小學(xué)數(shù)學(xué)5年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第19講 最大公約數(shù)（含解析）

第19講最大公約數(shù)

0學(xué)習(xí)目標

?教學(xué)目標掌握約數(shù)和最大公約數(shù)的概念，最大公約數(shù)的求法；

?會利用最大公約數(shù)解決實際問題。

r知識梅里

歙a

一、約數(shù)和倍數(shù)的定義

整數(shù)A能被整數(shù)B整除，A叫做B的薛數(shù)，B就叫做A的約題在自然數(shù)的范圍內(nèi))。

如：2和6是12的約數(shù)，12是2的倍數(shù)，12也是6的倍數(shù)；

18的約數(shù)有1、18、2、9、3、6。

注意：①一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是有限的，一個數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個。

②任何數(shù)都有最小的約數(shù)1,最大的約數(shù)本身，最小的倍數(shù)也是本身。

③一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小

的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

④因數(shù)和約數(shù)的區(qū)別：約數(shù)必須在整除的前提下才存在，而是從乘積的角度來提出的。如果數(shù)a與數(shù)b相

乘的積是數(shù)c,a與b都是c的。

二、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

(1)只有1和本身兩個約數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(或素數(shù))；

(2)除了1和本身外還有其它約數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)；

(3)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；

(4)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、

71、73、79、83、89、97。

(5)每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)

約數(shù)，例如15=3X5,3和5叫做15的質(zhì)約數(shù)。

(6)把一個合數(shù)用質(zhì)約數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)約數(shù)。

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù),例如12

的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公約數(shù),

6是它們的最大公約數(shù)，記作(12,18)=6。

(7)公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，有下列幾種情況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)；

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)；

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。

典例分析名

考點一：最大公約數(shù)的求法

例1、列舉法:求12和18的最大公約數(shù)。

例2、短除法:求42和105的最大公約數(shù)。

例3、分解質(zhì)約數(shù)法：求48和72的最大公約數(shù)。

例4、輾轉(zhuǎn)相除法:求432和225的最大公約數(shù)。

考點二：應(yīng)用最大公約數(shù)巧算

例1、一個長方體木塊的長是4分米5厘米、寬3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正

方體木塊，不許有剩余，求所切正方體木塊的棱長最長是多少厘米？

例2、一條道路由甲村經(jīng)過乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。現(xiàn)在準備在路邊

裁樹，要求相鄰兩棵樹之間距離相等，并在甲、乙兩村和乙、丙兩村的中點都要種上樹，求相鄰兩棵樹之

間的距離最多是多少米？

例3、用96朵紅花和72朵白花做成花束，如果各花束里紅花的朵數(shù)相同，白花的朵數(shù)也相同，每束花里最

少有幾朵花？

考點三：最大公約數(shù)綜合

例1、可以寫成哪兩個分數(shù)單位的和？

18

例2、圖中的大長方形分別由面積為12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的

四個小長方形所組成.那么圖中陰影部分的面積為多少平方厘米.

實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

一、填空題

1、18的約數(shù)有（），60的約數(shù)有（），18和60的公約數(shù)有（）,最大公約數(shù)是（）o

2、一個合數(shù)的約數(shù)至少有（）個，例如：（）。

3、如果A=2x3x7,B=2x5x7,那么A和B的最大公約數(shù)是（）,最小公倍數(shù)是（）。

二、選擇題

4、1、2、4、8是8的（）

A、約數(shù)B、公約數(shù)C、素數(shù)

5、12是（）的最大公約數(shù)。

A、1和12B、12和24C、3和4

6、一個兩位數(shù)個位和十位上都是合數(shù)，并且它們的最大公約數(shù)是1,那么這兩位數(shù)可能是（）

A、49B、59C、69

三、解答題

7、寫出每組數(shù)的最大公約數(shù)

