高中數(shù)學(xué)微專題匯總

微專題1命題形式變化及真假判定一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）命題結(jié)構(gòu)變換1、四類命題間的互化：設(shè)原命題為“若，則”的形式，則（1）否命題：“若，則”（2）逆命題：“若，則”（3）逆否命題：“若，則”2、，（1）用“或”字連接的兩個(gè)命題（或條件），表示兩個(gè)命題（或條件）中至少有一個(gè)成立即可，記為（2）用“且”字連接的兩個(gè)命題（或條件），表示兩個(gè)命題（或條件）要同時(shí)成立，記為3、命題的否定：命題的否定并不是簡(jiǎn)單地在某個(gè)地方加一個(gè)“不”字，對(duì)于不同形式的命題也有不同的方法（1）一些常用詞的“否定”：是→不是全是→不全是至少一個(gè)→都沒(méi)有至多個(gè)→至少個(gè)小于→大于等于（2）含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定：邏輯聯(lián)接詞對(duì)應(yīng)改變，同時(shí)均變?yōu)椋夯颉仪摇颍?）全稱命題與存在性命題的否定全稱命題：存在性命題：規(guī)律為：兩變一不變①兩變：量詞對(duì)應(yīng)發(fā)生變化（），條件要進(jìn)行否定②一不變：所屬的原集合的不變化（二）命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，但在一組有關(guān)系的命題中，真假性也存在一定的關(guān)聯(lián)。1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假?zèng)]有關(guān)聯(lián)2、，，如下列真值表所示：或真真真真假真假真真假假假且真真真真假假假真假假假假簡(jiǎn)而言之“一真則真”簡(jiǎn)而言之“一假則假”3、：與命題真假相反。4、全稱命題：真：要證明每一個(gè)中的元素均可使命題成立假：只需舉出一個(gè)反例即可5、存在性命題：真：只需在舉出一個(gè)使命題成立的元素即可假：要證明中所有的元素均不能使命題成立二、典型例題例1：命題“若方程的兩根均大于，則”的逆否命題是（）A.“若，則方程的兩根均大于”B.“若方程的兩根均不大于，則”C.“若，則方程的兩根均不大于”D.“若，則方程的兩根不全大于”思路：所謂逆否命題是要將原命題的條件與結(jié)論否定后并進(jìn)行調(diào)換，“”的對(duì)立面是“”，“均大于”的對(duì)立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再調(diào)換順序即可，D選項(xiàng)正確答案：D例2：命題“存在”的否定是（）A．存在B．不存在C．對(duì)任意D．對(duì)任意思路：存在性命題的否定：要將量詞變?yōu)椤叭我狻?，語(yǔ)句對(duì)應(yīng)變化，但所在集合不變。所以變化后的命題為：“對(duì)任意”答案：D例3：給出下列三個(gè)結(jié)論（1）若命題為假命題，命題為假命題，則命題“”為假命題（2）命題“若，則或”的否命題為“若，則或”（3）命題“”的否定是“”，則以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A.3B.2C.1D.0思路：（1）中要判斷的真假，則需要判斷各自的真值情況，為假命題，則為真命題，所以一假一真，為真命題，（1）錯(cuò)誤（2）“若……，則……”命題的否命題要將條件和結(jié)論均要否定，而（2）中對(duì)“或”的否定應(yīng)該為“且”，所以（2）錯(cuò)誤（3）全稱命題的否定，要改變量詞和語(yǔ)句，且的范圍不變。而（3）的改寫(xiě)符合要求，所以（3）正確綜上只有（3）是正確的答案：C例4：有下列四個(gè)命題①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題②“全等三角形的面積相等”的否命題③“若，則有實(shí)根”的逆否命題④“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆命題其中真命題為（）A.①②B.②③C.①③D.③④思路：①中的逆命題為“若互為相反數(shù)，則”，為真命題。②中的否命題為“如果兩個(gè)三角形不是全等三角形，則它們的面積不相等”，為假命題（同底等高即可）。③中若要判斷逆否命題的真假，則只需判斷原命題即可。時(shí)，判別式，故方程有實(shí)根。所以原命題為真命題，進(jìn)而其逆否命題也為真命題。④中的逆命題為“如果一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角相等，則它為不等邊三角形”顯然是假命題。綜上，①③正確答案：C小煉有話說(shuō)：在判斷四類命題的真假時(shí)，如果在寫(xiě)命題或判斷真假上不好處理，則可以考慮其對(duì)應(yīng)的逆否命題，然后利用原命題與逆否命題同真同假的特點(diǎn)進(jìn)行求解例5：下列命題中正確的是（）A.命題“，使得”的否定是“，均有”B.命題“若，則”的否命題是“若，則”C.命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題D.命題“若，則”的逆否命題是真命題思路：分別判斷4個(gè)選項(xiàng)的情況，A選項(xiàng)命題的否定應(yīng)為“，均有”，B選型否命題的形式是正確的，即條件結(jié)論均否定。C選項(xiàng)的命題是正確的，菱形即滿足條件，D選項(xiàng)由原命題與逆否命題真假相同，從而可判斷原命題的真假，原命題是假的，例如終邊相同的角余弦值相同，所以逆否命題也為假命題。D錯(cuò)誤答案：B例6：如果命題“且”是假命題，“”也是假命題，則（）A.命題“或”是假命題B.命題“或”是假命題C.命題“且”是真命題D.命題“且”是真命題思路：涉及到“或”命題與“且”命題的真假，在判斷或利用條件時(shí)通常先判斷每個(gè)命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷。題目中以為入手點(diǎn)，可得是真命題，而因?yàn)榍沂羌倜}，所以只能是假命題。進(jìn)而是真命題。由此可判斷出各個(gè)選項(xiàng)的真假：只有C的判斷是正確的答案：C例7：已知命題：若，則；命題：若，則，在命題①；②；③；④中，真命題是（）A.①③B.①④C.②③D.②④思路：可先判斷出的真假，從而確定出復(fù)合命題的情況。命題符合不等式性質(zhì)，正確，而命題是錯(cuò)的。所以①是假的，②是真的，③④中，因?yàn)闉榧伲瑸檎?，所以③正確，④不正確。綜上可確定選項(xiàng)D正確答案：D例8：下列4個(gè)命題中，其中的真命題是（）A.B.C.D.思路：為存在性命題，所以只要找到符合條件的即可?？勺鞒龅膱D像，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)找不到符合條件的；同樣作圖可得，所以正確；通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)圖像中有一部分，所以錯(cuò)誤；在中，可得當(dāng)時(shí)，，所以，正確。綜上可得：正確答案：D小煉有話說(shuō)：（1）在判斷存在性命題與全稱命題的真假，可通過(guò)找例子（正例或反例）來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷，如果找不到合適的例子，則要嘗試?yán)贸Ｒ?guī)方法證明或判定（2）本題考察了指對(duì)數(shù)比較大小，要選擇正確的方法（中間橋梁，函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合）進(jìn)行處理，例如本題中運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合，而通過(guò)選擇中間量判斷。例9：已知命題，命題，若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.或C.D.思路：因?yàn)闉榧倜}，所以可得均為假命題。則為真命題。。解決這兩個(gè)不等式能成立與恒成立問(wèn)題即可。解：為假命題均為假命題為真命題對(duì)于當(dāng)時(shí)，對(duì)于，設(shè)，由圖像可知：若成立，則，解得：或所以綜上所述：小煉有話說(shuō)：因?yàn)槲覀兤饺兆鲱}都是以真命題為前提處理，所以在邏輯中遇到已知條件是假命題時(shí)，可以考慮先寫(xiě)出命題的否定，根據(jù)真值表得到命題的否定為真，從而就轉(zhuǎn)化為熟悉的形式以便于求解例10：設(shè)命題函數(shù)的定義域?yàn)?；命題，不等式恒成立，如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍思路：由“”為真命題可得至少有一個(gè)為真，由“”為假命題可得至少有一個(gè)為假。兩種情況同時(shí)存在時(shí)，只能說(shuō)明是一真一假。所以分為假真與真假進(jìn)行討論即可解：命題“”為真命題，且“”為假命題一真一假若假真，則函數(shù)的定義域不為恒成立或若真假，則函數(shù)的定義域?yàn)榛?，不等式解得綜上所述：三、近年模擬題題目精選：1、（2014河南高三模擬，9）已知命題，命題，則下列命題中為真命題的是（）A.B.C.D.2、（2014，岳陽(yáng)一中，3）下列有關(guān)命題的敘述:①若為真命題，則為真命題②“”是“”的充分不必要條件③命題，使得，則，使得④命題：“若，則或”的逆否命題為：“若或，則”其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3 D．43、（2014成都七中三月模擬，4）已知命題，命題，則（）A.命題是假命題B.命題是真命題C.命題是假命題D.命題是真命題4、（2014新津中學(xué)三月月考，6）已知命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.5、（2014新課標(biāo)全國(guó)卷I）不等式組：的解集記為，有下面四個(gè)命題：其中真命題是（）A.B.C.D.習(xí)題答案：1、答案：C解析：分別判斷真假，令，可得由零點(diǎn)存在性定理可知，使得，為真；通過(guò)作圖可判斷出當(dāng)時(shí)，，故為假；結(jié)合選項(xiàng)可得：為真2、答案：B解析：判斷每個(gè)命題：①若真假，則為真命題，為假命題，故①錯(cuò)誤；②不等式的解為或，由命題所對(duì)應(yīng)的集合關(guān)系可判斷出②正確；③存在性命題的否定，形式上更改符合“兩變一不變”，故③正確；④“或”的否定應(yīng)為“且”，故④錯(cuò)誤，所以選擇B3、答案：B解析：對(duì)于：當(dāng)時(shí)，，故正確；對(duì)于：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤，結(jié)合選項(xiàng)可知是真命題4、答案：C解析：命題的否定為：“，使得”，此為真命題，所以轉(zhuǎn)為恒成立問(wèn)題，利用二次函數(shù)圖像可得：，解得5、答案：C解析：由已知條件作出可行域，并根據(jù)選項(xiàng)分別作出相應(yīng)直線，觀察圖像可知：陰影部分恒在的上方，所以成立；且陰影區(qū)域中有在中的點(diǎn)，所以成立，綜上可得：正確

