2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)ⅱ）

2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，則A∩B＝（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，2） D．?2．（5分）設(shè)z＝i（2+i），則＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（3，2），則|﹣|＝（）A． B．2 C．5 D．504．（5分）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）A． B． C． D．5．（5分）在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)椋ǎ〢．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙6．（5分）設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+17．（5分）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行 C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面8．（5分）若x1＝，x2＝是函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則ω＝（）A．2 B． C．1 D．9．（5分）若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)是橢圓+＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810．（5分）曲線y＝2sinx+cosx在點(diǎn)（π，﹣1）處的切線方程為（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 C．2x+y﹣2π+1＝0 D．x+y﹣π+1＝011．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，則sinα＝（）A． B． C． D．12．（5分）設(shè)F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若變量x，y滿足約束條件則z＝3x﹣y的最大值是．14．（5分）我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為．15．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知bsinA+acosB＝0，則B＝．16．（5分）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E﹣BB1C1C的體積．18．（12分）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．19．（12分）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表．y的分組[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（精確到0.01）附：≈8.602．20．（12分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；（2）如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．證明：（1）f（x）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）f（x）＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過(guò)點(diǎn)A（4，0）且與OM垂直，垂足為P．（1）當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．[選修45：不等式選講]（10分）23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集；（2）當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f（x）＜0，求a的取值范圍．2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，則A∩B＝（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，2） D．?【分析】直接利用交集運(yùn)算得答案．【解答】解：由A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，得A∩B＝{x|x＞﹣1}∩{x|x＜2}＝（﹣1，2）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2．（5分）設(shè)z＝i（2+i），則＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【解答】解：∵z＝i（2+i）＝﹣1+2i，∴＝﹣1﹣2i，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（3，2），則|﹣|＝（）A． B．2 C．5 D．50【分析】利用向量的坐標(biāo)減法運(yùn)算求得的坐標(biāo)，再由向量模的公式求解．【解答】解：∵＝（2，3），＝（3，2），∴＝（2，3）﹣（3，2）＝（﹣1，1），∴||＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量模的求法，是基礎(chǔ)題．4．（5分）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）A． B． C． D．【分析】本題根據(jù)組合的概念可知從這5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有情況數(shù)為，恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)是從3只側(cè)過(guò)的里面選2，從未測(cè)的選1，組合數(shù)為．即可得出概率．【解答】解：由題意，可知：根據(jù)組合的概念，可知：從這5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有情況數(shù)為，恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的所有情況數(shù)為．∴p＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合的相關(guān)概念及應(yīng)用以及簡(jiǎn)單的概率知識(shí)，本題屬基礎(chǔ)題．5．（5分）在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)椋ǎ〢．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙【分析】本題可從三人預(yù)測(cè)中互相關(guān)聯(lián)的乙、丙兩人的預(yù)測(cè)入手，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)人預(yù)測(cè)正確，而乙對(duì)則丙必對(duì)，丙對(duì)乙很有可能對(duì)，假設(shè)丙對(duì)乙錯(cuò)則會(huì)引起矛盾故只有一種情況就是甲預(yù)測(cè)正確乙、丙錯(cuò)誤，從而得出結(jié)果．【解答】解：由題意，可把三人的預(yù)測(cè)簡(jiǎn)寫如下：甲：甲＞乙．乙：丙＞乙且丙＞甲．丙：丙＞乙．∵只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，∴分析三人的預(yù)測(cè)，可知：乙、丙的預(yù)測(cè)不正確．如果乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)正確，不符合題意．如果丙預(yù)測(cè)正確，假設(shè)甲、乙預(yù)測(cè)不正確，則有丙＞乙，乙＞甲，∵乙預(yù)測(cè)不正確，而丙＞乙正確，∴只有丙＞甲不正確，∴甲＞丙，這與丙＞乙，乙＞甲矛盾．不符合題意．∴只有甲預(yù)測(cè)正確，乙、丙預(yù)測(cè)不正確，甲＞乙，乙＞丙．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查合情推理，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)人預(yù)測(cè)正確，所以本題關(guān)鍵是要找到互相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)預(yù)測(cè)入手就可找出矛盾．從而得出正確結(jié)果．本題屬基礎(chǔ)題．6．（5分）設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1【分析】設(shè)x＜0，則﹣x＞0，代入已知函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性可得x＜0時(shí)的f（x）．【解答】解：設(shè)x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，∵設(shè)f（x）為奇函數(shù)，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，即f（x）＝﹣e﹣x+1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的解析式即常用求法，考查函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．（5分）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行 C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面【分析】充要條件的定義結(jié)合面面平行的判定定理可得結(jié)論【解答】解：對(duì)于A，α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行，α∩β或α∥β；對(duì)于B，α內(nèi)有兩條相交直線與β平行，α∥β；對(duì)于C，α，β平行于同一條直線，α∩β或α∥β；對(duì)于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充要條件的定義和面面平行的判定定理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）若x1＝，x2＝是函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則ω＝（）A．2 B． C．1 D．【分析】x1＝，x2＝是f（x）兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則周期T＝2（）＝，然后根據(jù)周期公式即可求出．【解答】解：∵x1＝，x2＝是函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，∴T＝2（）＝＝∴ω＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)條件得出周期，屬基礎(chǔ)題．9．（5分）若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)是橢圓+＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)以及橢圓的性質(zhì)列方程可解得．【解答】解：由題意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．