7和95和2510和4

27和1811和7715和16

8、有22塊橡皮和33支鉛筆平均分給參加勞動的同學(xué)，結(jié)果橡皮多1塊，鉛筆少2支，參加

勞動的同學(xué)有多少名？

9、幼兒園一個班借閱圖書，如果借35本，平均分發(fā)給每個小朋友差1本；如果借56本，平均分發(fā)給每個

小朋友后還剩2本；如果借69本，平均分發(fā)給每個小朋友則差3本。這個班的小朋友最多有多少人？

＞課后反擊

一、判斷題

1、如果a+b=4（a、b為整數(shù)）那么a和b的最大公約數(shù)是4。（）

2、一個數(shù)最小的倍數(shù)與它最大的約數(shù)相等。（）

3、任何一個自然數(shù)的約數(shù)至少有2個。（）

4、1和任何自然數(shù)（0除外）都沒有公約數(shù)。（）

二、解答題

5、五年級三個班分別有24人、36人、42人參加體育活動，要把他們分成人數(shù)相等的小組，但各班同學(xué)不

能打亂，最多每組多少人？每班各可以分幾組？

6、兩個自然數(shù)的積是360,最小公倍數(shù)是120,這兩個數(shù)各是多少？

7、一個數(shù)除200余4,除300余6,除500余10,。求這個數(shù)最大是多少？

8、一塊三角形地的三邊分別是18米、18米和21米，要再它的周圍種上樹，要使頂角處都種，相鄰的兩棵

樹間的距離相等。最少要種多少棵樹？相鄰兩棵樹之間距離是多少米？

重點回顧

1、約數(shù)和最大公約數(shù)的概念，最大公約數(shù)的求法；

2、利用最大公約數(shù)解決實際問題。

三名師點撥3

—、

1、在用短除計算多個數(shù)時，對其中任意兩個數(shù)存在的因數(shù)都要算出，其它沒有這個因數(shù)的數(shù)則原樣落

下。直到剩下每兩個都是互質(zhì)關(guān)系。

2、在用分解質(zhì)因數(shù)的方法求最大公因數(shù)時，如果有幾個質(zhì)因數(shù)相同，則比較兩數(shù)中哪個數(shù)有該質(zhì)因數(shù)的

個數(shù)較少，乘較少的次數(shù)。

3、求最大公因數(shù)的方法可以是集合法，對應(yīng)法，列表法，分解質(zhì)因數(shù)法，短除法以及輾轉(zhuǎn)相除法等。

在運用找最大公因數(shù)解決問題時，并不是所有的題目都要求直接運用找最大公因數(shù)來解決，而是求出最大

的公因數(shù)后，還要繼續(xù)運用題目的已知條件和問題繼續(xù)解答。

(1)短除法

短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)，然后落下兩個數(shù)

被公有質(zhì)因數(shù)整除的商，之后再除，以此類推，直到結(jié)果互質(zhì)為止(兩個數(shù)互質(zhì))。

(2)輾轉(zhuǎn)相除法

基于下面的性質(zhì)：(a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都為自然數(shù)

就是說，兩個數(shù)的最大公約數(shù)，將其中一個數(shù)加到另一個數(shù)上，得到的新數(shù)組，其公約數(shù)不變，比如

(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2X4)=2。這里有一個比較簡單的證明方法來說明這個性質(zhì)：如果p是a和ka+b的公約

數(shù)，p整除a,也能整除ka+b。那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公約數(shù)，從而證明他們的最大公

約數(shù)也是相等的。

(3)分解質(zhì)因數(shù):首先把兩個數(shù)的質(zhì)因數(shù)寫出來，最大公因數(shù)等于它們所有相同的質(zhì)因數(shù)的乘積。

學(xué)霸經(jīng)驗

＞本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

第19講最大公約數(shù)

教學(xué)目標

、教學(xué)目標掌握約數(shù)和最大公約數(shù)的概念，最大公約數(shù)的求法;

會利用最大公約數(shù)解決實際問題。

知識梳理

一、約數(shù)和倍數(shù)的定義

整數(shù)A能被整數(shù)B整除，A叫做B的僧?dāng)?shù)，B就叫做A的約數(shù)(在自然數(shù)的范圍內(nèi))。

如：2和6是12的約數(shù)，12是2的倍數(shù)，12也是6的倍數(shù)；

18的約數(shù)有1、18、2、9、3、6,

注意：①一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是有限的，一個數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個。