微專題02充分條件與必要條件一、基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：（1）對(duì)于兩個(gè)條件，如果命題“若則”是真命題，則稱條件能夠推出條件，記為，（2）充分條件與必要條件：如果條件滿足，則稱條件是條件的充分條件；稱條件是條件的必要條件2、對(duì)于兩個(gè)條件而言，往往以其中一個(gè)條件為主角，考慮另一個(gè)條件與它的關(guān)系，這種關(guān)系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時(shí)既要判斷“若則”的真假，也要判斷“若則”真假3、兩個(gè)條件之間可能的充分必要關(guān)系：（1）能推出，但推不出，則稱是的充分不必要條件（2）推不出，但能推出，則稱是的必要不充分條件（3）能推出，且能推出，記為，則稱是的充要條件，也稱等價(jià)（4）推不出，且推不出，則稱是的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個(gè)條件的充分必要關(guān)系（1）通過(guò)命題手段，將兩個(gè)條件用“若……，則……”組成命題，通過(guò)判斷命題的真假來(lái)判斷出條件能否相互推出，進(jìn)而確定充分必要關(guān)系。例如，構(gòu)造命題：“若，則”為真命題，所以，但“若，則”為假命題（還有可能為），所以不能推出；綜上，是的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語(yǔ)的含義并定性的判斷關(guān)系①充分：可從日常用語(yǔ)中的“充分”來(lái)理解，比如“小明對(duì)明天的考試做了充分的準(zhǔn)備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類似的含義，是指僅由就可以得到結(jié)論，而不需要再添加任何說(shuō)明與補(bǔ)充。以上題為例，對(duì)于條件，不需再做任何說(shuō)明或添加任何條件，就可以得到所以可以說(shuō)對(duì)是“充分的”，而反觀對(duì)，由，要想得到，還要補(bǔ)充一個(gè)前提：不能取，那既然還要補(bǔ)充，則說(shuō)明是“不充分的”②必要：也可從日常用語(yǔ)中的“必要”來(lái)理解，比如“心臟是人的一個(gè)必要器官”，何謂“必要”？沒(méi)有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒(méi)有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒(méi)它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果不成立，那么必然不為1，但是僅靠想得到也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要更多的補(bǔ)充條件，所以僅僅是“必要的”（3）運(yùn)用集合作為工具先看一個(gè)問(wèn)題：已知,那么條件“”是“”的什么條件？由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要條件。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題可以看出，如果兩個(gè)集合存在包含關(guān)系，那么其對(duì)應(yīng)條件之間也存在特定的充分必要關(guān)系。在求解時(shí)可以將滿足條件的元素構(gòu)成對(duì)應(yīng)集合，判斷出兩個(gè)集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而就可確定條件間的關(guān)系了。相關(guān)結(jié)論如下：①：是的充分不必要條件，是的必要不充分條件②：是的充分條件③：是的充要條件此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時(shí)，不管是判斷充分必要關(guān)系還是利用關(guān)系解參數(shù)范圍，都可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的包含問(wèn)題，進(jìn)而快捷求解。例如在中，滿足的取值集合為，而滿足的取值集合為所以，進(jìn)而判斷出是的充分不必要條件5、關(guān)于“”的充分必要關(guān)系：可從命題的角度進(jìn)行判斷。例如：是的充分不必要條件，則命題“若，則”為真命題，根據(jù)四類命題的真假關(guān)系，可得其逆否命題“若，則”也為真命題。所以是的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知，則是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對(duì)應(yīng)集合。，解得：，即；或，即。所以，進(jìn)而是的充分不必要條件答案：C例2：已知，那么是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：本題若覺(jué)得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個(gè)條件入手推出其等價(jià)條件，再進(jìn)行判斷，比如“”等價(jià)于，所以只需判斷與的關(guān)系即可。根據(jù)的單調(diào)性可得：如果，則，但是若，在大于零的前提下，才有，而題目中僅說(shuō)明。所以不能推出。綜上可判斷是的充分不必要條件答案：C小煉有話說(shuō)：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價(jià)條件（充要條件），再進(jìn)行判斷即可（2）在推中，因?yàn)槭菞l件，表達(dá)式成立要求，但是在推中，是條件，且對(duì)取值沒(méi)有特殊要求，所以，那么作為結(jié)論的就不一定有意義了。在涉及到變量取值時(shí)要首先分清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論。作為條件的一方默認(rèn)式子有意義，所以會(huì)對(duì)變量取值有一定的影響。例3：已知，如果是的充分不必要條件，則的取值范圍是_____思路：設(shè)，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，利用數(shù)軸可而判斷出答案：例4：下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（）A.B.C.D.思路：求的充分不必要條件，則這個(gè)條件能夠推出，且不能被推出。可以考慮驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)。A選項(xiàng)可以推出，而不一定能夠得到（比如），所以A符合條件。對(duì)于B，C兩個(gè)選項(xiàng)均不能推出A，所以直接否定。而D選項(xiàng)雖然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（2015浙江溫州中學(xué)高二期中考試）設(shè)集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：先解出兩個(gè)解集：，的解集與的取值有關(guān)：若，則；若，則，觀察條件，若，則，所以成立；若，則通過(guò)數(shù)軸觀察區(qū)間可得的取值為多個(gè)（比如），所以“”是“”的充分不必要條件答案：A例6：對(duì)于函數(shù)，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：如果是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則中位于軸下方的部分沿軸對(duì)稱翻上來(lái)，恰好圖像關(guān)于軸對(duì)稱，但的圖象關(guān)于軸對(duì)稱未必能得到是奇函數(shù)（例如），所以“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件答案：B例7：已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路一：可以考慮利用特殊值來(lái)進(jìn)行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例，則不成立，所以左邊無(wú)法得到右邊。而右左能夠成立，所以“”是“”的必要不充分條件思路二：本題也可以運(yùn)用集合的思想，將視為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則條件所對(duì)應(yīng)的集合為，作出兩個(gè)集合在坐標(biāo)系中的區(qū)域，觀察兩個(gè)區(qū)域可得，所以“”是“”的必要不充分條件答案：B例8（2015菏澤高三期中考試）：設(shè)條件：實(shí)數(shù)滿足；條件：實(shí)數(shù)滿足且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________思路：本題如果先將，寫(xiě)出，再利用條件關(guān)系運(yùn)算，盡管可行，但，容易書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤。所以優(yōu)先考慮使用原條件?！笆堑谋匾怀浞謼l件”等價(jià)于“是的必要不充分條件”，而為兩個(gè)不等式，所以考慮求出解集再利用集合關(guān)系求解。解：設(shè)，可解得：，設(shè)可解得：，是的必要不充分條件是的必要不充分條件答案：例9：數(shù)列滿足，則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：當(dāng)時(shí)，可得，即成等差數(shù)列。所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，如果成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以有，代入可得：，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得，則也為等差數(shù)列（公差為0），所以符合題意。從而由“數(shù)列成等差數(shù)列”無(wú)法推出“”，所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的不必要條件答案:A例10：設(shè)，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：因?yàn)椋?。故由可得，即，?duì)于能否推出，可考慮尋找各自等價(jià)條件：，，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分條件答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2、（2014南昌一模，3）設(shè)為向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3、若，則“成立”是“成立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、（2014，北京）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、（2014上海13校聯(lián)考，15）集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、（2015，福建）“對(duì)任意的，”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、（2014北京朝陽(yáng)一模，5）在中，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8、（2014湖北黃岡月考，4）已知條件，條件：直線與圓相切，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件9、(2014陜西五校二模，1）命題且滿足.命題且滿足.則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10、（2015北京理科）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是直線且．則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11、（2016，上海交大附中期中）條件“對(duì)任意”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件習(xí)題答案：1、答案：B解析：從集合的角度來(lái)看，滿足條件的取值范圍是或，所以可知“”是“”的必要不充分條件2、答案：C解析：的夾角為，從而等價(jià)于3、答案：C解析：由不等式性質(zhì)可知：，則即，反之若，則即4、答案：D解析：若的項(xiàng)均為負(fù)項(xiàng)，則“”，“為遞增數(shù)列”之間無(wú)法相互推出，所以兩條件既不充分也不必要5、答案：B解析：，，因?yàn)?，由?shù)軸可得：即可6、答案：B解析：左側(cè)條件中恒成立不等式可化為，設(shè)，可知，所以若為減函數(shù)，則一定有成立。考慮，由可得：，故時(shí)，成立，所以為減函數(shù)，成立。所以使不等式恒成立的的范圍包含，而，故“對(duì)任意的，”是“”的必要不充分條件7、答案：B解析：由正弦定理可得：，所以或，均滿足題意，由兩條件對(duì)應(yīng)集合關(guān)系可知“”是“”的必要不充分條件8、答案：C解析：從入手，若與圓相切，則解得，所以9、答案：C解析：分別解出滿足兩個(gè)條件的解，；，可知兩個(gè)集合相等，故10、答案：B解析：依面面平行的判定和性質(zhì)可知：“”無(wú)法得到“”，但“”可推出“”11、答案：B解析：將不等式變形為，設(shè)，且，則。當(dāng)時(shí)，可得，從而在單調(diào)遞減，，即不等式恒成立。所以若“”，則“對(duì)任意”；而“對(duì)任意”，未必能得到“”（不等式也成立），所以為“必要不充分條件”

