高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題六 概率與統(tǒng)計(jì) 專題強(qiáng)化練十七 概率、隨機(jī)變量及其分布列 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題強(qiáng)化練十七概率、隨機(jī)變量及其分布列一、選擇題1．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語》知識(shí)大賽”，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好，但是你倆都沒得到第一名”；對乙說“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”．從上述回答分析，丙是第一名的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)解析：由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件與丙、丁或戊都無關(guān)，所以這三個(gè)人獲得第一名是等概率事件，概率為eq\f(1,3).答案：D2.(2018·廣州模擬)三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明．如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，其中一個(gè)直角三角形中較小的銳角α滿足tanα＝eq\f(3,4)，現(xiàn)向大正方形內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是()A.eq\f(4,25)B.eq\f(3,25)C.eq\f(2,25)D.eq\f(1,25)解析：在Rt△ABC中，tanα＝eq\f(3,4).不妨設(shè)BC＝3，AC＝4，則DC＝1，AB＝5.所以所求事件的概率P＝eq\f(S小正方形,S大正方形)＝eq\f(DC2,AB2)＝eq\f(1,25).答案：D3．(2018·浙江卷)設(shè)0＜p＜1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)()A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小解析：由題可得E(ξ)＝eq\f(1,2)＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，所以當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，D(ξ)先增大后減小．答案：D4．(2018·長郡中學(xué)二模)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4，σ2)，若P(X＞m)＝0.3，則P(X＞8－m)＝()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．與σ的值有關(guān)解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4，σ2)，所以正態(tài)曲線的對稱軸是x＝4，因?yàn)镻(X＞m)＝0.3，且m與8－m關(guān)于x＝4對稱，由正態(tài)曲線的對稱性，得P(X＞m)＝P(X＜8－m)＝0.3，故P(X＞8－m)＝1－0.3＝0.7.答案：C5．(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D解析：依題意，X～B(0，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或p＝0.6.由P(X＝4)＜P(X＝6)得Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6＜Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，解得p＞eq\f(1,2)，因此p＝0.6.答案：B二、填空題6．(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．解析：法一分兩種情況：只有1位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(種)；有2位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(種)，至少有1位女生入選的不同的選法有16種．法二從6人中任選3人，不同的選法有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)，從6人中任選3人都是男生，不同的選法有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)．所以至少有1位女生入選的不同的選法有20－4＝16(種)．答案：167.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(5)的展開式中x4的系數(shù)是________．解析：展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝2rCeq\o\al(r,5)x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.所以x4的系數(shù)為22Ceq\o\al(2,5)＝40.答案：408．在區(qū)間[－6，7]內(nèi)任取一實(shí)數(shù)m，f(x)＝－x2＋mx＋m的圖象與x軸有公共點(diǎn)的概率為________．解析：因?yàn)閒(x)＝－x2＋mx＋m圖象與x軸有公共點(diǎn)，所以Δ＝m2＋4m≥0，則m≥0或m≤－故所求事件概率P＝eq\f(7＋2,7－（－6）)＝eq\f(9,13).答案：eq\f(9,13)三、解答題9．(2018·湖南六校聯(lián)考)為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧，產(chǎn)業(yè)扶貧”戰(zhàn)略的號召，進(jìn)一步優(yōu)化能源消費(fèi)結(jié)構(gòu)，某市決定在地處山區(qū)的A縣推進(jìn)光伏發(fā)電項(xiàng)目．在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取50戶，統(tǒng)計(jì)其年用電量得以下統(tǒng)計(jì)表．以樣本的頻率作為概率．用電量(單位：度)(0，200](200，400](400，600](600，800](800，1000]戶數(shù)51510155(1)在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)已知該縣某山區(qū)自然村有居民300戶．若計(jì)劃在該村安裝總裝機(jī)容量為300千瓦的光伏發(fā)電機(jī)組，該機(jī)組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價(jià)格進(jìn)行收購．經(jīng)測算每千瓦裝機(jī)容量的發(fā)電機(jī)組年平均發(fā)電1000度，試估計(jì)該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元．解：(1)記在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶，其年用電量不超過600度為事件A，則P(A)＝eq\f(3,5).由已知可得從該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(3,5))).故E(X)＝np＝10×eq\f(3,5)＝6.(2)設(shè)該縣山區(qū)居民戶年均用電量為E(Y)，由抽樣可得E(Y)＝100×eq\f(5,50)＋300×eq\f(15,50)＋500×eq\f(10,50)＋700×eq\f(15,50)＋900×eq\f(5,50)＝500(度)．則該自然村年均用電約150000度．又該村所裝發(fā)電機(jī)組年預(yù)計(jì)發(fā)電量為300000度，故該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約150000度，能為該村創(chuàng)造直接收益120000元．10．(2018·北京卷)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立．(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評的概率；(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k＝1，2，3，4，5，6)．寫出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6解：(1)設(shè)“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1倍，這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A.因?yàn)榈谒念愲娪爸蝎@得好評的電影有200×0.25＝50(部)，所以P(A)＝eq\f(50,140＋50＋300＋200＋800＋510)＝eq\f(50,2000)＝0.025.(2)設(shè)“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)取一部，恰有1部獲得好評”為事件B.則P(B)＝0.25×(1－0.2)＋(1－0.25)×0.2＝0.35.故所求事件的概率估計(jì)為0.35.(3)由題意可知，定義隨機(jī)變量如下：ξk＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，第k類電影沒有得到人們喜歡，,1，第k類電影得到人們喜歡，))則ξk顯然服從兩點(diǎn)分布，故D(ξ1)＝0.4×(1－0.4)＝0.24，D(ξ2)＝0.2×(1－0.2)＝0.16，D(ξ3)＝0.15×(1－0.15)＝0.1275，D(ξ4)＝0.25×(1－0.25)＝0.1875，D(ξ5)＝0.2×(1－0.2)＝0.16，D(ξ6)＝0.1×(1－0.1)＝0.09.綜上所述，D(ξ1)＞D(ξ4)＞D(ξ2)＝D(ξ5)＞D(ξ3)＞D(ξ6)．11．(2018·哈爾濱二模)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級，等級系數(shù)X依次為1，2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B.已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)．(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望；(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．注：①產(chǎn)品的“性價(jià)比”＝eq\f(產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望,產(chǎn)品的零售價(jià))；②“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性．解：(1)因?yàn)镋(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6即6a＋7b＝3.2，又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6a＋7b＝3.2，,a＋b＝0.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.3，,b＝0.2.))(2)由已知得：樣本的頻率分布表如下：等級系數(shù)X2345678樣本頻率f0.30.20.20.10.10.1用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分