②任何數(shù)都有最小的約數(shù)1,最大的約數(shù)本身，最小的倍數(shù)也是本身。

③一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小

的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

④因數(shù)和約數(shù)的區(qū)別：約數(shù)必須在整除的前提下才存在，而是從乘積的角度來提出的。如果數(shù)a與數(shù)b相

乘的積是數(shù)c,a與b都是c的。

二、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

(1)只有1和本身兩個約數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(或素數(shù))；

(2)除了1和本身外還有其它約數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)；

(3)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；

(4)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、

71、73、79、83、89、97。

(5)每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)

約數(shù),例如15=3X5,3和5叫做15的質(zhì)約數(shù)。

(6)把一個合數(shù)用質(zhì)約數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)約數(shù)。

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這兒個數(shù)的公約贊。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù),例如12

的約數(shù)有1、2,3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公約數(shù),

6是它們的最大公約數(shù)，記作(12,18)=6。

(7)公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，有下列幾種情況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)；

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)；

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。

典例分析色

考點一：最大公約數(shù)的求法

例1、列舉法:求12和18的最大公約數(shù)。

【解析】12的約數(shù)有1,2,3,4,6,12o

18的約數(shù)有1,2,3,6,9,18。

12和18的公約數(shù)有1,2,3,6。

12和18的最大公約數(shù)是6。

例2、短除法:求42和105的最大公約數(shù)。

【解析】342105

7.435

25

42和105的最大公約數(shù)為：3x7=21。

例3、分解質(zhì)約數(shù)法:求48和72的最大公約數(shù)。

【解析】把48分解質(zhì)約數(shù)：48=2x2x2x2x3

把72分解質(zhì)約數(shù)：72=2x2x2x3x3

48和72的最大公約數(shù)為：2x2x2x3=24

例4、輾轉(zhuǎn)相除法:求432和225的最大公約數(shù)。

【解析】432+225=1余207

225+207=1余18

2074-18=11余9

18+9=2

所以9就是432和225的最大公約數(shù)?

考點二：應(yīng)用最大公約數(shù)巧算

例1、一個長方體木塊的長是4分米5厘米、寬3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正

方體木塊，不許有剩余，求所切正方體木塊的棱長最長是多少厘米？

【解析】4分米5厘米=45厘米、3分米6厘米=36厘米、2分米4厘米=24厘米。

45、36、24的最大公約數(shù)是3。

所以正方體木塊的棱長最長是3厘米。

例2、一條道路由甲村經(jīng)過乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米?，F(xiàn)在準備在路邊

裁樹，要求相鄰兩棵樹之間距離相等，并在甲、乙兩村和乙、丙兩村的中點都要種上樹，求相鄰兩棵樹之

間的距離最多是多少米？

【解析】由于甲乙、乙丙的兩村中點各要種上一棵樹，所要要將360+2=180米、675+2=337.5米平均分成若

干段，并且使每段的長度最長。因為（675、360）=45,而180=360+2,337.5=675+2,所以,45+2=22.5,

即相鄰兩棵樹之間距離最多是22.5米。

例3、用96朵紅花和72朵白花做成花束，如果各花束里紅花的朵數(shù)相同，白花的朵數(shù)也相同，每束花里最

少有幾朵花？

【解析】由題可知扎的每一束花是兩種顏色的，兩種顏色的花，朵數(shù)不同，故先求出最多可以扎多少束花,

即求96和72的最大公約數(shù)是24,然后求出在每束中，紅花至少96?24=4朵；黃花至少72?24=3朵，繼而

相加得出結(jié)論.

解：96=2x2x2x2x2x3,

72=2x2x2x3x3,

故96和72的最大公約數(shù)：2x2x2x3=24；

96+24+72+24=7（朵）;

答：每束花最少有7朵；

考點三：最大公約數(shù)綜合

例1、,可以寫成哪兩個分數(shù)單位的和？

18

【解析】18的約數(shù)有1,2,3,6,9,18,任取一對約數(shù)可得。

-1-=1+9-----1---+----9---=--1--+--1-

1818x（l+9）18x1018x1018020

例2、圖中的大長方形分別由面積為12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的

四個小長方形所組成.那么圖中陰影部分的面積為多少平方厘米.

【解析】上兩塊面積為12+36=48平方厘米,

下兩塊面積為24+48=72平方厘米，

48與72的最大公約數(shù)為24,

故：面積為12平方厘米的高為2厘米，底邊長為6厘米.