微專題03利用數(shù)軸解決集合運(yùn)算問(wèn)題數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用手段，其優(yōu)點(diǎn)在于通過(guò)圖形能夠直觀的觀察到某些結(jié)果，與代數(shù)的精確性結(jié)合，能夠快速解決一些較麻煩的問(wèn)題。在集合的運(yùn)算中，涉及到單變量的取值范圍，數(shù)軸就是一個(gè)非常好用的工具，本文將以一些題目為例，來(lái)介紹如何使用數(shù)軸快速的進(jìn)行集合的交并運(yùn)算。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、集合運(yùn)算在數(shù)軸中的體現(xiàn)：在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的公共部分在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的總和在數(shù)軸上表示為中除去剩下的部分（要注意邊界值能否取到）2、問(wèn)題處理時(shí)的方法與技巧：（1）涉及到單變量的范圍問(wèn)題，均可考慮利用數(shù)軸來(lái)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，尤其是對(duì)于含有參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，由于數(shù)軸左邊小于右邊，所以能夠以此建立含參數(shù)的不等關(guān)系（2）在同一數(shù)軸上作多個(gè)集合表示的區(qū)間時(shí)，可用不同顏色或不同高度來(lái)區(qū)分各個(gè)集合的區(qū)域。（3）涉及到多個(gè)集合交并運(yùn)算時(shí)，數(shù)軸也是得力的工具，從圖上可清楚的看出公共部分和集合包含區(qū)域。交集即為公共部分，而并集為覆蓋的所有區(qū)域（4）在解決含參數(shù)問(wèn)題時(shí)，作圖可先從常系數(shù)的集合（或表達(dá)式）入手，然后根據(jù)條件放置參數(shù)即可3、作圖時(shí)要注意的問(wèn)題：（1）在數(shù)軸上作圖時(shí)，若邊界點(diǎn)不能取到，則用空心點(diǎn)表示；若邊界點(diǎn)能夠取到，則用實(shí)心點(diǎn)進(jìn)行表示，這些細(xì)節(jié)要在數(shù)軸上體現(xiàn)出來(lái)以便于觀察（2）處理含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要檢驗(yàn)參數(shù)與邊界點(diǎn)重合時(shí)是否符合題意。二、例題精析：例1：（2009安徽）集合，則=_______思路：先解出的解集，，作出數(shù)軸，則即為它們的公共部分。答案：例2：設(shè)集合，則的取值范圍是____思路：可解出，而集合含有參數(shù)，作出數(shù)軸，先從容易作圖的集合做起，即畫(huà)出的范圍，由于，而數(shù)軸上有一部分區(qū)域沒(méi)有被包含，那說(shuō)明集合負(fù)責(zé)補(bǔ)空缺的部分，由于參數(shù)決定其端點(diǎn)位置，所以畫(huà)出圖像，有圖像觀察可得只需要：即可，解得：答案：小煉有話說(shuō)：（1）含有參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，可考慮參數(shù)所起到的作用，在本題中參數(shù)決定區(qū)間的端點(diǎn)（2）含有參數(shù)的問(wèn)題作圖時(shí)可先考慮做出常系數(shù)集合的圖像，再按要求放置含參的集合（3）注意考慮端點(diǎn)處是否可以重合，通常采取驗(yàn)證的方法，本題若或，則端點(diǎn)處既不在里，也不在里，不符題意。例3：對(duì)于任意的，滿足恒成立的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成集合，使不等式的解集是空集的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成集合，則______思路：先利用已知條件求出，再利用數(shù)軸畫(huà)出的范圍即可解：由①恒成立，可得：當(dāng)即時(shí)，①變?yōu)椋汉愠闪?dāng)時(shí)，若要①恒成立，則解集為空等價(jià)于：設(shè)即小煉有話說(shuō)：本題更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情況，而不能默認(rèn)為二次不等式，集合涉及解集與不等式恒成立問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化。在集合進(jìn)行交并運(yùn)算時(shí)，數(shù)軸將成為一個(gè)非常直觀的工具，作圖時(shí)要注意端點(diǎn)值的開(kāi)閉。例4：已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為思路：先解出的解集，意味著有公共部分，利用數(shù)軸可標(biāo)注集合兩端點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出的范圍解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，且例5：已知，當(dāng)“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是__________思路：為兩個(gè)不等式的解集，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集?？紤]解出兩個(gè)不等式的解集，然后利用數(shù)軸求出的范圍即可解：由是的真子集可得：答案：小煉有話說(shuō)：1、熟悉充分必要條件與集合的聯(lián)系：是的充分不必要條件對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集2、處理含參問(wèn)題時(shí)，秉承“先常數(shù)再參數(shù)”的順序分析，往往可利用所得條件對(duì)參數(shù)范圍加以限制，減少分類討論的情況。例如在本題中，若先處理，則解不等式面臨著分類討論的問(wèn)題。但先處理之后，結(jié)合數(shù)軸會(huì)發(fā)現(xiàn)只有圖中一種情況符合，減掉了無(wú)謂的討論。例6：已知函數(shù)，對(duì)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________思路：任取，則取到值域中的每一個(gè)元素，依題意，存在使得，意味著值域中的每一個(gè)元素都在的值域中，即的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹謩e求出兩個(gè)函數(shù)值域，再利用子集關(guān)系求出的范圍解：時(shí)，時(shí)，對(duì)于，分三種情況討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，符合題意當(dāng)時(shí)，綜上所述：答案：例7：已知集合，若，則________思路：本題主要考察如何根據(jù)所給條件，在數(shù)軸上標(biāo)好集合的范圍。從而確定出的值，如圖所示：可得，所以答案：例8：設(shè)，，求思路：集合的不等式解集為，集合為一元二次不等式的解集，由題意可知，設(shè)的兩根為，則，在數(shù)軸上作圖并分析后兩個(gè)條件：說(shuō)明將集合覆蓋數(shù)軸的漏洞堵上了，說(shuō)明與的公共部分僅有，左側(cè)沒(méi)有公共部分，從而的位置只能如此（如圖），可得：，由韋達(dá)定理可得：例9：在上定義運(yùn)算，若關(guān)于的不等式的解集是的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．或D．思路：首先將變?yōu)閭鹘y(tǒng)不等式：，不等式含有參數(shù)，考慮根據(jù)條件對(duì)進(jìn)行分類討論。設(shè)解集為，因?yàn)椋允紫冉饧挚占c非空兩種情況：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，根據(jù)的取值分類討論計(jì)算出解集后再根據(jù)數(shù)軸求出的范圍即可解：設(shè)解集為當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)：若時(shí)，若時(shí)，綜上所述：答案：D例10：已知，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.解：所解不等式為，可以考慮兩邊平方后去掉絕對(duì)值，因式分解可得：，由題意中含3個(gè)整數(shù)解可得：解集應(yīng)該為封閉區(qū)間，所以的系數(shù)均大于零，即，另一方面，解集區(qū)間內(nèi)有3個(gè)整數(shù)，從端點(diǎn)作為突破口分析，兩個(gè)端點(diǎn)為，因?yàn)椋?，進(jìn)而結(jié)合數(shù)軸分析可得三個(gè)整數(shù)解為，所以另一個(gè)端點(diǎn)的取值范圍為①，而②，所以只要①②有交集，則可找到符合條件的，結(jié)合數(shù)軸可得：，求出答案：三、近年模擬題題目精選：1、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知集合，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.2、（2014吉林九校二模，1）已知，則（）A.B.C.D.3、（重慶八中半月考，1）設(shè)全集為，集合，則（）A.B.C.D.4、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則（）A.B.C.D.5、（2014，浙江）已知集合，則（）A.B.C.D.6、（2014，山東）設(shè)集合，則（）A.B.C.D.7、設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________8、已知全集，集合，那么集合（）A.B.C.D.9、若關(guān)于的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.習(xí)題答案：1、答案：B解析：若，則符合題意，若，則符合題意，當(dāng)時(shí)，解得：，由可知：，綜上可得：2、答案：D解析：，在數(shù)軸上標(biāo)出的區(qū)域即可得出3、答案：C解析：分別解出中的不等式，，所以4、答案：A解析：的定義域：，的定義域：，所以，5、答案：C解析：解出中不等式：或，所以，則6、答案：D解析：集合為解不等式：，集合為函數(shù)的值域，由可知，所以7、答案：解析：集合為，由可知；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，結(jié)合數(shù)軸可得：即，綜上可得：的取值范圍是8、答案：C解析：或9、答案：解析：因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，其中中的，且有，故，不等式的解集為，則一定有1，2，3為所求的整數(shù)解集。所以，解得的范圍為

