拋物線過點(diǎn)，圓.過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.（內(nèi)蒙古烏蘭察布市北京八中分校2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過且依次交拋物線及圓于點(diǎn)四點(diǎn)，則的最小值為__________．3.（2021·重慶九龍坡·統(tǒng)考）如圖，已知拋物線：和圓：，過圓圓心的直線與拋物線和圓依次交于A?C?D?B四點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．4.（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎本€與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型七】中點(diǎn)型比值最值1.（2023·陜西西安·統(tǒng)考練習(xí)）點(diǎn)為拋物線上的兩點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．2.（2022上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）是拋物線：的焦點(diǎn)，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足，線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．3．（2022·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，過線段的中點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，以為直徑的圓過點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．14.（2021·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N.則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【題型八】定比分點(diǎn)型1.已知A，B兩點(diǎn)在以F為焦點(diǎn)的拋物線上，并滿足，過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線對稱軸的平行線，與OA交于N點(diǎn)，則MN的長為（

）A． B． C． D．2.．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，記，則的值為（

）A． B． C． D．3.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則到軸的距離為（

）A． B． C． D．4.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，，設(shè)，為的中點(diǎn)，則到軸的距離為（

）A． B． C． D．【題型九】拋物線切線1.（2023·廣東梅州·統(tǒng)考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，若拋物線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．2.（2022上·江蘇連云港·高二校考期中）過拋物線上定點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)、，則直線的方程為（

）A． B．C． D．3.（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是拋物線：上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．1 C．16 D．4.（2022·四川涼山·統(tǒng)考）拋物線，直線與交于（左側(cè)為，右側(cè)為）兩點(diǎn)，若拋物線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5.（2022下·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）過點(diǎn)P作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，若的重心坐標(biāo)為，且P在拋物線上，則D的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【題型十】面積最值1.（2021上·福建南平·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）直線與拋物線相交與兩點(diǎn)，若(是坐標(biāo)原點(diǎn)），則面積的最小值為（

）A．32 B．24 C．16 D．82.（2022上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎獟佄锞€，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．43.（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，過拋物線的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦,交拋物線于A、B兩點(diǎn)．則△AOB面積的最小值為．4.（2020·全國·高二假期作業(yè)）已知、為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足(為拋物線的焦點(diǎn))，延長、分別交拋物線于點(diǎn)、，則四邊形面積的最小值為1.（上海市松江二中2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）動(dòng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，則點(diǎn)P和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是________．2.（2021上·黑龍江大慶·高二鐵人中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則實(shí)數(shù).3.（2023·浙江·校聯(lián)考）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．4.（內(nèi)蒙古赤峰二中2022屆高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（文)試題）拋物線的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為__________．5.（湖北省孝感市部分校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在C上，于點(diǎn)B，若，則（

）A． B． C． D．6.（四川省廣安市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期“零診”考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，且，則（

）A．11 B．12 C．13 D．147.（2022·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為拋物線C上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)B是拋物線C上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．8.（2021·四川雅安·統(tǒng)考）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過