面積為36平方厘米的高為2厘米，底邊長為18厘米.

面積為24平方厘米的高為3厘米，底邊長為8厘米.

面積為48平方厘米的高為3厘米，底邊長為16厘米.

陰影部分底邊長為18-16=2厘米

2X24-2+2X34-2=5平方厘米

陰影部分的面積為5平方厘米.

嘖實戰(zhàn)演練電

＞課堂狙擊

一、填空題

1、18的約數(shù)有0，60的約數(shù)有（），18和60的公約數(shù)有（）,最大公約數(shù)是（）。

【解析】（1、2、3、6、9、18）,（1、2、3、4、5、69、10、12、15、20、30、60）,(1、2、3、6),(6)

2、一個合數(shù)的約數(shù)至少有（）個，例如：（）。

【解析】⑶,（4、8、9、10、12）

3、如果A=2x3x7,B=2x5x7,那么A和B的最大公約數(shù)是（）,最小公倍數(shù)是（）。

【解析】(14),(210)

二、選擇題

4、1、2、4、8是8的（）

A、約數(shù)B、公約數(shù)C、素數(shù)

【解析】A

5、12是()的最大公約數(shù)。

A、1和12B、12和24C、3和4

【解析】B

6、一個兩位數(shù)個位和十位上都是合數(shù)，并且它們的最大公約數(shù)是1,那么這兩位數(shù)可能是()

A、49B、59C、69

【解析】A

三、解答題

7、寫出每組數(shù)的最大公約數(shù)

7和95和2510和4

27和18II和7715和16

【解析】1,5,2,9,11,1

8、有22塊橡皮和33支鉛筆平均分給參加勞動的同學(xué)，結(jié)果橡皮多1塊，鉛筆少2支，參加

勞動的同學(xué)有多少名？

【解析】22-1=21,

33+2=35,

21=3X7,

35=5X7,

所以21和35的最大公約數(shù)是7,即參加勞動的同學(xué)有7名.

答：參加勞動的同學(xué)有7名.

9、幼兒園一個班借閱圖書，如果借35本，平均分發(fā)給每個小朋友差1本；如果借56本，平均分發(fā)給每個

小朋友后還剩2本；如果借69本，平均分發(fā)給每個小朋友則差3本。這個班的小朋友最多有多少人？

【解析】如果35本增加1本,35+1=36本，就不差；小朋友的人數(shù)是36的因數(shù)；

如果56本減少2本,56-2=54本，就沒有剩；小朋友的人數(shù)是54的因數(shù)；

如果69本增加3本,69+3=72本，就不差；小朋友的人數(shù)是72的因數(shù)；

36、54、72的最大公因數(shù)是18

這個班的小朋友最多有18人

＞課后反擊

一、判斷題

1、如果a+b=4（a、b為整數(shù)）那么a和b的最大公約數(shù)是4。（）

2、一個數(shù)最小的倍數(shù)與它最大的約數(shù)相等。（）

3、任何一個自然數(shù)的約數(shù)至少有2個。（）

4、1和任何自然數(shù)（0除外）都沒有公約數(shù)。（）

【解析】X,4,X,X

二、解答題

5、五年級三個班分別有24人、36人、42人參加體育活動，要把他們分成人數(shù)相等的小組，但各班同學(xué)不

能打亂，最多每組多少人？每班各可以分幾組？

【解析】24、36、42的最大公約數(shù)是6。所以最多每組6人。

24+6=4（組）

36+6=6（組）

42+6=7（組）

6、兩個自然數(shù)的積是360,最小公倍數(shù)是120,這兩個數(shù)各是多少？

【解析】我們把這兩個自然數(shù)稱為甲數(shù)和乙數(shù)。因為甲、乙兩數(shù)的積一定等于甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)與

最小公倍數(shù)的積。根據(jù)這一規(guī)律，我們可以求出這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是360720=3。又因為（甲+3=a，乙+3=b）

中，3xaxb=120,a和b一定是互質(zhì)數(shù)，所以，a和b可以是1和40,也可以是5和8。當(dāng)a和b是1和40

時，所求的數(shù)是3x1=3和