微專題04求函數(shù)的值域作為函數(shù)三要素之一，函數(shù)的值域也是高考中的一個(gè)重要考點(diǎn)，并且值域問(wèn)題通常會(huì)滲透在各類題目之中，成為解題過(guò)程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，當(dāng)需要求函數(shù)的取值范圍時(shí)便可抓住解析式的特點(diǎn)，尋找對(duì)應(yīng)的方法從容解決。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、求值域的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）分析解析式的特點(diǎn)，并尋找相對(duì)應(yīng)的方法（此為關(guān)鍵步驟）（3）計(jì)算出函數(shù)的值域2、求值域的常用工具：盡管在有些時(shí)候，求值域就像神仙施法念口訣一樣，一種解析式特點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)求值域的方法，只要掌握每種方法并將所求函數(shù)歸好類即可操作，但也要掌握一些常用的思路與工具。（1）函數(shù)的單調(diào)性：決定函數(shù)圖像的形狀，同時(shí)對(duì)函數(shù)的值域起到?jīng)Q定性作用。若為單調(diào)函數(shù)，則在邊界處取得最值（臨界值）。（2）函數(shù)的圖像（數(shù)形結(jié)合）：如果能作出函數(shù)的圖像，那么值域便一目了然（3）換元法：的解析式中可將關(guān)于的表達(dá)式視為一個(gè)整體，通過(guò)換元可將函數(shù)解析式化歸為可求值域的形式。（4）最值法：如果函數(shù)在連續(xù)，且可求出的最大最小值，則的值域?yàn)樽ⅲ阂欢ㄔ谶B續(xù)的前提下，才可用最值來(lái)解得值域3、常見(jiàn)函數(shù)的值域：在處理常見(jiàn)函數(shù)的值域時(shí)，通?？梢酝ㄟ^(guò)數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖像將值域解出，熟練處理常見(jiàn)函數(shù)的值域也便于將復(fù)雜的解析式通過(guò)變形與換元向常見(jiàn)函數(shù)進(jìn)行化歸。（1）一次函數(shù)（）：一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點(diǎn)來(lái)確定值域（2）二次函數(shù)（）：二次函數(shù)的圖像為拋物線，通?？蛇M(jìn)行配方確定函數(shù)的對(duì)稱軸，然后利用圖像進(jìn)行求解。（關(guān)鍵點(diǎn)：①拋物線開(kāi)口方向，②頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)）例：解：對(duì)稱軸為：（3）反比例函數(shù)：（1）圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱（2）當(dāng)當(dāng)（4）對(duì)勾函數(shù)：①解析式特點(diǎn)：的系數(shù)為1；注：因?yàn)榇祟惡瘮?shù)的值域與相關(guān)，求的值時(shí)要先保證的系數(shù)為，再去確定的值例：，并不能直接確定，而是先要變形為，再求得②極值點(diǎn)：③極值點(diǎn)坐標(biāo)：④定義域：⑤自然定義域下的值域：（5）函數(shù)：注意與對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行對(duì)比①解析式特點(diǎn)：的系數(shù)為1；②函數(shù)的零點(diǎn)：③值域：（5）指數(shù)函數(shù)（）：其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)椋?）對(duì)數(shù)函數(shù)（）其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)椋?）分式函數(shù)：分式函數(shù)的形式較多，所以在本節(jié)最后會(huì)對(duì)分式函數(shù)值域的求法進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明（見(jiàn)附）二、典型例題：將介紹求值域的幾種方法，并通過(guò)例題進(jìn)行體現(xiàn)1、換元法：將函數(shù)解析式中關(guān)于的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進(jìn)而解出值域（1）在換元的過(guò)程中，因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍（2）換元的作用有兩個(gè)：①通過(guò)換元可將函數(shù)解析式簡(jiǎn)化，例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí)，通過(guò)將根式視為一個(gè)整體，換元后即可“消滅”根式，達(dá)到簡(jiǎn)化解析式的目的②化歸：可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)求值域的函數(shù)進(jìn)行處理（3）換元的過(guò)程本質(zhì)上是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行重新選擇的過(guò)程，在有些函數(shù)解析式中明顯每一項(xiàng)都是與的某個(gè)表達(dá)式有關(guān)，那么自然將這個(gè)表達(dá)式視為研究對(duì)象。（4）換元也是將函數(shù)拆為兩個(gè)函數(shù)復(fù)合的過(guò)程。在高中階段，與指對(duì)數(shù)，三角函數(shù)相關(guān)的常見(jiàn)的復(fù)合函數(shù)分為兩種①：此類問(wèn)題通常以指對(duì)，三角作為主要結(jié)構(gòu)，在求值域時(shí)可先確定的范圍，再求出函數(shù)的范圍②：此類函數(shù)的解析式會(huì)充斥的大量括號(hào)里的項(xiàng)，所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為的形式，然后求值域即可。當(dāng)然要注意有些解析式中的項(xiàng)不是直接給出，而是可作轉(zhuǎn)化：例如可轉(zhuǎn)化為，從而可確定研究對(duì)象為例1：函數(shù)的值域是（）A.B.C.D.思路：解析式中只含一個(gè)根式，所以可將其視為一個(gè)整體換元，從而將解析式轉(zhuǎn)為二次函數(shù)，求得值域即可。解：的定義域?yàn)榱?，則的值域?yàn)槔?（1）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（2）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________（3）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________思路：（1）本題可視為的形式，所以可將指數(shù)進(jìn)行換元，從而轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)值域問(wèn)題：令，則，所以可得（2）如前文所說(shuō)，，將視為一個(gè)整體令，則可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得值域解：令的值域?yàn)椋?）所求函數(shù)為的形式，所以求得的范圍，再取對(duì)數(shù)即可。對(duì)進(jìn)行變形可得：，從而將視為一個(gè)整體，即可轉(zhuǎn)為反比例函數(shù)，從而求得范圍解：定義域：令答案：（1）B（2）（3）例3：已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.思路：依題意可知，所以可將視為一個(gè)整體換元，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但本題要注意的是的定義域，由已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋海獾茫?，而不是解：的定義域?yàn)椋?，解得：令，則，即的值域?yàn)榇鸢福篊2、數(shù)形結(jié)合：即作出函數(shù)的圖像，通過(guò)觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過(guò)求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對(duì)于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計(jì)算值域。（2）的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該函數(shù)的圖像，從而利用圖像求得函數(shù)的值域（3）函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合求得值域，如：分式→直線的斜率；被開(kāi)方數(shù)為平方和的根式→兩點(diǎn)間距離公式例4：（1）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，?duì)給定正數(shù)，定義函數(shù)則稱函數(shù)為的“孿生函數(shù)”，若給定函數(shù)，則的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（2）定義為中的最小值，設(shè)，則的最大值是__________思路：（1）根據(jù)“孿生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點(diǎn)，即以為分界線，圖像在下方的圖像不變，在上方的圖像則變?yōu)?，通過(guò)作圖即可得到的值域?yàn)椋?）本題若利用的定義將轉(zhuǎn)為分段函數(shù)，則需要對(duì)三個(gè)式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，將三個(gè)解析式的圖像作在同一坐標(biāo)系下，則為三段函數(shù)圖像中靠下的部分，從而通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得的最大值點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，即，所以答案：（1）A（2）2例5：已知函數(shù)，設(shè)，（其中表示中的較大值，表示中的較小值）記的值域?yàn)?，的值域?yàn)椋瑒t______________思路：由的定義可想到其圖像特點(diǎn)，即若將的圖像作在同一坐標(biāo)系中，那么為圖像中位于上方的部分，而為圖像中位于下方的部分。對(duì)配方可得：，其中，故的頂點(diǎn)在頂點(diǎn)的上方。由圖像可得：褐色部分為的圖像，紅色部分為的圖像，其值域與的交點(diǎn)有關(guān)，即各自的頂點(diǎn)，所以的值域，的值域。