10．（5分）曲線y＝2sinx+cosx在點(diǎn)（π，﹣1）處的切線方程為（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 C．2x+y﹣2π+1＝0 D．x+y﹣π+1＝0【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x＝π時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：由y＝2sinx+cosx，得y′＝2cosx﹣sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，∴曲線y＝2sinx+cosx在點(diǎn)（π，﹣1）處的切線方程為y+1＝﹣2（x﹣π），即2x+y﹣2π+1＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．11．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，則sinα＝（）A． B． C． D．【分析】由二倍角的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得4sinαcosα＝2cos2α，結(jié)合角的范圍可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα＝2sinα，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可解得sinα的值．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角的三角函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）設(shè)F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．【分析】由題意畫出圖形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C的離心率．【解答】解：如圖，由題意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若變量x，y滿足約束條件則z＝3x﹣y的最大值是9．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖：化目標(biāo)函數(shù)z＝3x﹣y為y＝3x﹣z，由圖可知，當(dāng)直線y＝3x﹣z過(guò)A（3，0）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14．（5分）我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98．【分析】利用加權(quán)平均數(shù)公式直接求解．【解答】解：∵經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，∴經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為：＝（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．故答案為：0.98．【點(diǎn)評(píng)】本題考查經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值的求法，考查加權(quán)平均數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知bsinA+acosB＝0，則B＝．【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinAsinB+sinAcosB＝0，由于sinA＞0，化簡(jiǎn)可得tanB＝﹣1，結(jié)合范圍B∈（0，π），可求B的值為．【解答】解：∵bsinA+acosB＝0，∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcosB＝0，∵A∈（0，π），sinA＞0，∴可得：sinB+cosB＝0，可得：tanB＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有26個(gè)面，其棱長(zhǎng)為﹣1．【分析】中間層是一個(gè)正八棱柱，有8個(gè)側(cè)面，上層是有8+1，個(gè)面，下層也有8+1個(gè)面，故共有26個(gè)面；半正多面體的棱長(zhǎng)為中間層正八棱柱的棱長(zhǎng)加上兩個(gè)棱長(zhǎng)的cos45°＝倍．【解答】解：該半正多面體共有8+8+8+2＝26個(gè)面，設(shè)其棱長(zhǎng)為x，則x+x+x＝1，解得x＝﹣1．故答案為：26，﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球內(nèi)接多面體，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E﹣BB1C1C的體積．【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得B1C1⊥BE，結(jié)合BE⊥EC1利用線面垂直的判定定理可證明BE⊥平面EB1C1；（2）由條件可得AE＝AB＝3，然后得到E到平面BB1C1C的距離d＝3，在求四棱錐的體積即可．【解答】解：（1）證明：由長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1；（2）由（1）知∠BEB1＝90°，由題設(shè)可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，∵在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，∴E到平面BB1C1C的距離d＝AB＝3，∴四棱錐E﹣BB1C1C的體積V＝×3×6×3＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)，考查了四棱錐體積的求法，屬中檔題．18．（12分）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比，由已知列式求得公比，則通項(xiàng)公式可求；（2）把（1）中求得的{an}的通項(xiàng)公式代入bn＝log2an，得到bn，說(shuō)明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．∴；（2）bn＝log2an＝，∵b1＝1，bn+1﹣bn＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．19．（12分）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表．y的分組[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（精確到0.01）附：≈8.602．【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算即可；（2）根據(jù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：（1）根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)為：＝0.21＝21%，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為：＝0.02＝2%，用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%；（2）企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7＝0.3＝30%，產(chǎn)值增長(zhǎng)率的方差s2＝＝[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]＝0.0296，∴產(chǎn)值增長(zhǎng)率的標(biāo)準(zhǔn)差s＝≈0.17，∴這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30，0.17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬基礎(chǔ)題．20．（12分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；（2）如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)△POF2為等邊三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，在根據(jù)直角形和橢圓定義可得；（2）根據(jù)三個(gè)條件列三個(gè)方程，解方程組可得b＝4，根據(jù)x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，從而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，【解答】解：（1）連接PF1，由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，故曲線C的離心率e＝＝﹣1．（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P（x，y）存在當(dāng)且僅當(dāng)：|y|?2c＝16，?＝﹣1，+＝1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②+＝1，③由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，從而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，當(dāng)b＝4，a≥4時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P．所以b＝4，a的取值范圍為[4，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．證明：（1）f（x）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）f（x）＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．【分析】（1）推導(dǎo)出f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）＝lnx﹣，從而f′（x）單調(diào)遞增，進(jìn)而存在唯一的x0∈（1，2），使得f′（x0）＝0．由此能證明f（x）存在唯一的極值點(diǎn)．（2）由f（x0）＜f（1）＝﹣2，f（e2）＝e2﹣3＞0，得到f（x）＝0在（x0，+∞）內(nèi)存在唯一的根x＝a，由a＞x0＞1，得，從而是f（x）＝0在（0，x0）的唯一根，由此能證明f（x）＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．【解答】證明：（1）∵函數(shù)f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）＝＝lnx﹣，∵y＝lnx單調(diào)遞增，y＝單調(diào)遞減，∴f′（x）單調(diào)遞增，又f′（1）＝﹣1＜0，f′（2）＝ln2﹣＝＞0，∴存在唯一的x0∈（1，2），使得f′（x0）＝0．當(dāng)x＜x0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞x0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）存在唯一的極值點(diǎn)．（2）由（1）知f（x0）＜f（1）＝﹣2，又f（e2）＝e2﹣3＞0，∴f（x）＝0在（x0，+∞）內(nèi)存在唯一的根x＝a，由a＞x0＞1，得，