從而答案：例6：（1）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________（2）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________思路：（1）函數(shù)為分式，但無(wú)法用“變形+換元”的方式進(jìn)行處理，雖然可以用導(dǎo)數(shù)，但求導(dǎo)后需對(duì)分子的符號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步研究。那么換一個(gè)視角，從分式的特點(diǎn)可聯(lián)想到直線的斜率，即是與定點(diǎn)連線的斜率，那么只需在坐標(biāo)系中作出在的圖像與定點(diǎn)，觀察曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率的取值范圍即可解：所求函數(shù)是與定點(diǎn)連線的斜率設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立為增函數(shù)設(shè)曲線上兩點(diǎn)定點(diǎn)（2）思路：，所以可視為點(diǎn)到點(diǎn)距離和的取值范圍。結(jié)合圖形可利用對(duì)稱性求出其最小值，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)向軸兩側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其距離和趨向無(wú)窮大，進(jìn)而得到值域。解：為動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離和，即作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)（等號(hào)成立條件：共線）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)樾捰性捳f(shuō)：本題在選擇點(diǎn)時(shí)要盡量讓更少的點(diǎn)參與進(jìn)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，所以要抓住兩個(gè)距離共同的特點(diǎn)（例如本題中都抓住含根式中的，所以找到了一個(gè)共同的動(dòng)點(diǎn)）答案：（1）（2）

3、函數(shù)單調(diào)性：如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性（增、減）即可快速求出函數(shù)的值域（1）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法與結(jié)論：①增增增減減減增減若函數(shù)的符號(hào)恒正或恒負(fù)，則減②復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)可拆成，則若的單調(diào)性相同，則單調(diào)遞增；若的單調(diào)性相反，則單調(diào)遞減③利用導(dǎo)數(shù)：設(shè)圖像不含水平線的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則單增；單減（2）在利用單調(diào)性求值域時(shí)，若定義域有一側(cè)趨近于或，則要估計(jì)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值是向一個(gè)常數(shù)無(wú)限接近還是也趨近于或（即函數(shù)圖象是否有水平漸近線），；同樣若的定義域摳去了某點(diǎn)或有一側(cè)取不到邊界，如，則要確定當(dāng)時(shí)，的值是接近與一個(gè)常數(shù)（即臨界值）還是趨向或（即函數(shù)圖象是否有豎直漸近線），這樣可以使得值域更加準(zhǔn)確例7：（1）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（2）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（3）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______思路：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，含有雙根式，所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問(wèn)題，但的導(dǎo)數(shù)較易分析出單調(diào)性，所以考慮利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而求得最值令即解不等式：在單調(diào)減，在單調(diào)遞增的值域?yàn)樾捰性捳f(shuō)：本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開(kāi)方數(shù)的和為常數(shù)，所以想到，從而可設(shè)，由可知，所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，從而有，由可求得。由此題可知：含雙根式的函數(shù)若通過(guò)變形可得到被開(kāi)方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過(guò)三角換元轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問(wèn)題（2）思路：函數(shù)的定義域?yàn)?，從而發(fā)現(xiàn)，所以函數(shù)的解析式為，觀察可得為增函數(shù)，且時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)樾捰性捳f(shuō)：①本題中函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降幕?jiǎn)有極大的促進(jìn)作用。所以在求函數(shù)的值域時(shí)，若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊，則先確定其定義域②本題也可用換元法，設(shè)后即可將函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求值域，但不如觀察單調(diào)性求解簡(jiǎn)便。（3）思路：先確定函數(shù)的定義域：，為分式且含有根式，求導(dǎo)則導(dǎo)函數(shù)較為復(fù)雜。觀察分子分母可知：且關(guān)于單減，且關(guān)于單增，即單減，所以為減函數(shù)，由可知的值域?yàn)樾捰性捳f(shuō)：在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增→增”，那么如果一個(gè)函數(shù)可表示為兩個(gè)函數(shù)的乘法，例如，則當(dāng)均為增（減）函數(shù)，且恒大于0，才能得到為增（減）函數(shù)答案：（1）D（2）B（3）4、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數(shù)，將其視為一個(gè)含參數(shù)的關(guān)于的方程。由函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，對(duì)于值域中的任一值，必能在定義域中找到與之對(duì)應(yīng)的。這個(gè)特點(diǎn)反應(yīng)在方程中，即為若在值域中，則關(guān)于的方程在時(shí)只要有一個(gè)根。從而將求值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“取何值時(shí)，方程有解”的問(wèn)題。利用方程的特點(diǎn)即可列出關(guān)于的條件，進(jìn)而解出的范圍即值域例8：（1）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（2）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________思路：（1）觀察分式特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)若將去掉分母后可構(gòu)造為一個(gè)關(guān)于的二次方程（其中為參數(shù)）：，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋缘娜≈狄笾皇亲尫匠逃薪饧纯?，首先?duì)最高次數(shù)系數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論：當(dāng)，方程為，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，二次方程有解的條件為，即得到關(guān)于的不等式，求解即可解：由可得:函數(shù)的定義域?yàn)榈娜≈抵恍枳尫匠逃薪饧纯僧?dāng)時(shí)，不成立，故舍去當(dāng)時(shí)，即：綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)樾捰性捳f(shuō)：①對(duì)于二次分式，若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t可像例8這樣通過(guò)方程思想，將值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“取何值時(shí)方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到關(guān)于的不等式從而求解，這種方法也稱為“判別式法”②若函數(shù)的定義域不是，而是一個(gè)限定區(qū)間（例如），那么如果也想按方程的思想處理，那么要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“取何值時(shí)，方程在有根”，對(duì)于二次方程就變?yōu)榱烁植紗?wèn)題，但因?yàn)橹灰匠逃懈托校瑫?huì)按根的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較復(fù)雜的分類討論，所以此類問(wèn)題通常利用分式的變形與換元進(jìn)行解決（詳見(jiàn)附）（2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含或的形式，考慮去分母得：則的取值只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點(diǎn)可想到俯角公式，從而得到，可知方程有解的條件為：，解出的范圍即為值域解：的定義域?yàn)榍遥?，其中因?yàn)樵摲匠逃薪庑捰性捳f(shuō)：本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決，把分式視為連線斜率的問(wèn)題，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與單位圓上點(diǎn)連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運(yùn)用方程思想處理的局限性在于輔角公式與的取值相關(guān)，不過(guò)因?yàn)椋跃鼙ＷC只要在中，則必有解。但如果本題對(duì)的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出的不等式，所以還是用數(shù)形結(jié)合比較方便答案：（1）D（2）以上為求值域的四種常見(jiàn)方法，與求函數(shù)的理念息息相關(guān)，有些函數(shù)也許有多種解法，或是在求值域的過(guò)程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數(shù)值域問(wèn)題時(shí)，能迅速抓住解析式的特點(diǎn)，找到突破口，靈活運(yùn)用各種方法處理問(wèn)題。例9：已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：本題可視為的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知應(yīng)取遍所有的正數(shù)（定義域可不為），即若函數(shù)的值域?yàn)?，則，由二次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時(shí)，可滿足以上要求。所以解得答案：C例10：在計(jì)算機(jī)的算法語(yǔ)言中有一種函數(shù)叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.思路：按的定義可知，若要求出，則要將確定里面的范圍，所以若求的值域，則要知道的范圍。觀察到為偶函數(shù)，所以只需找到的值域即可，，，即成立，所以為奇函數(shù)，只需確定的范圍即可。對(duì)中的分式進(jìn)行分離常數(shù)可得：，當(dāng)時(shí)，，從而，所以，由。即，可得，再利用偶函數(shù)性質(zhì)可得時(shí)，。當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述：的值域?yàn)榇鸢福築小煉有話說(shuō)：（1）本題在處理值域時(shí)，函數(shù)奇偶性的運(yùn)用大量簡(jiǎn)化了運(yùn)算。首先判斷出所求函數(shù)為偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對(duì)稱的兩部分值域相同，進(jìn)而只需考慮的情況。另外從解析式的特點(diǎn)判斷出為奇函數(shù)，從而只需計(jì)算的范圍，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)推出的范圍。所以在求函數(shù)值域時(shí)，若能通過(guò)觀察或簡(jiǎn)單的變形判斷出函數(shù)具備奇偶的性質(zhì)，則解題過(guò)程能夠達(dá)到事半功倍的效果。（2）本題在判斷的奇偶性時(shí)，由很難直接看出之間的聯(lián)系，但通過(guò)“通分”即可得到，奇偶性立即可見(jiàn)；在求的范圍時(shí)，利用的形式，分式較為復(fù)雜，分子分母均含變量，不易確定其范圍。但通過(guò)“分離常數(shù)”得到則非常便于求其范圍。由以上的對(duì)比可知，在判斷奇偶性或者分式的符號(hào)時(shí)，通常一個(gè)大分式較為方便；在求得分式函數(shù)值域時(shí)，往往通過(guò)“分離常數(shù)”的手段簡(jiǎn)化分式中的分子，從而便于求得范圍附：分式函數(shù)值域的求法：分式函數(shù)也是高中所學(xué)函數(shù)的一個(gè)重要分支，求解分式函數(shù)的值域也考查了學(xué)生分式變形的能力以及能否將分式化歸為可求值域的形式，學(xué)會(huì)求分式函數(shù)值域也是處理解析幾何中范圍問(wèn)題的重要工具。求分式函數(shù)值域的方法很多，甚至也可以考慮對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，但相對(duì)計(jì)算量較大，本節(jié)主要介紹的方式為如何通過(guò)對(duì)分式函數(shù)進(jìn)行變形，并用換元的方式將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)進(jìn)行求解。一、所用到的三個(gè)函數(shù)（其性質(zhì)已在前文介紹）1、反比例函數(shù)：2、對(duì)勾函數(shù)：3、函數(shù)：注意與對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行對(duì)比二、分式函數(shù)值域的求法請(qǐng)看下面這個(gè)例子：求的值域思路：此函數(shù)可看為的結(jié)果再加上3所得，故可利用反比例函數(shù)求出的范圍，再得到值域解：?jiǎn)栴}不難，但觀察可發(fā)現(xiàn)：，所以當(dāng)遇到的函數(shù)為，總可以將分子的每一項(xiàng)均除以分母，從而轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解。由此得到第一個(gè)結(jié)論：對(duì)于形如的函數(shù)，總可以變換成轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)進(jìn)行求解。注：如果在分式中，分子的表達(dá)式可將一部分構(gòu)造為分母的形式，則可用這部分除以分母與分式分離得到常數(shù)，從而使得分式中的分子變得簡(jiǎn)單，這種方法稱為“分離常數(shù)法”，是分式變形常用的一種手段例：思路：本題分母為表達(dá)式，比較復(fù)雜，但如果視分母為一個(gè)整體（進(jìn)行換元），則可將分式轉(zhuǎn)化成為的形式，從而求解解：令，進(jìn)而可求出值域：注：換元法是求函數(shù)值域時(shí)，通過(guò)將含有變量的一部分式子視為一個(gè)整體，用一個(gè)變量表示，進(jìn)而將陌生的函數(shù)化歸成熟悉的模型求解，這也是求函數(shù)值域時(shí)變換解析式的重要方法。由上例，我們可以總結(jié)出第二個(gè)結(jié)論：對(duì)于形如（分子分母均為一次的分式）的函數(shù)，通過(guò)換元，可轉(zhuǎn)化為的形式，進(jìn)而用反比例函數(shù)進(jìn)行求解。再看下一個(gè)例子：例：解：函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，作圖觀察可發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)在定義域中，故最小值為，而最大值在中產(chǎn)生，故值域?yàn)樗伎?：那么你是否會(huì)求呢？記住，圖像是你最好的幫手！思考2：，那么是否可以仿照上面，得到第三個(gè)結(jié)論？形如的函數(shù)可通過(guò)分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，進(jìn)而可依靠的圖像求出值域繼續(xù)，還能擴(kuò)展么？舉個(gè)例子？例：解：設(shè)，（極值點(diǎn)：）第四個(gè)結(jié)論：形如的函數(shù)可通過(guò)換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第三個(gè)結(jié)論，然后進(jìn)行求解那么，例：呢不就是取了倒數(shù)么，所以只需分子分母同除以分子（）即可化歸為上面的情形那么，例：呢分子分母最高次均為2次，可考慮進(jìn)行下分離常數(shù)：，從而轉(zhuǎn)化為上面例子的問(wèn)題，至此，分式函數(shù)的終極形式總可通過(guò)一系列變換，轉(zhuǎn)化為前面所介紹的三個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行求解。小結(jié)：總結(jié)一下我們所遇到的分式類型及處理方法吧：①：換元→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型②：換元→分離常數(shù)→模型③：同時(shí)除以分子：→②的模型④：分離常數(shù)→③的模型共同點(diǎn)：讓分式的分子變?yōu)槌?shù)

微專題05函數(shù)的對(duì)稱性與周期性一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）函數(shù)的對(duì)稱性1、對(duì)定義域的要求：無(wú)論是軸對(duì)稱還是中心對(duì)稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）對(duì)稱2、軸對(duì)稱的等價(jià)描述：（1）關(guān)于軸對(duì)稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是偶函數(shù)）（2）關(guān)于軸對(duì)稱在已知對(duì)稱軸的情況下，構(gòu)造形如的等式只需注意兩點(diǎn)，一是等式兩側(cè)前面的符號(hào)相同，且括號(hào)內(nèi)前面的符號(hào)相反；二是的取值保證為所給對(duì)稱軸即可。例如：關(guān)于軸對(duì)稱，或得到均可，只是在求函數(shù)值方面，一側(cè)是更為方便（3）是偶函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸對(duì)稱。①要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在中，僅是括號(hào)中的一部分，偶函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，即，要與以下的命題區(qū)分：若是偶函數(shù)，則：是偶函數(shù)中的占據(jù)整個(gè)括號(hào)，所以是指括號(hào)內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有②本結(jié)論也可通過(guò)圖像變換來(lái)理解，是偶函數(shù)，則關(guān)于軸對(duì)稱，而可視為平移了個(gè)單位（方向由的符號(hào)決定），所以關(guān)于對(duì)稱。3、中心對(duì)稱的等價(jià)描述：（1）關(guān)于軸對(duì)稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是奇函數(shù)）（2）關(guān)于軸對(duì)稱在已知對(duì)稱中心的情況下，構(gòu)造形如的等式同樣需注意兩點(diǎn)，一是等式兩側(cè)和前面的符號(hào)均相反；二是的取值保證為所給對(duì)稱中心即可。例如：關(guān)于中心對(duì)稱，或得到均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側(cè)是更為方便（3）是奇函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸對(duì)稱。①要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在中，僅是括號(hào)中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相反，即，要與以下的命題區(qū)分：若是奇函數(shù)，則：是奇函數(shù)中的占據(jù)整個(gè)括號(hào)，所以是指括號(hào)內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相反，所以有②本結(jié)論也可通過(guò)圖像變換來(lái)理解，是奇函數(shù)，則關(guān)于中心對(duì)稱，而可視為平移了個(gè)單位（方向由的符號(hào)決定），所以關(guān)于對(duì)稱。4、對(duì)稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對(duì)稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：（1）可利用對(duì)稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值（2）在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖像，再利用對(duì)稱性得到另一半圖像（3）極值點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸（對(duì)稱中心）對(duì)稱（4）在軸對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同（二）函數(shù)的周期性1、定義：設(shè)的定義域?yàn)椋魧?duì)，存在一個(gè)非零常數(shù)，有，則稱函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，稱為的一個(gè)周期2、周期性的理解：可理解為間隔為的自變量函數(shù)值相等3、若是一個(gè)周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個(gè)周期，進(jìn)而可得：也是的一個(gè)周期4、最小正周期：正由第3條所說(shuō)，也是的一個(gè)周期，所以在某些周期函數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù)5、函數(shù)周期性的判定：（1）：可得為周期函數(shù)，其周期（2）的周期分析：直接從等式入手無(wú)法得周期性，考慮等間距再構(gòu)造一個(gè)等式：所以有：，即周期注：遇到此類問(wèn)題，如果一個(gè)等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個(gè)等式，進(jìn)而通過(guò)兩個(gè)等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（為常數(shù)）的周期分析：，兩式相減可得：（5）（為常數(shù)）的周期（6）雙對(duì)稱出周期：若一個(gè)函數(shù)存在兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系，則是一個(gè)周期函數(shù)，具體情況如下：（假設(shè)）①若的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則是周期函數(shù)，周期分析：關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱的周期為②若的圖像關(guān)于中心對(duì)稱，則是周期函數(shù)，周期③若的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且關(guān)于中心對(duì)稱，則是周期函數(shù)，周期7、函數(shù)周期性的作用：簡(jiǎn)而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。（1）函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而利用已知條件求值（2）圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行“復(fù)制+粘貼”（3）單調(diào)區(qū)間：由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若在上單調(diào)增（減），則在上單調(diào)增（減）（4）對(duì)稱性：如果一個(gè)周期為的函數(shù)存在一條對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心），則存在無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，其通式為證明：關(guān)于軸對(duì)稱函數(shù)的周期為關(guān)于軸對(duì)稱注：其中（3）（4）在三角函數(shù)中應(yīng)用廣泛，可作為檢驗(yàn)答案的方法二、典型例題：例1：設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則__________思路：由可得：的周期，考慮將用中的函數(shù)值進(jìn)行表示：，此時(shí)周期性已經(jīng)無(wú)法再進(jìn)行調(diào)整，考慮利用奇偶性進(jìn)行微調(diào)：，所以答案：例2：定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.D.思路：由，可類比函數(shù)的周期性，所以考慮將向進(jìn)行轉(zhuǎn)化：答案：D小煉有話說(shuō)：雖然不是周期函數(shù)，但函數(shù)值關(guān)系與周期性類似，可理解為：間隔2個(gè)單位的自變量，函數(shù)值呈2倍關(guān)系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，將自變量向已知范圍進(jìn)行靠攏。例3：定義在上的函數(shù)對(duì)任意，都有，則等于（）A.B.C.D.思路：由及所求可聯(lián)想到周期性，所以考慮，所以是周期為4的周期函數(shù)，故，而由已知可得，所以答案：D例4（2009山東）：定義在上的函數(shù)滿足，則的值為（）A.B.C.D.思路：所給的特點(diǎn)為才有解析式能夠求值，而只能通過(guò)減少自變量的取值，由所求可聯(lián)想到判斷是否具有周期性，時(shí)，，則有，兩式相加可得：，則，即在時(shí)周期是6，故，而答案：C小煉有話說(shuō)：（1）本題的思路依然是將無(wú)解析式的自變量通過(guò)函數(shù)性質(zhì)向含解析式的自變量靠攏，而數(shù)較大，所以考慮判斷函數(shù)周期性。（2）如何快速將較大自變量縮至已知范圍中？可利用帶余除法除以周期，觀察余數(shù)。則被除數(shù)的函數(shù)值與余數(shù)的函數(shù)值相同，而商即為被除數(shù)利用周期縮了多少次達(dá)到余數(shù)。例如本題中，從而（3）本題推導(dǎo)過(guò)程中也有其用處，其含義是間隔為3的自變量函數(shù)值互為相反數(shù)，相比周期，它的間隔更小，所以適用于利用周期縮小自變量范圍后，進(jìn)行“微調(diào)”從而將自變量放置已知區(qū)間內(nèi)例5：函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式在上的解集為_(kāi)__________思路：從已知出發(fā)可知時(shí)，為增函數(shù)，且，所以時(shí)，，時(shí)，，由偶函數(shù)可得：時(shí)，，時(shí)，。從而可作出草圖。由所解不等式可將分為兩部分，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上解集為：答案：例6：已知是定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的最小值為（）A.B.C.D.思路：由可得是周期為2的周期函數(shù)，所以只需要求出一個(gè)周期內(nèi)的最值即可。由可得為奇函數(shù)，所以考慮區(qū)間，在時(shí)，，所以，而由于為奇函數(shù)，所以在時(shí)，，所以即為在的最小值，從而也是在上的最小值答案：B例7：已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，如果，且，則的值（）A.可正可負(fù)B.恒大于0C.可能為0D.恒小于0思路一：題目中給了單調(diào)區(qū)間，與自變量不等關(guān)系，所求為函數(shù)值的關(guān)系，從而想到單調(diào)性，而可得，因?yàn)椋?，進(jìn)而將裝入了中，所以由可得，下一步需要轉(zhuǎn)化，由可得關(guān)于中心對(duì)稱，所以有。代入可得，從而思路二：本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合更便于求解。先從分析出關(guān)于中心對(duì)稱，令代入到可得。中心對(duì)稱的函數(shù)對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同，從而可作出草圖。而，即的中點(diǎn)位于的左側(cè)，所以比距離更遠(yuǎn)，結(jié)合圖象便可分析出恒小于0答案：D小煉有話說(shuō)：（1）本題是單調(diào)性與對(duì)稱性的一個(gè)結(jié)合，入手點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關(guān)系，與所求函數(shù)值關(guān)系，而連接它們大小關(guān)系的“橋梁”是函數(shù)的單調(diào)性，所以需要將自變量裝入同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)。而對(duì)稱性起到一個(gè)將函數(shù)值等價(jià)轉(zhuǎn)化的作用，進(jìn)而與所求產(chǎn)生聯(lián)系（2）數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)有三個(gè)：第一個(gè)是中心對(duì)稱圖像的特點(diǎn)，不僅僅是單調(diào)性相同，而且是呈“對(duì)稱”的關(guān)系，從而在圖像上才能看出的符號(hào)；第二個(gè)是，進(jìn)而可知；第三個(gè)是，既然是數(shù)形結(jié)合，則題中條件也要盡可能轉(zhuǎn)為圖像特點(diǎn)，而表現(xiàn)出中點(diǎn)的位置，從而能夠判斷出距離中心對(duì)稱點(diǎn)的遠(yuǎn)近。例8：函數(shù)的定義域?yàn)椋襞c都是奇函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.是奇函數(shù)思路：從已知條件入手可先看的性質(zhì)，由為奇函數(shù)分別可得到：，所以關(guān)于中心對(duì)稱，雙對(duì)稱出周期可求得，所以不正確，且由已知條件無(wú)法推出一定符合。對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，進(jìn)而可推出關(guān)于中心對(duì)稱，所以為圖像向左平移個(gè)單位，即關(guān)于對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，正確答案：D例9：已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上只有和兩個(gè)零點(diǎn)，且與都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.思路：已知區(qū)間僅是，而所求區(qū)間為，跨度如此之大，需要函數(shù)性質(zhì)。從條件入手為偶函數(shù)可得關(guān)于軸對(duì)稱，從而判斷出是周期函數(shù)，且，故可以考慮將以10為周期分組，先判斷出一個(gè)周期內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再乘以組數(shù)，加上剩余部分的零點(diǎn)即可解：為偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱為周期函數(shù)，且將劃分為關(guān)于軸對(duì)稱在中只含有四個(gè)零點(diǎn)而共組所以在中，含有零點(diǎn)共兩個(gè)所以一共有806個(gè)零點(diǎn)答案：C小煉有話說(shuō)：（1）周期函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可以考慮先統(tǒng)計(jì)一個(gè)周期的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再看所求區(qū)間包含幾個(gè)周期，相乘即可。如果有不滿一個(gè)周期的區(qū)間可單獨(dú)統(tǒng)計(jì)（2）在為周期函數(shù)分段時(shí)有一個(gè)細(xì)節(jié)：“一開(kāi)一閉”，分段的要求時(shí)“不重不漏”，所以在給周期函數(shù)分段時(shí)，一端為閉區(qū)間，另一端為開(kāi)區(qū)間，不僅達(dá)到分段要求，而且每段之間保持隊(duì)型，結(jié)構(gòu)整齊，便于分析。（3）當(dāng)一個(gè)周期內(nèi)含有對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）時(shí)，零點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)不能僅限于已知條件，而要看是否由于對(duì)稱產(chǎn)生新的零點(diǎn)。其方法一是可以通過(guò)特殊值的代入，二是可以通過(guò)圖像，將零點(diǎn)和對(duì)稱軸標(biāo)在數(shù)軸上，看是否有由對(duì)稱生成的零點(diǎn)（這個(gè)方法更直觀，不易丟解）例10：設(shè)函數(shù)是定義在上以1為周期的函數(shù)，若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.思路：設(shè)，則，因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，故以為突破口，，考慮在中，所以，在中，所以，所以在的值域?yàn)榇鸢福築三、近年模擬題題目精選1、（2014，慶安高三期中）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A．0.5B．1.5C．D．12、（2014，安徽）設(shè)函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.D.3、（2014，四川）設(shè)是定義在上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則_________4、（2014，新課標(biāo)全國(guó)卷I）設(shè)函數(shù)的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)5、（2014，會(huì)寧縣校級(jí)月考）已知，方程在內(nèi)有且只有一個(gè)，則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.6、已知定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則______________7、已知定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（）A.B.C.D.8、已知是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，當(dāng)時(shí)，，求習(xí)題答案：1、答案：B解析：由可得：，兩式相減可得：，所以的周期，再由是偶函數(shù)可得：2、答案：A解析：由可知，，，所以可得：3、答案：1解析：4、答案：C解析：為奇函數(shù)，可知為偶函數(shù)，所以根據(jù)奇偶性的規(guī)律可得：為奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故C正確5、答案：D解析：，可得關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)樵趦?nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以由對(duì)稱性可得在只有兩個(gè)零點(diǎn)。所以一個(gè)周期中含有兩個(gè)零點(diǎn)，區(qū)間共包含1007個(gè)周期，所以有2014個(gè)零點(diǎn)6、答案：解析：由可得：關(guān)于中心對(duì)稱，由可得：關(guān)于軸對(duì)稱，所以可求出的周期，則7、答案：解析：可知為奇函數(shù)，可得，所以8、答案：解析：由可得：的周期，由于具備周期性，故求和時(shí)可考慮按照周期將一個(gè)周期的函數(shù)值歸為一組，求出一組的結(jié)果，在考慮求和的式子中含有多少組周期即可：故

微專題06函數(shù)的圖像一、基礎(chǔ)知識(shí)1、做草圖需要注意的信息點(diǎn)：做草圖的原則是：速度快且能提供所需要的信息，通過(guò)草圖能夠顯示出函數(shù)的性質(zhì)。在作圖中草圖框架的核心要素是函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于一個(gè)陌生的可導(dǎo)函數(shù)，可通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析得到單調(diào)區(qū)間，圖像形狀依賴于函數(shù)的凹凸性，可由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定（詳見(jiàn)“知識(shí)點(diǎn)講解與分析”的第3點(diǎn)），這兩部分確定下來(lái)，則函數(shù)大致輪廓可定，但為了方便數(shù)形結(jié)合，讓圖像更好體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，有一些信息點(diǎn)也要在圖像中通過(guò)計(jì)算體現(xiàn)出來(lái)，下面以常見(jiàn)函數(shù)為例，來(lái)說(shuō)明作圖時(shí)常體現(xiàn)的幾個(gè)信息點(diǎn)（1）一次函數(shù)：,若直線不與坐標(biāo)軸平行，通?？衫弥本€與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)來(lái)確定直線特點(diǎn)：兩點(diǎn)確定一條直線信息點(diǎn)：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（2）二次函數(shù)：，其特點(diǎn)在于存在對(duì)稱軸，故作圖時(shí)只需做出對(duì)稱軸一側(cè)的圖像，另一側(cè)由對(duì)稱性可得。函數(shù)先減再增，存在極值點(diǎn)——頂點(diǎn)，若與坐標(biāo)軸相交，則標(biāo)出交點(diǎn)坐標(biāo)可使圖像更為精確特點(diǎn)：對(duì)稱性信息點(diǎn)：對(duì)稱軸，極值點(diǎn)，坐標(biāo)軸交點(diǎn)（3）反比例函數(shù)：,其定義域?yàn)?，是奇函?shù)，只需做出正版軸圖像即可（負(fù)半軸依靠對(duì)稱做出），坐標(biāo)軸為函數(shù)的漸近線特點(diǎn)：奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱），漸近線信息點(diǎn)：漸近線注：（1）所謂漸近線：是指若曲線無(wú)限接近一條直線但不相交，則稱這條直線為漸近線。漸近線在作圖中的作用體現(xiàn)為對(duì)曲線變化給予了一些限制，例如在反比例函數(shù)中，軸是漸近線，那么當(dāng)，曲線無(wú)限向軸接近，但不相交，則函數(shù)在正半軸就不會(huì)有軸下方的部分。（2）水平漸近線的判定：需要對(duì)函數(shù)值進(jìn)行估計(jì)：若（或）時(shí)，常數(shù)，則稱直線為函數(shù)的水平漸近線例如：當(dāng)時(shí)，，故在軸正方向不存在漸近線當(dāng)時(shí)，，故在軸負(fù)方向存在漸近線（3）豎直漸近線的判定：首先在處無(wú)定義，且當(dāng)時(shí)，（或），那么稱為的豎直漸近線例如：在處無(wú)定義，當(dāng)時(shí)，，所以為的一條漸近線。綜上所述：在作圖時(shí)以下信息點(diǎn)值得通過(guò)計(jì)算后體現(xiàn)在圖像中：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；對(duì)稱軸與對(duì)稱中心；極值點(diǎn)；漸近線。例：作出函數(shù)的圖像分析：定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，故先考慮正半軸情況。故函數(shù)單調(diào)遞增，，故函數(shù)為上凸函數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)水平漸近線，時(shí)，，所以軸為的豎直漸近線。零點(diǎn)：，由這些信息可做出正半軸的草圖，在根據(jù)對(duì)稱性得到完整圖像：2、函數(shù)圖象變換：設(shè)函數(shù)，其它參數(shù)均為正數(shù)（1）平移變換：：的圖像向左平移個(gè)單位：的圖像向右平移個(gè)單位：的圖像向上平移個(gè)單位：的圖像向下平移個(gè)單位（2）對(duì)稱變換：：與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱：與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱：與的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（3）伸縮變換：：圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的：圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（4）翻折變換：：即正半軸的圖像不變，負(fù)半軸的原圖像不要，換上與正半軸圖像關(guān)于軸對(duì)稱的圖像：即軸上方的圖像不變，下方的圖像沿軸對(duì)稱的翻上去。3、二階導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的凹凸性：（1）無(wú)論函數(shù)單調(diào)增還是單調(diào)減，其圖像均有3種情況，若一個(gè)函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為下凸函數(shù)若一個(gè)函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為上凸函數(shù)（2）上凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，減區(qū)間下降速度越來(lái)越快下凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，減區(qū)間下降速度越來(lái)越慢（3）與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為（即的二階導(dǎo)函數(shù)），如圖所示：增長(zhǎng)速度受每一點(diǎn)切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨的增大而增大，即為增函數(shù)；上凸函數(shù)隨的增大而減小，即為減函數(shù)；綜上所述：函數(shù)是上凸下凸可由導(dǎo)函數(shù)的增減性決定，進(jìn)而能用二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行求解。二、方法與技巧：1、在處理有關(guān)判斷正確圖像的選擇題中，常用的方法是排除法，通過(guò)尋找四個(gè)選項(xiàng)的不同，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)行排除，常見(jiàn)的區(qū)分要素如下：（1）單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)圖像位于軸上方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，位于軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間（2）函數(shù)零點(diǎn)周圍的函數(shù)值符號(hào)：可通過(guò)帶入零點(diǎn)附近的特殊點(diǎn)來(lái)進(jìn)行區(qū)分（3）極值點(diǎn)（4）對(duì)稱性（奇偶性）——易于判斷，進(jìn)而優(yōu)先觀察（5）函數(shù)的凹凸性：導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定原函數(shù)的凹凸性，導(dǎo)函數(shù)增區(qū)間即為函數(shù)的下凸部分，減區(qū)間為函數(shù)的上凸部分。其單調(diào)性可由二階導(dǎo)函數(shù)確定2